数学建模
作业
指导教师 _________ 作者姓名 __________ 班级学号— 上交日期
2010-12-24 ________
注：上课时间周六上午第一讲
1、一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖 励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量 的方法，假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的 最大周长）：
身长（cm） 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 765 「482 1162 737 「482 1389 652 ：454 重量（g） : 31.8 22.9 21.6 胸围（cm） 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6
解：我们假定池中只有一种鱼。对于这一种鱼其体型和形状是相似的， 密度也大
体上是相同的。
一、模型建立
主要符号说明如下： W——鱼的重量、丨 ----- 鱼的身长、d----鱼的胸围即鱼的最大周长、 K1---第一种数学估计模型中的系数 K2---第二种数学估计模型中的系数
1,建立的第一种数据估计模型为：
重量w与身长1的立方成正比，即 W K1I 2,建立的第二种数据估计模型为:
横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即 W=K32I
（一）第一种数据估计模型
对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重 量w与身长I的立方成正比，即 W K1|3,K1为比例系数。
把实际测得的数据代入 W K1I3计算比例系数K1。 计算出实际测得的身长的平均值为：36.8 计算出实际测得的重量的平均值为：765.375
把 W=765.375,l=36.8 代入 W K1I3 计算得：K1〜0.0153
（二）第二种数据估计模型
常调得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型， 因为它对肥鱼和瘦鱼同等看 待,如果只假设鱼的模截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比， 于是W=K22|，K2为比例系数。
把实际测得的数据代入 W=K22I计算比例系数K2。 计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875
把 W=765.375,d=24.5875, 1=36.8, 代入 W=K22I 计算得：K2〜0.0344
（三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较 比较第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的差别， 误差。计算结果如表1所示：
表1
765 482 1162 737 482 1384 实际重量（g） 模型W K1l3 模型W K1l3的 误差 模型W=K221 模型W=K221的 730 465 1100 730 483 1471 607 483 727 469 1226 727 483 1339 并计算
652 675 454 483 4.97% 2.70% 5.51% 1.36% 0.02% 3.25% 3.53% 6.39% 4.58% 3.53 5.34% 0.09% 0.02% 6.29% 0.07% 0.06%
误差 计算出第一种数据估计模型与实际情况的误差为 3.47% 计算出第二种数据估计模型与实际情况的误差为 2.50%
由上述计算结果知，第二种数据估计模型与实际情况的误差小于第一种数据
估计模型与实际情况的误差。所以，应选用 W=K22|来建立数学模型 2为了确定广告费用与销售额的关系，今做出统计，结果如下:
广告费用X（万 40 25 20 30 40 40 25 20 50 20 50 50 元） 销售额丫（万 490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540 元） （1） 求销售额丫对广告费X的回归分析。 （2） 以显著性水平a=0.05，检验假设耳b=0 （3） 求广告费x=35时，销售额的点预测和区间预测
解：（1） 本题是要分析广告费x与销售额y的关系，首先根据题中所给的数 据可以发现y随x的增加有比较明显的线性关系。所以可以用线性模型
y=b1+b2*x+
其中b1, b2为回归参数，；为随机误差。再根据题中给定的数据用 matlab统计 工具箱中的regress命令求解，使用
[b,b in t,r,ri nt,stats]=regress（y,x）
求解出b1，b2的估计值 b仁319.0863 b2=4.1853 所以得到回归分析模型的预测方程
y=319.0863+4.1853*x
（2）对模型的检验
由于RA2= 0.5908
表示变量y的59.08%可以由模型确定
F=14.4384远远超过F的检验临界值，p= 0.0035 从整体上来看还可以。 (3) 模型预测
由于模型预测方程为
y=319.0863+4.1853*x
当x=35时，带入模型预测方程可以的求出
y=319.0863+35*4.1853
远远小于a=0.05，因而模型
得到点预测值 y= 465.5718
由于销售额y的置信度为95%勺预测区间为[442.2932, 490.0756] matlab程序如下：
x=[40 25 20 30 40 40 25 20 50 20 50 50]';
y=[490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540]'; x=[o nes(12,1),x];
[b,b in t,r,ri nt,stats]=regress(y,x)
3某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资， 可供购进的证券以及其信用
等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他 证券的收益需按50%勺税率纳税。此外还有以下限制：
(1) 政府及代办机构的证券总共至少要购进 400万元；
(2) 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)； (3) 所购证券的平均到期年限不超过 5年。 证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益 A B C D E 市政 代办机构 : 政府 政府 市政 2 1 1 1 3 9 15 4 3 2 (% 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 问：
(1) 若该经理有1000万元，应如何投资？
(2) 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
(3) 在1000万元资金的情况下，若证券 A的税前收益增加为4.5%，投资应否改 变？
若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解：1、首先分析这个问题。对于投资问题，当然是投入一定的资金使收益最大。 然而本题对于各种投资又有一定的限制，因此可以用线性规划来求解最大收益。 对于每种证券只有投资和不投资两种情况，这样就可以引入 0―― 1规划(即对 于第i种证券，投资则yi值取1,不投资则yi取值0)。可以设对第i种证券的 投资金额为xi。再根据每种投资的收益和税收的关系 pi和总投资金额c可以建 立出线性规划模型。
根据题意建立目标函数
max 八 pi* xi * yi
根据题意得到约束条件
(1) 政府及代办机构的证券总共至少要购进 400万元，这样可以建立个 约束
条件
4
x
xi * yi 二 400
2
(2) 所购证券的平均信用等级不超过 1.4。因
为对于投资多少的不同，与 投资者对这项投资关注程度不同。因此引用程度与投资多少成比例，再由
第i种证券的信用等级qi，这样建立约束条件
' qi * xi * yi/c ：：= 1.4
(3) 所购证券的平均到期年限不超过 5年，这个与信用差不多，令第i中 投资的到期年限为ri ,同理可以建立约束条件
' ri * xi * yi/c ：二 5
(4) 由于投资者的资金有限 这样可以建立对资金的约束条件
' xi ： = 1000
(5) 对每种证券选与不选符合0―― 1变化，即建立约束条件
@bin(yi) 再用lingo来求解出投资的最大值利润与对各种证券的投资情况
即投资者的1000万投资情况是：对A投资233.333万，对C投资683.333万，对E投 资83.333万。这样的总利润是 30.86667万
第一问的lingo程序
max=x1*0.043*y1+x2*0.054*0.5*y2+x3*0.025*y3+x4*0.022*y4+x5*0.045*y5; x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4+x5*y5<=1000; x2*y2+x3*y3+x4*y4>=400;
2*y1*x1/1000+y2*x2/1000+y3*x3/1000+y4*x4/1000+3*y5*x5/1000<=1.4;
9*y1*x1/1000+15*y2*x2/1000+4*y3*x3/1000+3*y4*x4/1000+2*y5*x5/1000<=5; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); @bin(y4); @bin(y5);
End
2、对于第二问，即是投资的投资资金可以在增加不到
100万的情况下使利
润达到最大。
假设投资金额为z。第二问即是在第一问的情况下增加约束条件
Z<=100 这样是目标函数变为
max 二' pi * xi * yi -z* 0.0275
变化的约束条件还有对于投资者的资金有限这样可以建立对资金的约束条 件
' xi ：： = 1000 z
这样仿照第一问的求解过程可以用lingo求解出
求解得出z=100说明贷款100万，对A投资150万，对C投资875万，对E 投资75万。总利润是31.7万，笔贷款钱获利多了。 3) 第三问就是单个的某种证券的税前收益发成了变化，这样把变化的收益带
入程序就可以得出投资情况。
若证券A的税前收益增加为4.5%得到投资情况求解得出对 A投资233.3333 万，对C投资683.3333万，对E投资83.33333万。总利润是31.33333万。 若证券C的税前收益减少为4.8%得到投资情况得出对A投资233.3333万，对C 投资683.3333万，对E投资83.33333万。总利润是30.18333万 这两种变化只是使利润发生了变化，对投资情况没有影。
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