2008年全国统一考试数学卷(全国新课标.文)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

参考公式：

样本数据x1,x2,,xn的标准差

s1(x1x)2(x2x)2(xnx)2n锥体体积公式

Sh

3其中S为底面面积，h为高

球的表面积，体积公式

V1其中x为样本平均数 柱体体积公式VSh 其中S为底面面积，h为高

S4R，V其中R为球的半径

243R

3第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合Mx|(x2)(x1)0，Nx|x10，则MN＝

A．(1,1)

x2B．(2,1)

y2C．(2,1) D．(1,2)

开始 2．双曲线

1021的焦距为

输入 A．32 B．42 z2C．33 D．43 xabx否 是 是 3．已知复数z1i，则

A．2

z1＝

C．2i

D．2i xbxcB．2

否 输出x 4．设f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0＝

A．e

2B．e C．

ln22结束 D．ln2 5．已知平面向量a(1,3)，b(4,2)，ab与a垂直，则＝

A．1 B．1 C．2 D．2

6．右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的

A．cx

B．xc

C．cb

D．bc

27．已知a1a2a30，则使得(1aix)1(i1,2,3)都成立的x取值范围是

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A．(0,1a1) B．(0,2a1) C．(0,1a3) D．(0,2a3)

8．设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则

152S4a2＝

172A．2 B．4 C． D．

9．平面向量a,b共线的充要条件是

A．a,b方向相同 C．R，ba

B．a,b两向量中至少有一个为零向量

D．存在不全为零的实数1,2，1a2b0

10．点P(x,y)在直线4x3y0上，且x，y满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围

A．0,5

B．0,10

C．5,10

D．5,15

11．函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为

A．1，1

B．2，2

C．3，

32 D．2，

32

12．已知平面⊥平面，l，点A，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ．．．

A．AB∥m

B．AC⊥m

C．AB∥

D．AC⊥

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13．已知an为等差数列，a1a322，a67，则a5＝ ．

14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 ．

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15．过椭圆

x25y241的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，

则△OAB的面积为 ．

16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下： 甲品种

271 308 284

乙品种

320

322

322

324

327

329

331

333

336

甲 1 3

7 5 5 0

27 28 29 30 31 32 33 34 2

35

4 2 5 4 6 7

2 3 5 5 6 8 8 0 2 2 4 7 9 1 3 6 7 3 6

273 310 292

280 314 295

285 319 304

285 323 306

287 325 307

292 325 312

294 328 313

295 331 315

301 334 315 337

303 337 316 343

303 352 318 356

乙 307 318

由以上数据设计了如下茎叶图：

根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度比较，写出两个统计结论：

① ． ② ．

5 4 2 8 7 3 3

9 4 0 8 5 5 3

7 4 1

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰三角形，ACB90BD交AC于E，AB2． （1）求cosCAE的值； （2）求AE．

18．（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结BC1，证明BC1∥面EFG．

A G D B 157417843.doc－第 3 页 (共 21 页)

D1 F B1

4 C1

6 2 2 2 E C

4 19．（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10． 把这6名学生的得分看成一个总体． （1）求该总体的平均数；

（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 20．（本小题满分

12

分）已知mR，直线l:mx(2m1)y和m圆4C:x2y28x4y160．

（1）求直线l斜率的取值范围；

（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

12的两段圆弧？为什么？

bx21．（本小题满分12分）设函数f(x)ax7x4y120．

，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

（1）求f(x)的解析式；

（2）证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P． （1）证明：OMOPOA；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：OKM90 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

2xtxcos2已知曲线C1:（为参数），曲线C2:ysin2yt222B A N K O P M （t为参数）．

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（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2．写出C1，C2的参数方程．C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数f(x)|x8||x4|． （1）作出函数yf(x)的图像； （2）解不等式|x8||x4|2．

2008年全国统一考试数学卷（全国新课标.文）参考答案 一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力 题号 答案 13．

三、解答题 17．

一、选择题： 1．C 7．B

2．D 8．C

3．A 9．D

43１ 2 3 14．

4 5 6 15．

7 8 9 10 16．

11 12 二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧

4．B 10．B

535．A 11．C

6．A 12．D

二、填空题： 13．15

14．



15．

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16．（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm． （4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀． 注：上面给出了四个结论．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：

（Ⅰ）因为∠BCD9060150，CBACCD， 所以∠CBE15．

642所以cos∠CBEcos(4530)（Ⅱ）在△ABE中，AB2， 由正弦定理

AEsin(4515)． ··························································· 6分

2sin(9015)．

故AE2sin30cos1526412262． ·······························································12分

18．解：

（Ⅰ）如图

2 6 4 （正视图）

4 （侧视图）

2 2 2 6 4 2 （俯视图）

···················································································· 3分 （Ⅱ）所求多面体体积

VV长方体V正三棱锥

44611222 32157417843.doc－第 6 页 (共 21 页)

2843································································· 7分 (cm)． ·

A 2G D C B （Ⅲ）证明：在长方体ABCDABCD中， 连结AD，则AD∥BC． 因为E，G分别为AA，AD中点，

所以AD∥EG，

F E A D B C

从而EG∥BC．又BC平面EFG， 所以BC∥面EFG． ·································································································12分 19．解：

（Ⅰ）总体平均数为

16················································································· 4分 (5678910)7.5． ·

（Ⅱ）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，7)，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，9)，(7，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(8，10)，(9，10)．共15个基本结果． 10)，(8，事件A包括的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)．共有7个基本结果． 所以所求的概率为

P(A)715． ··············································································································12分

20．解：

（Ⅰ）直线l的方程可化为y直线l的斜率k因为m≤122mm12x4mm12，

mm12， ···························································································· 2分

(m1)，

所以kmm12≤12，当且仅当m1时等号成立．

所以，斜率k的取值范围是，．········································································· 5分 22（Ⅱ）不能．················································································································ 6分 由（Ⅰ）知l的方程为

yk(x4)，其中k≤1211．

圆C的圆心为C(4，2)，半径r2．

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圆心C到直线l的距离

d21k2． ············································································································· 9分

由k≤12，得d≥23451，即dr2．从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对

的圆心角小于．

12所以l不能将圆C分割成弧长的比值为21．解：

的两段弧． ···················································12分

（Ⅰ）方程7x4y120可化为y当x2时，y又f(x)abx274x3．

12． ··································································································· 2分

，

b12a，a1，22于是解得

b3.b7a，44故f(x)x3x． ········································································································ 6分

3x2（Ⅱ）设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y13yy012(xx0)，

x0331(xx0)． 即yx02x0x0知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

6令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为0，． xx0062x0)．·令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，··············10分

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为

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126x2x06．

故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6． ·························································································································12分 22．解：

（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，所以OAAM． 又因为APOM，在Rt△OAM中，由射影定理知，

······································································································· 5分 OAOMOP． ·

（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BNOK． 同（Ⅰ），有OB2ONOK，又OBOA， 所以OPOMONOK，即又∠NOP∠MOK，

所以△ONP∽△OMK，故∠OKM∠OPN90． ············································10分 23．解：

（Ⅰ）C1是圆，C2是直线． ························································································ 2分

C1的普通方程为xy1，圆心C1(0，0)，半径r1． C2的普通方程为xy20．

20的距离为1，

222ONOPOMOK．

因为圆心C1到直线xy所以C2与C1只有一个公共点． ···················································································· 4分 （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

2xcos，xt2C1：（为参数） C2：12ysin2y42，（t为参数）························· 8分

化为普通方程为：C1：x4y1，C2：y2212x22，

联立消元得2x22x10，

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其判别式(22)24210，

所以压缩后的直线C2与椭圆C1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同． ················································································································10分

008年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的． 1、已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ）

A. (－1，1) C. (－2，－1) 【标准答案】Ｃ

【试题解析】易求得Mx|2x1,Nx|x1∴MNx|2x1 【高考考点】一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算 【易错提醒】混淆集合运算的含义或运算不仔细出错

【全品备考提示】一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，

要认真掌握，并确保得分．

2、双曲线

x2

B. (－2，1) D. (1，2)

10y221的焦距为（ ）

A. 32 【标准答案】Ｄ

B. 42 C. 33 D. 43

【试题解析】由双曲线方程得a10,b2c12，于是c23,2c43，选Ｄ 【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质

【易错提醒】将双曲线中三个量a,b,c的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ

【全品备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高 3、已知复数z1i，则

z2222z1（ ）

A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 【标准答案】Ａ

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【试题解析】将z1i代入得

z2z11i21i12ii2，选Ａ

【高考考点】复数的加减、乘除及乘方运算 【易错提醒】运算出错

【全品备考提示】简单的复数运算仍然是需要掌握的内容，但要求不高，属于必须得分的内容. 4、设f(x)xlnx，若f'(x0)2，则x0（ ）

A. e2

B. e C.

ln22 D. ln2

【标准答案】B

【试题解析】∵fxxlnx ∴f∴由f''xlnxx1xlnx1

x02得lnx012 x0e，选Ｂ

【高考考点】两个函数积的导数及简单应用 【易错提醒】不能熟练掌握导数的运算法则而出错

【全品备考提示】导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．

5、已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），

ab与a垂直，则是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【标准答案】Ａ

【试题解析】由于ab4,32,a1,3,aba ∴43320，即101001，选Ａ

开始 输入a,b,c 【高考考点】简单的向量运算及向量垂直

x=a 【易错点】：运算出错 【全品备考提示】：高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分， 这些习题均不能大意，要争取多得分，最好得满分． 6、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要

求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断 框中，应该填入下面四个选项中的（ ）权 A. c > x B. x > c 【标准答案】：A

C. c > b

D. b > c

是 x=c b>x 是 x=b 否 【试题解析】：有流程图可知第一个选择框作用是比较x与b的大小， 否 故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，故应选Ａ； 【高考考点】算法中的判断语句等知识．

输出x 【易错点】：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 【全品网备考提示】：算法是新课程中的新增加的内容，

157417843.doc－第 11 页 (共 21 页) 结束 也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．

7、已知a1a2a30，则使得(1aix)21(i1,2,3)都成立的x取值范围是（ ）

A.（0，

1a1） B. （0，

2a1） C. （0，

1a3） D. （0，

2a3）

【标准答案】：Ｂ

【试题解析】：由1aix1，得：12aixai2x21，即xai2x2ai0，

解之得0x2ai2ai0，由于a1a2a30，故0x2a1；选Ｂ.

【高考考点】二次不等式的解法及恒成立知识 【易错点】：不能准确理解恒成立的含义而导致错误．

【全品备考提示】：不等式恒成立问题是历年高考的一个重点，要予以高度重视 8、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为Sn，则

152S4a2（ ）

A. 2 B. 4 C. D.

172

【标准答案】：Ｃ

【试题解析】：由于q2,S4a11212415a1 ∴

S4a215a12a1152；选Ｃ；

【高考考点】等比数列的通项公式及求和公式的综合应用

【易错点】：不能准确掌握公式而导致错误． 【全品备考提示】：等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点， 要予以高度重视

9、平面向量a，b共线的充要条件是（ ）

A. a，b方向相同 B. a，b两向量中至少有一个为零向量

C. R， ba D. 存在不全为零的实数1，2，1a2b0 【标准答案】：Ｄ

【试题解析】：若a,b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数1,2,使得

1a2b0；若a0，则由两向量共线知，存在0，使得ba， 即ab0，符合题意，故选Ｄ

【高考考点】向量共线及充要条件等知识．

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【易错点】：考虑一般情况而忽视了特殊情况

【全品备考提示】：在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般性外，

还要注意特殊情况是否成立． 10、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，

则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ） A. [0，5] 【标准答案】：Ｂ

B. [0，10]

C. [5，10]

D. [5，15]

【试题解析】：根据题意可知点Ｐ在线段4x3y06x3上，有线段过原点，故点Ｐ

到原点最短距离为零，最远距离为点P6,8到原点距离且距离为１０，故选Ｂ；

【高考考点】直线方程及其几何意义

【易错点】：忽视了点的范围或搞错了点的范围而至错． 【全品备考提示】：随着三大圆锥曲线的降低要求，直线与圆的地位凸现，要予以重视． 11、函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（ ）

A. －3，1 【标准答案】：Ｃ

13【试题解析】：∵fx12sinx2sinx2sinx

2222 B. －2，2 C. －3，

32 D. －2，

32

∴当sinx12时，fmaxx32，当sinx1时，fminx3；故选Ｃ；

【高考考点】三角函数值域及二次函数值域

【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错．

【全品备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可．

12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） ．．．

A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β 【标准答案】：Ｄ

D. AC⊥β

【试题解析】：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然ACl，

但ＡＣ不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；

【高考考点】线面平行、线面垂直的有关知识及应用 【易错点】：对有关定理理解不到位而出错．

【全品备考提示】：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________ 【标准答案】：１５

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【试题解析】：由于an为等差数列，故a3a8a5a6∴a5a3a8a622715 【高考考点】等差数列有关性质及应用 【易错点】：对有关性质掌握不到位而出错．

【全品备考提示】：等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容，

要予以重点掌握并灵活应用．

14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________

【标准答案】：V43

12【试题解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径

432R3212 ∴R1 ∴球的体积V2

【高考考点】正六棱柱及球的相关知识

【易错点】：空间想象能力不强，不能画出直观图而出错．

【全品备考提示】：空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养． 15、过椭圆

x25y241的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，

则△OAB的面积为______________ 【标准答案】：

53

224x5y20054【试题解析】：将椭圆与直线方程联立：，得交点A0,2,B,；

33y2x1故SOAB12OFy1y212143253；

【高考考点】直线与椭圆的位置关系

【易错点】：不会灵活地将三角形面积分解而导致运算较繁．

【全品备考提示】：对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主，对于直线与圆锥曲线的 位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可．

16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：

甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307

308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352

乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图

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根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

① ； ② . 【试题解析】：参考答案（１）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度； （２）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较

甲品种棉花的纤维长度更集中）．

（３）甲品种棉花的纤维长度的中位数为３０７mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为

３１８mm；

（４）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种 棉花的纤维长度除一个特殊值（３５２）外，也大致对称，其分布较均匀；

【高考考点】统计的有关知识

【易错点】：不会对数据作出统计分析． 【全品备考提示】：对数据的处理是新高考的一个新要求，此类问题今后仍然会出现.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17、（本小题12分）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

BD交AC于E，AB=2．（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE．

【试题解析】：.(1)

DCEAB因为

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000BCD9060150,CBACCD

所以CBE150，cosCBEcos450300(2)在ABE中，AB2，故由正弦定理得

AEsin451500642

2sin901500,故AE2sin30cos150026412262

【高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用

【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错． 【全品备考提示】：解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视．

18、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，

它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC'，

证明：BC'∥面EFG． E

18. 【试题解析】(1)如图 ABD'GFB'4C'6222DC4正视图侧视图157417843.doc－第 16 页 (共 21 页)

（２）所求多面体的体积VV长方体V正三棱锥446128413222cm 323（３）证明：如图，在长方体ABCDA'B'C'D'中，连接AD'，则AD'∥BC'

因为Ｅ，Ｇ分别为AA',A'D'中点，所以AD'∥EG，从而EG∥BC'，

'又BC平面EFG, 所以BC∥平面ＥＦＧ；

'【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识 【易错点】：对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．

【全品备考提示】：三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，

要予以足够的重视．

19、（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调

查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

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19. 【试题解析】 （１）总体平均数为

1656789107.5

（２）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”

从总体中抽取２个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共１５个基本结果．

事件Ａ包含的基本结果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有７个基本结果； 所以所求的概率为PA715

【高考考点】统计及古典概率的求法 【易错点】：对基本事件分析不全面．

【全品备考提示】：古典概率的求法是一个重点，但通常不难，要认真掌握．

20、（本小题满分12分）已知m∈R，直线l：mx(m21)y4m和圆C：

22xy8x4y160． （1）求直线l斜率的取值范围；

（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为1的两段圆弧？为什么？

2２０【试题解析】

（１）直线l的方程可化为y1mm12x4mm12，此时斜率k12mm12

因为mm221，所以kmm12，当且仅当m1时等号成立

所以，斜率k的取值范围是11,； 2212（２）不能.由（１知l的方程为ykx4，其中k；

圆Ｃ的圆心为C4,2，半径r2；圆心Ｃ到直线l的距离d21k2

由k12，得d451，即d23r2，从而，若l与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l所得

12的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为的两端弧；

【高考考点】直线与圆及不等式知识的综合应用 【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错．

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【全品备考提示】：本题不是很难，但需要大家有扎实的功底，对相关知识都要受熟练掌握；

21、（本小题满分12分）设函数f(x)axbx，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

（1）求yf(x)的解析式；（2）证明：曲线yf(x)上任一点处的 7x4y120．

切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值． ２１. 【试题解析】１）方程7x4y120可化为y74x3，当x2时，y12；

b12aa1b22'又fxa2，于是，解得，故fxb3ab744xx3x

（２）设Px0,y0为曲线上任一点，由y1'3x2知曲线在点Px0,y0处的切线方程为

333yy012xx0，即yx012xx0

xxx000令x0，得y6，从而得切线与直线x0的交点坐标为0,；

x0x06令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为2x0,2x0； 所以点Px0,y0处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为

126x02x06；

故曲线yfx上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为定值，此定值为６；

【高考考点】导数及直线方程的相关知识 【易错点】：运算不仔细而出错． 【全品备考提示】：运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了，

但对准确率的要求提高了．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P． （1）证明：OM·OP = OA2；

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（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线

ON于K．证明：∠OKM = 90°．

22．【试题解析】（１）证明：因为ＭＡ是圆Ｏ的切线，所以OAAM，又因为APOM，

在RtOAM中，由射影定理知OA2OMOP；

（２）证明：因为ＢＫ是圆Ｏ的切线，BNOK，同1有：OB2ONOK，又OBOA，

所以OMOPONOK，即

ONOPOMOKONPMBAK，又NOPMOK，

所以ONPOMK，故OKMOPN900；

【高考考点】圆的有关知识及应用

【易错点】：对有关知识掌握不到位而出错 【全品备考提示】：高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，

它是我们的得分点之一．

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：xcosysin(为参数)，曲线

2xt2C2：2yt22(t为参数)．

（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

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（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'．写出C1'，

C2'的参数方程．C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？

说明你的理由．

２３. 【试题解析】 （１）Ｃ１时圆，Ｃ２是直线

Ｃ１的普通方程为x2y21，圆心Ｃ１（0,0），半径r1; Ｃ2的普通方程为xy20,因为圆心Ｃ１到直线xy20的距离为１，

所以Ｃ１与Ｃ２只有一个公共点； （２）压缩后的参数方程分别为

xcos'C1:为参数，C2'1ysin22xt2:2yt42t为参数

化为普通方程为C1':x2+4y2=1，C2':y212x22，

联立消元得：2x22x10，其判别式22【高考考点】参数方程与普通方程的互化及应用

24210；

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同；

【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错．

【全品备考提示】：高考对参数方程的考查要求也不高，故要重点掌握，

它也是我们的得分点之一．

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