中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题
面积类
1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得
；
2
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m+2m+3）； ∴故MN=﹣m+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m（0＜m＜3）． （3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB， ∴S△BNC=（﹣m+3m）•3=﹣（m﹣）+
2
2
2
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2
（0＜m＜3）；
．
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为
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2．如图，抛物线
点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；
的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x﹣x﹣2．
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC=OA•OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
2
2
x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
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，解得：即 M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
平行四边形类
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+3t，然后根据二次函数的最值得到
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当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用
S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 解答：
解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x+mx+n，得
解得
，所以抛物线的解析式是y=x﹣2x﹣3．
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设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t﹣2t﹣3）， 因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+3t， 当t=﹣
则S△ABM=S△BPM+S△APM=（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=去），所以P点的横坐标是
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2
2
2
，解得，
=时，二次函数的最大值，即PM最长值为
=
．
=，
，t2=（舍
；
（舍去），t2=或
．
，所以P点
③当P在第三象限：PM=OB=3，t﹣3t=3，解得t1=的横坐标是
．所以P点的横坐标是
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4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的， 又A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A′（﹣1，0），B′（0，2）． 方法一：
设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c（a≠0）， ∵抛物线经过点A′、B′、B，
2
∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x+x+2．
2
方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2） 将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2）， 解得：a=﹣1，
故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x+x+2； （2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x+x+2．
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连接PB，PO，PB′，
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB， =×1×2+×2×x+×2×y， =x+（﹣x+x+2）+1， =﹣x+2x+3．
∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1， 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则 4=﹣x+2x+3， 即x﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1，
此时y=﹣1+1+2=2，即P（1，2）．
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍． （3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可． ①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 或用符号表示：
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．
5．如图，抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D （C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状； （3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
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解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4， ∴A（1，﹣4）．
（2）△ABD是直角三角形．
=1，且顶点A在y=x﹣5上，
将A（1，﹣4）代入y=x﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4， ∴c=﹣3，∴y=x﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3） 当y=0时，x﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C（﹣1，0），D（3，0），
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BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2， AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形． （3）存在．
由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0） ∴OE=OF=5， 又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G． 设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5） 则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1﹣x1）+（1﹣x1）=18，x1﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4 ∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），
存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
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周长类
6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
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解：（1）∵抛物线y=∵顶点在直线x=上，∴﹣
=﹣
经过点B（0，4）∴c=4，
=，∴b=﹣
；
∴所求函数关系式为；
，
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5， ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 当x=5时，y=当x=2时，y=
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
， ，
则，解得：，∴，
当x=时，y=（4）∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD， ∴
即
得ON=
，∴P（），
，
（PF+OM）•OF=（+t）×，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=
， ，
设对称轴交x于点F，则∵
S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），
a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．
由S△PMN=﹣t+∴当t=
2
t=﹣（t﹣）+
2
，
）．
时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，
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等腰三角形类
7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣2
）；
2
=2，
（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2
）代入，得
，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP，
则2+|y|=4，解得y=±2当y=2
2
2
2
，
=
，
时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=
∴∠POD=60°，
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∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2
不符合题意，舍去，
） |=4，
2
2
∴点P的坐标为（2，﹣2②若OB=PB，则4+|y+2解得y=﹣2
，
2
故点P的坐标为（2，﹣2
2
2
2
），
|，
2
③若OP=BP，则2+|y|=4+|y+2解得y=﹣2
，
），
故点P的坐标为（2，﹣2
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2
），
8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax+ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO，（1分） 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BCD≌△CAO，（2分） ∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）
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∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）
（2）抛物线y=ax+ax﹣2经过点B（﹣3，1）， 则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分） 解得a=，
所以抛物线的解析式为y=x+x﹣2；（7分） （3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以
2
2
AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分） 过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分） ②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分） 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分） ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）
经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x+x﹣2上．（16分）
9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BDC≌△COA， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y=ax﹣ax﹣2过点B（3，1）， ∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣2；
（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，
∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x﹣x﹣2上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）， 同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x﹣x﹣2上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）， 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1，
∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x﹣x﹣2上；
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故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．
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