链接真题，研究结论，拓展应用——圆锥曲线的离心率问题

解法探究　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０２０年８月

链接真题，研究结论，拓展应用

———圆锥曲线的离心率问题

?山东省平度市第九中学　史桂香

圆锥曲线一直是高中数学的重点和难　　众所周知，

点之一，也是高考中的热点问题，是高考中区分度较大的问题，难度一般是中档及以上，备受关注．圆锥曲往往代数与几何交汇，既有“数”又有“形”，既有线中，

“动”又有“静”，而且一部分题目有着很强的结论性背是考查能力，体现选拔的好载体．下面结合一道高景，

考真题，通过研究一般性结论，并加以拓展与应用．

证明：在△犉１犘犉２中，由于∠犘犉１犉２＝α，

犉２犉１＝β．设犘犉１＝犿，犘犉２＝狀，而２犮＝∠犘犉１犉２，结合正弦定理可得

犿狀＝＝ｓｉｎｓｉｎαβ２犮其中犚为△犉１犘２犚（犉２的外接圆＝［］ｓｉｎπ－（α＋β）

一、真题链接

高考真题：（２０１８年高考数学全国卷Ⅱ文科第１１题）已知犉１，犉２是椭圆犆的两个焦点，犘是犆上的一点，若犘且∠犘，则椭圆犆的离犉１⊥犘犉２，犉２犉１＝６０°心率为（．　　）

Ａ．１－

３－１槡．２－槡３　Ｃ．３－１槡　Ｂ　Ｄ．２２

解析：在△犉１犘犉２中，由于犘犉１⊥犘犉２，且

３槡犿狀２犮，则有又由椭圆的半径）２犚．＝＝（＝

ｓｉｎｉｎｉｎα＋β）αｓβｓ

定义可知，２犪＝犘犉１＋犘犉２＝犿＋狀＝２犚（ｓｉｎβ＋，所以椭圆犆的离心率犲＝ｓｉｎα）

犮２犮２犮＝＝＝犪２犪犿＋狀（（２犚ｓｉｎｉｎα＋β）ｓα＋β）．＝）２犚（ｓｉｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎ＋＋ααββ点评：根据已知椭圆的焦点三角形中两内角的值，可以直接来确定相应椭圆的离心率．这里综合应正弦定理、诱导公式、椭圆的定义用了三角形的性质、

与基本性质等．其实，通过探究与拓展，双曲线中也有类似的结论．

２

狓２狔结论２：已知犉１，是双曲线：（犉２犆２－２＝１犪＞

犪犫，设犘则２犉２犉１＝６０°犉２＝犿，犮＝犉１犉２＝２犿，∠犘又由椭圆的定义可知，犘犉１＝槡３犿．２犪＝犘犉１＋）所以椭圆犆的离心率犘犉２＝槡３犿＋犿＝（３＋１犿，槡犮２犮２犿２

犲＝＝＝３－１．＝＝槡犪２犪（）３＋１犿槡３＋１槡故选Ｄ．

点评：椭圆的焦点三角形问题，是椭圆问题中的常考知识点之一，在解决这类问题时经常会用到正弦定理或余弦定理，以及椭圆的定义与基本性质等，用来求解对应的三角形问题以及椭圆的离心率或相关的弦长等．

，）的两个焦点，且∠犘０犫＞０犘是犆上的一点，犉１犉２＝

犉２犉１＝β，则双曲线犆的离心率犲＝α，∠犘（ｓｉｎα＋β）

．

ｓｉｎｉｎα－ｓβ具体证明过程可参考以上结论１的证明过程，这里不再赘述．

三、结论应用

离心率的求解１．

２

狓２狔例１（原创题）已知，是双曲线：犉１犉２犆２－２　

犪犫二、结论总结

２

狓２狔结论１：已知犉１，是椭圆：（犉２犆２＋２＝１犪＞犫犪犫）的两个焦点，且∠犘犘是犆上的一点，犉１犉２＝α，＞０

（ｓｉｎα＋β），则椭圆的离心率犉２犉１＝犆犲．＝∠犘βｓｉｎｉｎα＋ｓβ（，）的两个焦点，若１犪＞０犫＞０犘是犆上的一点，＝

且∠犘，则双曲线犆的离心率犘犉１⊥犘犉２，犉２犉１＝６０°为（．　　）

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２０２０年８月　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解法探究

Ａ．１＋

．２＋槡３　Ｃ．３＋１槡　Ｂ　Ｄ．

２２

分析：结合题目条件，先确定α与β的值，直接利

３槡

３＋１槡

综合应用问题３．　　

例３２０１３年高考数学　（浙江卷理科第９题）如图１，

教学

参谋

用结论２，代入双曲线犆的离心率公式加以运算求解，即可得以确定对应的离心率的值．

解析：在△犉１犘犉２中，由于犘犉１⊥犘犉２，且

，犉２犉１＝６０°可知，犉１犉２＝３０°犉２犉１＝∠犘∠犘α＝∠犘β，根据结论２，可得双曲线犆的离心率犲＝６０°＝

（（）ｓｉｎｓｉｎ３０°＋６０°α＋β）

３＋１．＝＝槡

ｓｉｎｉｎｓｉｎ３０°ｉｎ６０°－ｓα－ｓβ故选择答案Ｄ．

点评：利用相应的结论，可以简单快捷求解相应圆锥曲线的离心率问题．利用结论１，也可以简单快捷求解对应高考真题：在△犉１犘犉２中，由于犘犉１⊥且∠犘，可知∠犘，犘犉２，犉２犉１＝６０°犉１犉２＝α＝３０°，根据结论１，可得椭圆犆的离心率犉２犉１＝６０°∠犘β＝（（）ｓｉｎｉｎ３０°＋６０°α＋β）ｓ

犲＝３－１．＝＝槡

ｓｉｎｉｎｓｉｎ３０°ｓｉｎ６０°＋α＋ｓβ角度的确定２．

２

狓狔例２（原创题）已知，是椭圆：犉１犉２犆２＋２＝　

犪犫（）的两个焦点，若椭圆犆１犪＞犫＞０犘是犆上的一点，

２

狓２２

犉１，犉２是椭圆犆１：＋狔１＝

４

与双曲线犆２的公共焦点，犃，

图１

四象限的公共点．若四边形犅分别是犆１，犆２在第二、

则犆２的离心率是（犃犉１犅犉２为矩形，．　　）

３６槡

Ａ．２　　　Ｂ．３　　　Ｃ．　　　Ｄ．槡槡

２２

分析：结合题目条件，先设出相应的α与根据条β，分别利用结论１与结论２建立相应件确定两者互余，

的关系式，结合三角函数的相关关系加以链接，并借助三角公式的应用加以等量代换，从而得以确定对应的离心率的值．

解析：由于四边形犃设∠犃犉１犅犉２为矩形，犉１犉２

根据对称性，不失一般性，不妨设α犉２犉１＝＝α，∠犃β（

，则有α＋由题可知，椭圆犆１的离心率犲９０°．１＞β）β＝＝

３槡，设双曲线２

根据结论１，可得椭犆２的离心率为犲２，

３

的离心率犲＝槡，且∠犘，则∠犉１犘犉１犉２＝３０°犉２＝

２

．分析：结合题目条件，先设出相应α与β的值，直，代入椭圆犆的离心率公式加以运算求接利用结论１

解，结合同角三角函数的基本关系式及其三角形的内角和公式，即可确定角β的值，进而确定∠犉１犘犉２的即可得以确定对应的离心率的值．值．

解析：在△犉１犘由于∠犘，可知犉２中，犉１犉２＝３０°，设∠犘根据结论１，可得犉１犉２＝３０°犉２犉１＝∠犘α＝β，（（ｓｉｎｉｎ３０°＋β）槡３α＋β）ｓ椭圆犆的离心率犲＝＝＝，

ｓｉｎｉｎｉｎ３０°＋ｓｉｎα＋ｓβｓβ２

解得β＝，则有∠犉１犘３０°犉２＝１８０°１２０°．－α－β＝

故填答案１２０°．

点评：巧妙借助相应的结论，可以有效降低问题破解思路明确，利用已知条件建立相应的关系难度，

式，并利用三角函数的相关关系加以综合处理，为确定此类圆锥曲线中角的角度问题提供一种全新的思路与方法．

（ｓｉｎ１３槡α＋β）圆犆１的离心率犲则＝＝，１＝

ｓｉｎｉｎｃｏｓｓｉｎ２＋α＋ｓααβ２

两边平方整理可得２有ｓｉｎｏｓｓｉｎｃｏｓα＋ｃα＝，αα＝３槡１

，而根据结论２，可得双曲线犆２的离心率犲２＝３

（ｓｉｎ１１６槡α＋β）

＝＝＝．

ｓｉｎｉｎｉｎｏｓα－ｓα－ｃα槡βｓｓｉｎｃｏｓ１－２αα２

故选Ｄ．

点评：破解此题的方法较多，通过椭圆、双曲线的定义，以及直角三角形的特征建立相应的关系式，求计算量比较大，相关量比较多，容易解过程比较烦琐，

导致思维混乱与运算错误．而利用相应的结论，设出借助两个结论以及三角函数的相关知识加对应的角，

思路明确，运算量小，过程简单．以分析与转化，

借助一些基本的、常见的圆锥曲线的结论，可以进一步理解与掌握圆锥曲线的相关知识，有效融合数学不同知识点，并加以合理转化，巧妙求解，简化过程，提升速度，从而有效提升学生的推理论证能力与创新意识，促进思维能力和思维品质的全面提高，培养数学核心素养．犠Copyright©博看网 www.bookan.com.cn. All Rights Reserved.高中

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