二次函数图像与性质总结

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，0 0，0 y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0． a0 向下 y轴 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. yax2c的性质： 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，c 0，c y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． a0 2向下 y轴 x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c． 3. yaxh的性质：

左加右减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，0 X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． a0 2向下 h，0 X=h 4. yaxhk的性质： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，k h，k X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． a0 向下 X=h 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

1

k；方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h， k处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成

22yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成

22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

三、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配b4acb2b4acb2方可以得到前者，即yax，其中h，． k2a4a2a4a222四、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们

c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

五、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a 2

当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x2a2a2a4acb2时，y有最小值．

4ab4acb2b 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，．当

2a4a2axbbb时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y2a2a2a4acb2有最大值．

4a六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

3

ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，2a概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

八、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

22b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22

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