直线与平面垂直练习题

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课时跟踪检测〔十二〕直线与平面垂直

层级一 学业水平达标

1．以下条件中，能使直线m⊥平面α的是( )

A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α

D．m∥b，b⊥α

解析：选D 由线线平行及线面垂直的判定定理的推论1知选项D正确．应选D. 2．假设两直线a与b异面，那么过a且与b垂直的平面( )

A．有且只有一个 C．有无数多个

B．可能有一个，也可能不存在 D．一定不存在

解析：选B 当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．

3．空间四边形ABCD的四边相等，那么它的两对角线AC，BD的关系是( )

A．垂直且相交 C．垂直但不相交

B．相交但不一定垂直 D．不垂直也不相交

解析：选C 取BD的中点E，连接AE，CE. 那么BD⊥AE，BD⊥CE， 又AE∩CE＝E， ∴BD⊥平面AEC. ∵AC⊂平面AEC， ∴AC⊥BD.

观察图形可知AC与BD不相交．

4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l 与直线AC的关系是( ) A．异面 C．垂直

B．平行 D．不确定

解析：选C ∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.

5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，那么P到BC的距离是( )

A.5 C．35

B．25 D．45

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解析：选D

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如下图，作PD⊥BC于D，连接AD. ∵PA⊥△ABC，∴PA⊥BC. 又PA∩PD＝P，

∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.

在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4. 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4， ∴PD＝

82＋42＝45.

6．直线l，a，b，平面α，假设要得到结论l⊥α，那么需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________． 答案：a，b相交

7．长方体ABCD­A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1，且MN⊥BC于点M，那么MN与AA1的位置关系是________．

解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1， 又∵MN⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥MN.

又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，

∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN. 答案：平行

8．PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，假设PC⊥BD，那么平行四边形ABCD一定是________．

解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥

PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平

行四边形ABCD为菱形． 答案：菱形

9.如下图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，B1B 的中点．求证：CF⊥平面EAB. 证明：在平面B1BCC1中， ∵E，F分别是B1C1，B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF，

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∴∠BCF＋∠EBC＝90°， ∴CF⊥BE，

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又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥CF.∵AB∩BE＝B， ∴CF⊥平面EAB.

10.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上

任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM.

(2)假设AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)∵AB为⊙O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A， ∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M， ∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，

PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥NQ.

层级二 应试能力达标

1．m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )

A．α∥β，且m⊂α C．m⊥n，且n⊂β

B．m∥n，且n⊥β D．m⊥n，且n∥β

解析：选B A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m- .jz*

∥β或m与β相交，不符合题意，应选B.

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2．直线PG⊥平面α于G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )

A．PE>PG>PF C．PE>PF>PG

B．PG>PF>PE D．PF>PE>PG

解析：选C 由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF， ∴PG最短，PF3．P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，那么以下命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；

③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的选项是( ) A．①②③ C．②③④ 解析：选A

由PA，PB，PC两两垂直可得PA⊥平面PBC；PB⊥平面PAC；PC ⊥平面PAB所以PA⊥BC；PB⊥AC；PC⊥AB，①②③正确．④错 误．因为假设AB⊥BC，那么由PA⊥平面PBC得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PC⊥平面PAB，这与过一点有且只有一条直线与平面垂直矛盾．

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以下结论错误的选项是( )

A．BD∥平面CB1D1 C．AC1⊥平面CB1D1 解析：选D

在正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1，可易 得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1， 同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1 不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．应选D.

5.如下图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB 上的点，假设∠B1MN是直角，那么∠C1MN＝________. 解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1， ∴B1C1⊥MN.

又∵MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M， ∴MN⊥C1M.∴∠C1MN＝90°.

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B．①②④ D．①②③④

B．AC1⊥BD D．AC1⊥BD1

答案：90°

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6.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，此图形

中有________个直角三角形．

解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC， ∵AB⊥BC，且PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PB.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个． 答案：4

7.如下图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，

N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.

求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．

证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形， ∴AD1⊥A1D.

又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D， ∴AD1⊥平面A1DC.

又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1. (2)

连接ON，在△A1DC中，

A1O＝OD，A1N＝NC，

11

∴ON綊CD綊AB.

22∴ON∥AM.

又∵MN∥OA，

∴四边形AMNO为平行四边形．∴ON＝AM. 11

∵ON＝AB，∴AM＝AB.

22

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∴M是AB的中点．

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8．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，

D是A1B1的中点．

(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；

(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你 的结论．

证明：(1)∵ABC­A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点， ∴C1D⊥A1B1.

∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1， ∴C1D⊥平面AA1B1B.

(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，那么AB1⊥平面C1DF，点F为所求．

∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D， ∴AB1⊥平面C1DF. ∵AA1＝A1B1＝2， ∴四边形AA1B1B为正方形． 又D为A1B1的中点，DF⊥AB1， ∴F为BB1的中点，

∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.

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