抛物线焦点弦的牲质 四川省绵竹中学王永见 性质５：过抛物线ｙａ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点Ｆ作倾斜角为０ 在直线与抛物线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关 系尤为重要，它有一些重要且实用的性质．这些性质通常是解决相 （０≠０）的直线，且与抛物线交于Ａ、Ｂ两点，则△ＡＯＢ的面 关问题的切人点，起着举足轻重的工具性作用，有必要认真领会、 积Ｓ＝ 。 ２ｓｉｎＯ 系统掌握．但教材中对其相关性质并没有明确而规范的逐一落列， 证明： 由性质４得ＩｈＢＩ＝ ２ｐ只能靠教学者自身提炼、总结和归纳．现将其有关性质进行探讨和 点０到直线ＡＢ ， 研究 设抛物线的方程为Ｙ：＝２ｐｘ（Ｐ＞０），过焦点Ｆ（ｐ２，０）作倾斜角 ｙ＝ｔｇ ０（Ｘ一２）的距离为 为ｑ的直线，交抛物线于Ａ、Ｂ两点，则线段ＡＢ称抛物线的焦点 ｄ＝ ｛ ＝Ｐ‘Ｉｓｉｎ ｅ Ｊ。 弦，抛物线的焦点弦具有以下性质： 性质１：已知过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞Ｏ）的焦点，的直线交抛物线于 ，ｌ＋姆 ２ Ｍ），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，则ｆ ＝ ＋ｘ２＋ｐ（由焦半径公式推导） 性质２：Ａ、Ｂ两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值。即 口 ・。．．．ｓ△ＡＯＢ－ ２ｐＡＯＢ－ ．－ｒ Ｓ△ ｉ・ Ｐ［ｓｉｎ Ｉｎ０ Ｚ。‘ 。 Ｉ ｐ ・ ．。 性质６：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切． 证法一：如图３，设ＰＱ中点为Ｒ，则Ｒ即为ＰＱ为直线圆的圆心， Ｘ］Ｘ２￣ ，ＹｌＹ２ 一ｐ２ 。 又设Ｐ（ｘｌ，Ｙ１），Ｑ（ｘ２，Ｙ２）， 证明：当直线ＡＢ斜率存在时，设ＡＢ的方程为：ｙ＝ｋ（ｘ一专）， 过Ｒ作ＲＳ上ＭＮ于Ｓ，， 代人抛物线得４ｋＺｘ２—４ｐ（ｋ ＋２）Ｘ＋ｋ２ｐ２＝Ｏ，设Ａ（ｘｌ，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，Ｙ２）， ｐ（ｘｌ，ＹＤ 由韦达定理得Ｘ。Ｘ２－－ 为定值；而ｌ ｙ１ｙ２ｌ＝ 。． ＝２ｐ ＿＿＝ Ｒ 一 －２ｐ・詈－－ｐ２．．・．ｙｌｙ２－＂一ｐ２。 当直线ＡＢ斜率不存在时，易证上式结论成立。 性质３：设抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞Ｏ），焦点为Ｆ，焦点弦ＰＱ，则 ｆ Ｎ Ｑ（ｘ２ 考，０） １ＩＦＰｌ＋１ＩＦＱＩ＝２ｐ（定值）． 证法：由Ｐ、Ｑ向准线作垂线，垂足分别为Ｍ、Ｎ，作 ＱＡ上Ｏｘ于Ａ，ＦＢ上ＰＭ于Ｂ，准线与Ｏｘ交于Ｅ， Ｍ图３ ＰＱｌ＝ＩＰＦｌ＋ｌＱＦ ＝ —（ｘｌ－￣）—２＋２ｐｘｌ＋—（ｘ２－Ｐ）—ｚ＋２ｐｘ２＝ｘ－ ＋ｘ：＋ ｘ－＋ｘ ＋ｐ 一 Ｆ Ⅳ卜＿ ｒ＼ 圈５ ．ｆ Ｒ（坠 ’．），．・．ＲＳ＝—ＸＩ＋兰 生 ２ ２ ２ ２ ２ ＩＲＳＩ＝￣ｌＰｏ１．． ｙｌ＋Ｙｚ—，Ｘ２＋ ・．．ＲＳ为圆的半径， 命题得证． 一（如图）由△ＡＦＱ一△ＢＰＦ，则ＩＡＦｌｌＱＦＩ＝ｌＢＰｌｌＦＰｌ，即 证法二： 由图３知ＲＳ为梯形ＰＱＮＭ的中位线， ＩＥＦＩ—ｌＮＱＩＩＱＦＩ＝ＩＰＭｌ－ＩＥＦｌｌＰＦｌ， ＩＲＳＩ－１２（ＩＰＭｌ＋ＩＱＮＩ）－１２ＩＰＱＩ（利用性质３）， 但由定义知ＩＮＱｌ＝ＩＦＱｆ，ＩＰＭｆ＝ＩＰＦＩ， ＲＳ为圆的半径，故结论成立． 性质７：以抛物线ｙ２－－２ｐｘ（ｐ＞Ｏ）的焦半径ＩＰＦＩ为直径的圆 ＩＥＦｌ—ｌＦＱｌＩＦＱＩ＝ＩＰＦｌ—ＩＥＦｌＩＦＰＩ，有ｌＥＦｌｌＦＱＩ一１－１ ＩＥＦｌＩＦＰＩ即ｌＥＦｌｌＱＦＩ＋ｌＥＦｌｌＰＦＩ＝２， （ｏＣ）与ｙ轴相切 证明：分别过点Ｐ、Ｃ Ｆ向抛物线的准线作垂线，垂足记为 而ＩＥＦＩ－ｐ，代人后即得ｌｌＦＰＩ＋１ＩＦＱＩ－２ｐ． 性质４：已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），过焦点Ｆ的弦的倾斜角 Ｐ。、Ｃ 、Ｆ ， 与ｙ轴交于Ｐ２、Ｃ２，０， 则Ｃ到ｙ轴的距离 ’．．‘．．。．．为０（０≠０），且与抛物线交于Ａ、Ｂ，则ＩＡＢＩ＝ ｌ且当 ．… Ｌ婴，而［ＰＦ［－［ＰＰ ［－－［ＰＰ２Ｉ＋ＩＰ２Ｐ。Ｉ－－［ＰＰ２Ｉ＋ＩＦＯ ２ 直线ＡＢ与Ｘ轴垂直时，ＩＡＢＩｍｉｎ＝２Ｐ（此时称弦ＡＢ为抛物线的 ｌ，．‘． ｛ＰＦｉ ～ 一，即点Ｃ到ｙ轴的距离等于ｏ Ｃ的半径，．。．ｏ ｃ 通径）。 与ｙ轴相切。 证明：同性质３，分别过点Ａ、Ｂ向抛物线的准线ｌ作 垂线，垂足记为ＡＩ、Ｂ。，则ＪＡＡ Ｊ＝ＩＡＦ Ｊ，ＪＢＢ。Ｊ＝ＪＢＦ Ｊ， ＩＡＢＩ＝ＩＡＡ。ｌ＋ｌＢＢ。Ｉ。 ’．． －』坦 ｒ 设Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），则ＩＡＡ１ｌ＝ｘ１－Ｉ－盖，ＩＢＢ１ｌ＝ｘ２＋量 ‘Ｏ 一 ，．．ｆＡＢＩ＝Ｘｌ＋Ｘ２＋ｐ。 昙，≮ Ｄ）＿ 当ｅ≠９００时，设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｔｇ ０（Ｘ—Ｃ），．代入抛 物线方程得： 辔 扩 ＋ｔｇ２ ０・ｘ２一（２ｐ＋ｐｔｇ２ ｏ）ｘ＋一 一一＝Ｏ， ｘ１＋】【２ ｏ ＇．．．１ＡＢＩ — ｓｉｎ ｏ。 当ｏ＂－９００时，显然ＩＡＢｌ＝２ｐ，符合上式，．‘．ＩＡＢｌ＝ 性质８：以抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），焦点弦ＰＱ端点向准线作 垂线，垂足分别为Ｍ、Ｎ，则ＦＭ上ＦＮ．（其中Ｆ为焦点）． 证明：如图４，由抛物线定义知ｌＰＦＩ＝ＩＰＭｌ，．‘． ｌ＝ ２， 而ＰＭⅡＯｘ，．’． ２－－ ３，．’． Ｉ－－ ３， 同理 ４－－ ６， 而’ ｌ＋ ３＋ ４＋ ６－－Ｉ８０。， 当０－－９００时，ＩＡＢＩｍｉｎ＝２Ｐ，即为通径的长。 ’．． ３＋ ６－－９０。，．‘．ＦＭ上ＦＮ． ４７９ ２０１４．２小作家选刊（教学交流）厂————一
