有理数的运算技巧

对有理数的运算，不但要熟练掌握其法　有倍数关系的分数结合，和为整数的数相结合等．　三、分解带分数　：　则，还要善于运用运算技巧．要注意根据算　：　式的结构特征，灵活选用一些运算律和运算　例３计算１９　×８　：法则，将问题化繁为简，化难为易，使运算过　：　程迅捷简便，收到事半功倍的效果．现举例　分析：本题若直接计算，计算量较大，而且　介绍有理数运算的几个常用技巧．　容易出错．仔细观察算式的特点，若将１９　拆　：　一、约分化简　０－　４－　，，然后运用分配律进行计算，便可简例１计算：（一　）×　×（一吾）×（一４　成２１）×１　×（一５　）．　、　单快捷求解．　ｎ　．　ｊ　，　解：原式＝（２０－—　）×８＝２０×８－　一　：　‘　分析：观察算式可知，一　与１丁１可以约　ｌ叶　＿’　●　ｊ　●　点评：算式中出现带分数时，一般将带分数　再进行计算．　：　互为倒数，因此可将它们分别结合相乘，再把它　转化为假分数，四、乘除转化　们的积相乘．　ｔ分；一寺与一５　也可以约分；而一４争与一　２　＝１６０一告　９吾．　解：原式＝（音×１｝）×（—丢×ｓＬ，）×（４　：　２　例４计算旨÷（１二　Ｕ一　１一　．丁２）　叶＋｝）　　分析：观察算式知，将被除数转化为除数，　然后再转化为乘法运算，利用分配律简化运算，　最后取结果的倒数求得原算式的结果．　×　９　、　！　＝（　×争）×（古×等）×（　×争）　：　：　：　×３×１－　．　｜｜　点评：在进行有理数的乘法运算时，常用的　技巧有将可以约分的分数结合相乘，互为倒数　：　的两数结合相乘，积为１０的倍数的数结合相　：　乘．如果是乘除混合运算，则先将除法转化为乘　！　法运算，再考虑运用运算律简化运算．　：　二、凑整凑零　　：例２计算：（一１　１）＋７　＋（一１．７４）＋６＋　解：‘．’（一　一＿２『。ｉ－｝）÷古　（一　１一一２　ｑ＿）×１２　＝３一　２一手×１２＋｝×１２　＝－２－８＋３一－７．　一西　西１÷（一　１一手＋’　｝）＝一‘　。手．　・．．（－６　一）＋１　一十（一８．２６）　，　ｌ／　３　点评：只有乘法才有分配律，除法没有对　应的分配律，解决本题的关键是将除法运算转　化为乘法运算．　五、先算特殊值　：　ｌ　分析：观察算式发现：一１　与１　互为相　３　ｎ　ｎ　例５计算：　：　反数；７　ｔ　分析：根据０．１、一１在运算中的特性，观察算式　　的和恰好为整数，故可将它们分别结合相加，这　特征寻找运算结果为０，Ｉ或一１的部分优先计算．样可以简化运算，大大提高运算的速度和质量．　解：’．’３．７５—３４＝０，（－１）　＝一１．　与－６　分母相同；一１．７４与－８．２６　（一１）÷（一２００９１）×（３．７５—３｝）＋（＿１）姗．　原式＝０＋（一１）＝一１．　六、逆用分配律　・．．‘　解：原式＝：＝［（一１　１～）＋１　１一】＋６＋［７　，一十　（一６　）】［（＿１．７４）＋（一　］　—篇　叠　箬　．的加减运算时，常用的　５２４×　２＋２４×争）　技巧有将正、负数分别结合。整数、小数、分数分　例６计算：（一丢＋　一　＋　）×（２４×　２０别结合，互为相反数的两数结合，同分母或分母　分析：通过细心观察算式的数值之间的关　系，可先对第２个括号逆用乘法分配律简便运　“一—１一—　算后，对第１个括号正用乘法分配律，再次进行　简便运算，使问题快速获解．　＿”ｌ　６４　‘　６４　九、裂项相消　原式＝（一丢＋２３一　＋　）×［２４　５—２９　＋手）】＝（一丢＋手一　＋　）×２４×　＝一丢×　２４＋手×２４一　×２４＋　×２４　＝一１０＋１６—２０＋９：一５　例９计算：击＋　＋　…＋　１　而　丽　分析：计算本题，若采取通分的方法，显然　很难算出结果，考虑到丁　一　卜　，　…　：　七、整体设元法　：　一　例７计算：・一争＋｝一　＋　一丢＋　一２　３’３×４　一３　４’　２００８×２００９　ｊ一　解：设上式为Ｓ，则：　丽１　，即可将算式中的每个分数拆成　６４　１２８　两个分数之差的形式，于是可将原式转化为（１一　ｓ＝　一　＋｝一　＋　一丢＋　一　（１）　从一　到　的项全部抵消掉，大大简化了　２Ｓ＝２一　＋　一｝＋　一　＋丢一寺（２）　运算过程．　把（１）和（２）式的左边和左边，右边和右边　分别相加．　解：原式＝（１一　）＋（　一　）＋（｝一｝）＋　、　一一　）　得：２Ｓ十ｓ　２＋（卜１）＋（一　１＋　）＋…＋（寺　＋（…１）＋（　一｝）＋（　一｝）…＋　一　－＿），　２００８　２００９　１　、　１　：１一　＋　一　＋—　一—１＿＋…＋—　１２　２　３　３　——１　１——２００８　４２　一　６４　１２８　２００８　则３Ｓ一２去　所以，ｓ　２００９　２００９　２００９‘　点评：利用分数分母的特点，把每个分数拆　成两个分数差的形式，根据互为相反数的和为　点评：此类问题的特征是符号正负相间，分　０的性质巧妙地抵消掉中间的所有项，从而使复　子都为１，分母之间存在倍数关系，此题中的分　杂难以计算的算式轻而易举获解．　母之间是倍数关系．　十、构造几何图形　八、巧添辅助数　例８计算：｝＋｝＋｝＋丢＋丢＋音．　分析：本题如直接通分计算，显然计算起来　例１０计算：争＋　＋　＋　１＋－．－＋２￣１－．　分析：想到边长为１的正方形的面积为１，　正方形的一半的面积则为　，正方形的一半的　一很繁杂，但若添加项寺与一寺，ｒ　ｎ‘Ｌ　再从后往前　依次结合相加，可使计算简便．　半的面积则￣３　１　＿　１　，……，这样可想到构造　解：原式　＋｝＋　＋・　１＋丢＋寺＋　１出一个边长为１的正方形即可快速求解．　解：设计如图所示的几何图形．　１　２　一　６４　６４　：　２　＋　４　＋　８　＋　１６　＋　３２　＋　３２　一　６４　：　＋　＋　＋—１．＋—１＿一—１＿　２　：　４　４　８　８　１６　一　１６　６４　６４　１　２　２　　１Ｉ　　Ｉ———一　　ｊ●●●　＋　＋　＋　２　：　８　＋　＋　一　：　＋　一　２　４　４　６４　２　２　６４　．・．　＋　＋　１＋　＋．一＋　一　．　：１一　：　６４　６４’　点评：本题实质上是添加了一个…０’即　点评：这里利用几何求解，方便、快速、准　确，方法也独特，易于理解，便于掌握．