1990年数学四试题一、填空题(1)极限lim(n+3n−n−n)=___________.n→∞(2)设函数f(x)有连续得导函数,f(0)=0,f′(0)=b,若函数⎧f(x)+asinx,⎪F(x)=⎨x⎪A,⎩在x=0处连续,则常数A=___________.(3)曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为___________.⎧x1+x2=−a1,⎪x+x=a,⎪2(4)若线性方程组⎨23有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件______.x+x=−a,3⎪34⎪⎩x4+x1=a4(5)已知随机变量X∼N(−3,1),Y∼N(2,1),且X,Y相互,设随机变量Z=X−2Y+7,则Z∼___________.x≠0,x=0二、选择题(1)设函数f(x)=x⋅tanx⋅esinx,则f(x)是(A)偶函数(B)无界函数()(D)单调函数(C)周期函数(2)设函数f(x)对任意x均满足等式f(1+x)=af(x),且有f′(0)=b,其中a,b为非零常数,则()(B)f(x)在x=1处可导,且f′(1)=a(D)f(x)在x=1处可导,且f′(1)=ab()(A)f(x)在x=1处不可导(C)f(x)在x=1处可导,且f′(1)=b(3)向量组α1,α2,⋯,αs线性无关的充分条件是(A)α1,α2,⋯,αs均不为零向量(B)α1,α2,⋯,αs中任意两个向量的分量不成比例(C)α1,α2,⋯,αs中任意一个向量均不能由其余s−1个向量线性表示(D)α1,α2,⋯,αs中有一部分向量线性无关(4)设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A)A*=A(C)A*=An−1()(B)A*=A(D)A*=A−1n(5)已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值为(A)n=4,p=0.6(C)n=8,p=0.3三、计算题221x1+t2)et−xdt.(∫x→∞x0xxcos42dx.(2)求不定积分∫3sinx()(B)n=6,p=0.4(D)n=24,p=0.1(1)求极限lim⎛(3)设x2+z2=yϕ⎜⎝D∂zz⎞⎟,其中ϕ为可微函数,求∂y.y⎠2(4)计算二重积分∫∫xe−ydxdy,其中D是曲线y=4x2和y=9x2在第一象限所围成的区域.四、某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:R=15+14x1+32x2−8x1x2−2x12−10x22.(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、证明不等式1+xlnx+1+x2≥1+x2(−∞
