利用微积分算子求幂级数的和函数

第１４卷第３期　高等数学研究　Ｖｏｌ＿ｌ４，Ｎｏ．３　２Ｏｌ１年５月　ＳＴＵＤＩＥＳ　ｌＮ　Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｍａｙ，２Ｏｌ１　利用微积分算子求幂级数的和函数　彭凯军，孙胜先，苏灿荣　（合肥工业大学数学学院，安徽合肥２３０００９）　摘　要　针对幂级数求和函数的问题，引入借助微分算子、积分算子和微分方程进行计算的方法，可作为逐项　微分法和逐项积分法的一种补充．实例说明其应用．　关键词　幂级数；微分算子；积分算子；微分方程　中图分类号０１７３　文献标识码　Ａ　文章编号　１００８—１３９９（２０１１）０３—００３７—０２　针对幂级数求和函数，常用的方法是在收敛区　ｚＤ—ｚ　ｄ，　间内对幂级数采用的逐项微分和逐项积分，化复杂　的幂级数为几种常见的幂级数Ⅲ，这种方法计算量　由定理ｌ得　’　较大，并且容易产生错误．本文给出以下三种利用微　（ｚＤ）Ｘ　＝ｚ・魃　一船”，　…………●　分思想求和函数的方法．　（ｚＤ）卜　—ｎｈ－　ｚ”．　１　微分算子法　因此　定理ｉ　设厂（　）为任一整系数多项式，　７１／ｒ－１Ｘｎ——一　！兰　２：　：　！　ｎ＝ｌ　，ｚ！　ｚＤ—ｚ　ｄｘ　是一阶微分算子，则有　ｃ　Ｈ　杀　一　ｆ（ｘＤ）ｘ　一厂（ｎ）ｘ”．　（ｚＤ）卜　（ｘｅ　）一户＾（　）ｅ　．　证明　不妨设　其中　（　）为Ｘ的点次多项式．令ｚ：１　，则可得　厂（　）一ｃ（ｚ—　１）（ｚ—　２）…（ｚ—Ｘ＾），　Ａ－！一，（１）＝　１）．ｅ．　因为　推论１　设，（ｚ）为任一整系数多项式，试证级数　（ｘＤ一　）　一ｚＤｚ，Ｉ—ｘｋｘ”＝（　一ｘｋ）　，　所以　，（０）＋　＋　＋．．．＋　＋－．・　一ｃ（．ｚＤ－－ｘＯ（ｘＤ－－ｘＤ…（　一五　＝　之和必为ｅ的整数倍．　ｃ（　一面）　一恐）…　一再　一厂（　）　．　证明　因为厂（ｚ）为任一整系数多项式，故由　例１　证明：对任一正整数是，级数　着为ｅ　定理１可得　ｆ（ｘＤ）ｘ”一ｆ（ｎ）ｘ”．　的整数倍．　因此　证明　题中级数的收敛半径　Ｒ一　等：　ｎ一一口　１＂一一　！　，ｌ十ｌ　一＋。。．　薹　一薹ｆ（　ｘＤ）一　故可设　厂　Ｄ）ＥＸｎ一厂（ｚＤ）ｅＩ＿ｇ（ｚ　一　）＝＝＝　争，　∈（一，＋　其中ｇ（　）为非零整系数多项式．令Ｘ＝１，即可知　引入一阶微分算子　萎　，ｌ！　：ｇ（１…‘）ｅ．　收稿日期　２０１＇０—０４—２９；修改日期ｌ　２Ｏ１１—０３—２１．　２　积分算子法　基金项目　合肥Ｔ：业大学校级精品课程项目（数学分析）；中央高校基　本科研业务费专项资金资助项目（１１９—４１１５０９０００４）．　定理２［　设ｇ（　）为任一整非零系数多项式，　作者简介　彭凯军（１９７９－－），男．湖南韶山人，理学硕士，讲师．从事计　算数学研究．Ｉｘｙ—ｐｋｊｉ＠１２６．ｃｏｍ．　Ｄ—ｚ未　３８　高等数学研究　２０１１年５月　为微分算子，令　例３　求幂级数　的和函数－　吉＝加　解法１　原级数的收敛域为（一∞，十∞），设　称之为积分算子，则有　∑—士而　讲　＝　（一　ｇ（去・　１）　＝ｇ（　）　ｎｓＯ（２ｎ＋１）！“　一～　　），　则有　证明　与对定理１的证明类似，从略．　／（ｚ）　，　２　求幂级数∑ｎ＝－Ｉ　≠　的收敛域及和　从而有　函数．　厂（　）＋　）＝＝＝　・　解　原级数的收敛域为［一ｌ，１３，由定理２，有　薹丽（－ｌｙ－￣　妻ｎ＝ｌ　（－１）＝Ｔ＿￣－＇ｘ２＂－２＝　解此一阶线性微分方程可得　）＝　：＝＝　。　ｃ　（去・吉）　。＝　专ｅ　一　．　ｉ１‘吉　（　），ｒ　解法２　由定理３可知　１　１　ｒ　ｒ｜　厂（ｚ）＝，（ｚ），　一Ｄ　ｌ＋ｘ２＝＝＝　—。ｌ＋—ｘ２＝＝＝　搬’　解此二阶常系数齐次微分方程可得相同结果．　３　微分方程法　综上所述，本文介绍了利用微分思想来求幂　级数的和函数，主要介绍了三种在本科教学和研　在实际计算过程中，我们还旬能遇到含阶乘运　究生入学考试中不常用的方法．这两种方法以供　算的缺项幂级数，如　ｚ　等・针对这样的幂　教师教学中拓广学生思路，考研学生考试中丰富　级数，如果能够通过求导降次，构造微分方程，从而　自己解题手段．　参考文献　补充幂级数使得变成一个标准幂级数∑ｎ　Ｘ”的　［１］陈传璋．数学分析ｔ下册［Ｍ］．２版．北京：高等教育出　话，我们可再利用常见的幂级数来求解．　版社，１９９５：６５６．　定理３［｜　设幂级数　ｈ州在收敛　［２３吴良森。毛羽辉，宋国栋，等．数学分析习题精解［Ｍ］．　北京：科学出版社，２００１：３０９—３１０．　域内的和函数为厂（ｚ）（其中ｋ≥２，而ｚ为整数，ｎ，ｂ　［３３裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．２版．北京：　为实数），则有　高等教育出版社，２００７：５０８．　．　（　）一６　厂（　）．　［４］吴守玲．幂级数的求和公式［Ｊ］．抚州师专学报．１９９９．　证明　由数学归纳法可得，从略．　１（３）：２７．３０．　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ａｎｄ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｆｏｒ　．ｔｈｅ　Ｓｕｍ　ｏｆ　Ｐｏｗｅｒ　Ｓｅｒｉｅｓ　ＰＥＮＧ　Ｋａｉ－ｊ　ｕｎ，　ＳＵＮ　Ｓｈｅｎｇ—ｘｉａｎ，　ＳＵ　Ｃａｎ—ｒｏｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｈｅｆｅｉ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｈｅｆｅｉ　２　３０００９．ＰＲＣ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ａｓｓｉｓｔ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ａ　ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ．Ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｒｅ　ｉｎｃｌｕｄｅｄ　ｔｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｏｕｒ　ｍｅｔｈｏｄｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ，ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ