七年级培优竞赛讲义——第9讲：绝对值与一元一次方程

绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．【例题讲解】

例1.方程5x66x5的解是思路点拨(重庆市竞赛题)没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．)．(希望杯邀请赛试题)例2.适合2a72a18的整数a的值的个数有(A．5思路点拨B．4C．3D．2用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如axbcxd的绝对值方程可变形为axb(cxd)且cxd0，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．例3.解方程：x3x14；思路点拨(天津市竞赛题)从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．例4.解下列方程：(1)x3x1x1

(北京市“迎春杯”竞赛题)(2)x1x54．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．1七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持例5.已知关于x的方程x2x3a，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．※巩固训练※

1．方程3(x1)

x51的解是；方程3x12x1的解是．．．2．已知3990x19951995，那么x＝3．已知，xx2，那么19x99+3x+27的值为4．关于x的方程axa1x的解是x=0，则a的值解是x=1，则有理数a的取值范围是．)．；关于x的方程axa1x的5．使方程3x220成立的未知数x的值是(A．一2B．0C．23D．不存在)．(“祖冲之杯”邀请赛试题)6．方程x5x50的解的个数为(A．不确定B．无数个C．2个D．3个7．已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足x

A．10或

1

10，则m的值是(2D．10或)．)(山东省竞赛题)25B．10或

25C．10或

25258．若2000x2000202000，则x等于(A．20或一219．解下列方程：B．一20或21(重庆市竞赛题)D．19或一21C．—19或21(1)3x548；(2)4x323x4；2七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持(3)x2x13；(4)2x1x2x1．10．讨论方程x32k的解的情况．11．方程x212的解是．．．．12．若有理数x满足方程1x1x，则化简x1的结果是13．若a0,b0，则使xaxbab成立的x取值范围是14．若0x10，则满足条件x3a的整数a的值共有15．若m是方程2000x2000x的解，则m2001等于(A．m一2001B．一m一2001C．m+2001个，它们的和是)．D．一m+200116．若关于x的方程2x3m0无解，3x4n0只有一个解，4x5k0有两个解，则m、n、k的大小关系是()．A．m>n>kB．n>k>m)个．C．k>m>nD．m>k>n17．适合关系式3x43x26的整数x的值有(A．0B．1C．2D．大于2的自然数)．A．1个18．方程x53x71的解有(B．2个C．3个D．无数个19．设a、b为有理数，且a0，方程xab3有三个不相等的解，求b的值．(“华杯赛”邀请赛试题)20．当a满足什么条件时，关于x的方程x2x5a有一解?有无数多个解?无解?3七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持21．已知x21x9y51y，求x+y的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22．(1)数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x，使x1x3x?(3)是否存在整数x，使x4x3x3x414?如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．4七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持第九讲绝对值与一元一次方程参考答案5