教学目标 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 公式 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； 常见变形 abc(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C b2＋c2－a2cos A＝2bc； c2＋a2－b2cos B＝2ac； a2＋b2－c2cos C＝2ab 111abc12.S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
或直角图形 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin A 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( ) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边. (4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c2 ＝2，cos A＝3，则b＝( ) A.2 B.3 2 2 C.2 D.3 12b＝－舍去，故选解析 由余弦定理，得5＝b＋2－2×b×2×3，解得b＝33D. 答案 D 3.(2017·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝sin A，则cos B＝( ) 1A.－ 2 1B. 2 C.－ 3 2 D.3 2 b3cos B 解析 由正弦定理知sin Bsin A ＝sin A＝1，即tan B＝3，由B∈(0，π)，所以B3cos B ππ1 ＝3，所以cos B＝cos3＝2，故选B. 答案 B 3 4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为2，则BC的长为( ) 3A.2 B.3 C.23 D.2 1133 解析 因为S＝2×AB×ACsin A＝2×2×2AC＝2，所以AC＝1， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3， 所以BC＝3. 答案 B 5.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π 即A＝B或A＋B＝2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形 考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 (2)(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，π1 sin B＝2，C＝6，则b＝________. 解析 (1)∵bsin A＝6× 2 ＝3，∴bsin A (2)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2＝a2＋b2－2abcos C，得13＝9＋b2＋3b，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1，因此AC＝1. π5π1 (3)因为sin B＝2且B∈(0，π)，所以B＝6或B＝6. ππ2π又C＝6，B＋C<π，所以B＝6，A＝π－B－C＝3. ab 又a＝3，由正弦定理得sin A＝sin B，即解得b＝1. 答案 (1)B (2)A (3)1 【训练1】 (1)(2017·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c＝( ) A.1 B.2 C.4 D.6 4 (2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝5，5 cos C＝13，a＝1，则b＝________. 解析 (1)a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去). 45(2)在△ABC中，由cos A＝5，cos C＝13， 312 可得sin A＝5，sin C＝13， 63 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝65， asin B21 由正弦定理得b＝sin A＝13. 21 答案 (1)C (2)13 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移) 【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 3b＝， 2ππsin3sin6 解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. π ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝2. 答案 B 【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 D.等边三角形 C.等腰直角三角形 解析 法一 由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0， 因为－π 【迁移探究2】 将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解析 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13， ∴a∶b∶c＝5∶11∶13， 故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得 a2＋b2－c225k2＋121k2－169k223cos C＝2ab＝＝－ 110<0， 2×5×11k2π 又∵C∈(0，π)，∴C∈，π， 2∴△ABC为钝角三角形. 答案 C 【迁移探究3】 将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状. 解 法一 利用边的关系来判断： sin Cc 由正弦定理得sin B＝b， sin Cc 由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝2sin B＝2b. b2＋c2－a2 又由余弦定理得cos A＝2bc， cb2＋c2－a22222∴2b＝，即c＝b＋c－a， 2bc所以a2＝b2，所以a＝b. 又∵a2＋b2－c2＝ab. ∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c. ∴△ABC为等边三角形. 法二 利用角的关系来判断： ∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)， 又∵2cos Asin B＝sin C， ∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin(A－B)＝0， 又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B. 又由a2＋b2－c2＝ab， a2＋b2－c2ab1 由余弦定理，得cos C＝2ab＝2ab＝2， 又0° 【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. 33 (1)求C； (2)若c＝7，△ABC的面积为2，求△ABC的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. 由C∈(0，π)知sin C≠0， π1 可得cos C＝2，所以C＝3. 133 (2)由已知，2absin C＝2， π 又C＝3，所以ab＝6， 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13， 从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7. 【训练2】 (2017·日照模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a－b)cos C－ccos B＝0. (1)求角C的值； (2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积. 解 (1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－ccos B＝0可化为(2sin A－sin B)cos C－sin Ccos B＝0. 整理得2sin Acos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A. 1 ∵0 又∵0 (2)由(1)知cos C＝2，又a＋b＝13，c＝7， ∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝169－3ab＝49，解得ab＝40. π11 ∴S△ABC＝2absin C＝2×40×sin3＝103. 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为3 2，则C＝( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 13 解析 法一 ∵S△ABC＝2·AB·AC·sin A＝2， 13 即2×3×1×sin A＝2，∴sin A＝1， 由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C. sin Bsin C1sin C 法二 由正弦定理，得AC＝AB，即2＝， 33 sin C＝2，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝120°时，A＝30°， 33 S△ABC＝4≠2(舍去).而当C＝60°时，A＝90°， 3 S△ABC＝2，符合条件，故C＝60°.故选C. 答案 C 2π23 2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝3，a＝2，b＝3，则B等于( ) πA. 3π5πC.6或6 5πB. 6πD.6 2π23 解析 ∵A＝3，a＝2，b＝3， ab ∴由正弦定理sin A＝sin B可得， 233b31 sin B＝asin A＝2×2＝2. 2ππ∵A＝3，∴B＝6. 答案 D Ba＋c 3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos22＝2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 Ba＋c解析 因为cos22＝2c， a＋cBa 所以2cos22－1＝c－1，所以cos B＝c， a2＋c2－b2a 所以2ac＝c，所以c2＝a2＋b2. 所以△ABC为直角三角形. 答案 B 4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件. 答案 C 5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( ) 3πA.4 π B.3 π C.4 πD.6 b2＋c2－a22b2－a2 22 解析 在△ABC中，由b＝c，得cos A＝ 2bc＝2b2，又a＝2b(1－sin A)，所以cos A＝sin A， π 即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝4，故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C1 ＝－4，3sin A＝2sin B，则c＝________. 解析 由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝1a＋b－2abcos C＝4＋9－2×2×3×－4＝16，所以c＝4. 2 2 答案 4 7.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝________. 1 解析 因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得sin A＝31 ，解得sin A＝2，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)， sin 60° 13 此时C＝90°，所以S△ABC＝2ab＝2. 3 答案 2 2πb 8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝3，a＝3c，则c＝________. 解析 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A， 2π 将A＝3，a＝3c代入， 1可得(3c)2＝b2＋c2－2bc·－2， 整理得2c2＝b2＋bc. ∵c≠0，∴等式两边同时除以c2， b2b得2＝c＋c， b 可解得c＝1. 答案 1 三、解答题 9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC1 的面积为315，b－c＝2，cos A＝－4. (1)求a和sin C的值； π(2)求cos2A＋的值. 6 115 解 (1)在△ABC中，由cos A＝－4，可得sin A＝4. 1 由S△ABC＝2bcsin A＝315， 得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8. ac15由sin A＝sin C，得sin C＝8. πππ (2)cos2A＋＝cos 2A·cos 6－sin 2A·sin6 615－7331 ＝2(2cos2A－1)－2×2sin A·cos A＝. 16 10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. sin B(1)求sin C； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 解 (1)由正弦定理得 ADBDADDC ＝，＝ sin Bsin∠BADsin Csin∠CAD. sin BDC1 因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以sin C＝BD＝2. (2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以 31 sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝2cos B＋2sin B. 3 由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝3， 即∠B＝30°. 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11.(2017·郑州调研)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是( ) π A.0， 6 π B.，π 6 π C.0， 3 π D.，π 3 解析 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc， 由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A， 1 于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，∴cos A≥2， 在△ABC中，A∈(0，π). π 由余弦函数的性质，得0 acos B＋bcos A ＝2cos C，则c＝( ) c B.4 acos B＋bcos A ＝2cos C， c C.23 D.33 由正弦定理， 得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C， ∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C， π1 由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝2，∴C＝3， 13 ∵S△ABC＝23＝2absin C＝4ab，∴ab＝8， a＝2，a＝4，2 又a＋b＝6，解得或c＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴c b＝4b＝2，＝23，故选C. 答案 C 13.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________. 解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF 在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°， BE＝CE，BC＝2，∴BE＝ BE2 ＝， sin 75°sin 30° 6＋2 2 ×14＝6＋2. 2 ∴6－2 4(1)求f(x)的单调区间； A (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f2＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值. π 1＋cos2x＋ 2sin 2x 解 (1)由题意知f(x)＝2－ 2sin 2x1－sin 2x1＝2－＝sin 2x－ 22. ππ 由－2＋2kπ≤2x≤2＋2kπ，k∈Z, ππ 可得－4＋kπ≤x≤4＋kπ，k∈Z； π3π 由2＋2kπ≤2x≤2＋2kπ，k∈Z, π3π 可得4＋kπ≤x≤4＋kπ，k∈Z. ππ 所以f(x)的单调递增区间是－＋kπ，＋kπ(k∈Z)； 443ππ (k∈Z). 单调递减区间是＋kπ，＋kπ 4411A (2)由f2＝sin A－2＝0，得sin A＝2， 3 由题意知A为锐角，所以cos A＝2. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc， 即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立. 2＋32＋31 因此2bcsin A≤4.所以△ABC面积的最大值为4. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容