高一数学对数函数典型例题

对数函数典型例题

例1．求下列函数的定义域：

（1）

ylogax2； （2）

yloga(4x)； （3）

yloga(9x2)．

分析：此题主要利用对数函数ylogax的定义域(0,)求解。

22xx0ylogxax解：（1）由>0得x0，∴函数的定义域是；

（2）由4x0得x4，∴函数yloga(4x)的定义域是xx4；

2x3x3yloga(9x2)x0x3（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．

说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。

11yy225例2．求函数和函数

xx212(x0)的反函数。

11f(x)log1(x2)y25解：（1）5 ∴ (x-2)；

x1（2） 2x21y-2 ∴

f-1(x)log1(x-2)25(2x)2．

例4．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9.

解：（1）对数函数ylog2x在(0,)上是增函数，

于是log23.4log28.5；

（2）对数函数ylog0.3x在(0,)上是减函数，

于是log0.31.8log0.32.7；

（3）当a1时，对数函数ylogax在(0,)上是增函数，

于是loga5.1loga5.9，

当oa1时，对数函数ylogax在(0,)上是减函数，

于是loga5.1loga5.9．

例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log67，log76； （2）log3，log20.8；

（3）1.1，log1.10.9，log0.70.8； （4）log53，log63，log73．

0.9解：（1）∵log67log661， log76log771，∴log67log76；

（2）∵log3log310， log20.8log210，∴log3log20.8．

0.90（3）∵1.11.11， log1.10.9log1.110， 0log0.71log0.70.8log0.70.71，

0.9∴1.1log0.70.8log1.10.9．

（4）∵0log35log36log37， ∴log53log63log73．

例6．已知logm4logn4，比较m，n的大小。

11110解：∵logm4logn4， ∴log4mlog4n，当m1，n1时，得log4mlog4n，

110logmlognlognlogm44∴4， ∴mn1．当0m1，0n1时，得4，

∴log4nlog4m， ∴0nm1．当0m1，n1时，得log4m0，0log4n，

∴0m1，n1， ∴0m1n．

综上所述，m，n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n．

例7．求下列函数的值域：

2yloga(x24x7)ylog(3x)ylog(x3)22（1）；（2）；（3）（a0且a1）．

解：（1）令tx3，则ylog2t， ∵t0， ∴yR，即函数值域为R．

（2）令t3x，则0t3， ∴ylog23， 即函数值域为(,log23]．

222tx4x7(x2)33， 当a1时，yloga3， 即值域为[loga3,)，（3）令

当0a1时，yloga3， 即值域为(,loga3]．

2例8．判断函数f(x)log2(x1x)的奇偶性。

22f(x)(,)f(x)log(x1x) x1x2解：∵恒成立，故的定义域为，

log21x1x2log2x21x(x21)2x2log2x21xf(x)，所以，f(x)为奇函数。

例9．求函数

y2log1(x23x2)3的单调区间。

3133ux23x2(x)2[,)(,]24在22上递减， 解：令上递增，在

2又∵x3x20， ∴x2或x1，

故ux3x2在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵

2y2log1u3为减函数，

所以，函数

y2log1(x23x2)3在(2,)上递增，在(,1)上递减。

说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。

2ylog(xaxa)在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。 2例10．若函数

2ug(x)xaxa， ∵函数ylog2u为减函数， 解：令

2ug(x)xaxa在区间(,13)上递减，且满足u0，∴∴

a132g(13)0，解得

223a2，

所以，a的取值范围为[223,2]．