2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级(下)期中数学试卷 (Word版 含解析)

期中数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1．（3分）下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．5，11，12

B．3，4，5

C．4，6，8

D．6，12，13

3．（3分）根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝﹣3，则输出y的值为（ ）

A．﹣2 B．﹣8 C．10 D．13

4．（3分）正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

5．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C＝130°，则∠D的大小为（ ）

A．100° B．105° C．110° D．115°

6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方结果正确的是（ ） A．（x﹣3）2＝5

B．（x﹣3）2＝13

C．（x﹣6）2＝32

D．（x﹣6）2＝40

7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

8．（3分）某农业大镇2018年葡萄总产量为1.2万吨，预计2020年葡萄总产量达到1.6万吨，求葡萄总产量的年平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）

A．1.2（1+x）2＝1.6 C．1.2（1+2x）＝1.6

B．1.6（1﹣x）2＝1.2 D．1.2（1+x2）＝1.6

9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC

10．（3分）甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）

A．甲、乙同学都骑行了18km

B．甲同学比乙同学先到达B地

C．甲停留前、后的骑行速度相同 D．乙的骑行速度是12km/h

11．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．k＞1

B．k＞1且k≠2

C．k≤1

D．k≥1且k≠2

12．（3分）如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论： ①DE平分∠AEC； ②△ADE为等腰三角形； ③AF＝AB；

④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共6小题）. 13．（3分）函数y＝

的自变量x的取值范围是 ．

14． （3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，则m的值为 ．15．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线AC＝6，BD＝8，则菱形的边长BC＝ ． 16． （3分）已知正比例函数y＝3x，当x的取值范围是﹣3≤x≤4，则y的取值范围是 ．17．（3分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B'，B′C与AD交于点E．若AB＝4，BC＝8，则AE的长是 ．

18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，

则CD+BD的最小值是 ．

三、解答题（共8小题，满分66分） 19．（6分）解下列方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）3y2+5y﹣2＝0．

20．（6分）已知点（﹣4，2）在正比例函数y＝kx的图象上． （1）求该正比例函数的解析式；

（2）若点（﹣1，m）在该函数的图象上，求出m的值．

21．（8分）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.5m，两墙的距离CE长3.5m．求B点到地面的垂直距离BC．

22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；

（2）设x1，x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．

23．（9分）某商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六•一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．设商店降价x元．

（1）降价x元后，每一件童装的利润为 （元），每天可以卖出去的童装件数为 （件）（用含x的代数式表示）；

（2）若销售该童装每天盈利要达到1200元，则每件童装应该降价多少元？

24．（9分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E． （1）求证：△ADO≌△CBO． （2）求证：四边形ABCD是菱形．

（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．

25．（10分）如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK． （1）求证：KA＝KM； （2）请求出：∠AKM的度数；

（3）试猜想线段AE、DF、BM之间的数量关系并说明理由．

26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小，设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k＝

．

（1）如图2，若点A（1，3），B（3，6），则△OAB投影比k的值为 ；

（2）已知点M（﹣2，0），点N（2，1），且△MPN投影比k＝，则P点坐标可能是 （填写序号）；

①（﹣1，3）；②（2，﹣2）；③（3，3）；④（6，﹣5）．

（3）已知点E（3，2），在直线y＝2x上有一点F（5，a）和一动点P（m，n）且m＞3，是否存在这样的m，使得△PEF的投影比k为定值？若存在，请求出m的范围及定值k；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意； B、矩形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、菱形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、正方形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A．

2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．5，11，12

B．3，4，5

C．4，6，8

D．6，12，13

解：A、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形； B、因为32+42＝52，所以三条线段能组成直角三角形； C、因为42+62≠82，所以三条线段不能组成直角三角形； D、因为62+122≠132，所以三条线段不能组成直角三角形． 故选：B．

3．（3分）根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝﹣3，则输出y的值为（ ）

A．﹣2

解：当x＝﹣3时，

B．﹣8 C．10 D．13

由程序图可知：y＝x2+1＝（﹣3）2+1＝9+1＝10，

故选：C．

4．（3分）正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

解：因为正比例函数y＝kx（k＞0），

所以正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限， 故选：D．

5．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C＝130°，则∠D的大小为（ ）

A．100° B．105° C．110° D．115°

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝65°，

∴∠D＝180°﹣∠A＝115°． 故选：D．

6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方结果正确的是（ ） A．（x﹣3）2＝5

B．（x﹣3）2＝13

C．（x﹣6）2＝32

D．（x﹣6）2＝40

解：用配方法解方程： x2﹣6x+4＝0 x2﹣6x+9＝﹣4+9 （x﹣3）2＝5 故选：A．

7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF＝2， ∴EF是△OAB的中位线，则OB＝2EF＝4， ∵在▱ABCD中， ∴BD＝2OB＝8， 故选：B．

8．（3分）某农业大镇2018年葡萄总产量为1.2万吨，预计2020年葡萄总产量达到1.6万吨，求葡萄总产量的年平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）

A．1.2（1+x）2＝1.6 C．1.2（1+2x）＝1.6

解：依题意，得：1.2（1+x）2＝1.6． 故选：A．

9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）

B．1.6（1﹣x）2＝1.2 D．1.2（1+x2）＝1.6

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC

解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；

B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；

C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；

D．平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 又∵∠BAD＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°，

根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意． 故选：C．

10．（3分）甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）

A．甲、乙同学都骑行了18km

B．甲同学比乙同学先到达B地 C．甲停留前、后的骑行速度相同 D．乙的骑行速度是12km/h 解：由图象可得，

甲、乙同学都骑行了18km，故选项A不合题意； 甲比乙先到达B地，故选项B不合题意；

甲停留前的速度为：10÷0.5＝20（km/h），甲停留后的速度为：（18﹣10）÷（1.5﹣1）＝16（km/h），故选项C符合题意；

乙的骑行速度为：18÷（2﹣0.5）＝12（km/h），故选项D不合题意． 故选：C．

11．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．k＞1

B．k＞1且k≠2

C．k≤1

D．k≥1且k≠2

解：根据题意得k﹣2≠0且△＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0，

解得k＞1且k≠2． 故选：B．

12．（3分）如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论： ①DE平分∠AEC； ②△ADE为等腰三角形； ③AF＝AB；

④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD， ∵DF＝AB， ∴DF＝CD， ∵DF⊥AE，

∴∠DFA＝∠DFE＝90°， 在Rt△DEF和Rt△DEC中，，

∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL）， ∴∠FED＝∠CED， ∴DE平分∠AEC； 故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， 在△ABE和△AFD中，

D．4个

，

∴△ABE≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AD，

∴△ADE为等腰三角形； 故②正确； ∵△ABE≌△DFA， ∴不存在AF＝AB， 故③错误； ∵△ABE≌△DFA， ∴BE＝FA，

∴AE＝AF+EF＝BE+EF． 故④正确．

故正确的结论有①②④，三个． 故选：C．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）函数y＝

的自变量x的取值范围是 x＞2 ．

解：由题意得，x﹣2＞0， 解得，x＞2， 故答案为：x＞2．

14． （3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，则m的值为 1 ．解：将x＝﹣1代入方程得：1﹣3+m+1＝0， 解得：m＝1． 故答案为：1

15．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线AC＝6，BD＝8，则菱形的边长BC＝ 5 ．

解：如图所示：

∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，

∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD， ∴BC＝故答案为：5．

＝

＝5；

16．（3分）已知正比例函数y＝3x，当x的取值范围是﹣3≤x≤4，则y的取值范围是 ﹣9≤y≤12 ． 解：∵k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大．

当x＝﹣3时，y＝3×（﹣3）＝﹣9； 当x＝4时，y＝3×4＝12． ∴当﹣3≤x≤4时，﹣9≤y≤12． 故答案为：﹣9≤y≤12．

17．（3分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B'，B′C与AD交于点E．若AB＝4，BC＝8，则AE的长是 5 ．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB， 由折叠可得∠ACE＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACE， ∴AE＝CE，

在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，

即AE2＝（8﹣AE）2+16， 解得AE＝5， 故答案为：5．

18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 5

．

解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF， ∵△ABC是等边三角形，AB＝10， ∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝10 ∴CF＝AC•sinA＝10×∵点E为AC中点， ∴∠ABE＝∴DH＝

，

＝30°，

＝5

，

∴CD+BD＝CD+DH≥CF， ∴CD+BD≥5

，

，

∴CD+BD的最小值是5

故答案为：5．

三、解答题（共8小题，满分66分） 19．（6分）解下列方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）3y2+5y﹣2＝0． 解：（1）∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝3；

（2）∵3y2+5y﹣2＝0， ∴（y+2）（3y﹣1）＝0， 则y+2＝0或3y﹣1＝0， 解得y＝﹣2或y＝．

20．（6分）已知点（﹣4，2）在正比例函数y＝kx的图象上． （1）求该正比例函数的解析式；

（2）若点（﹣1，m）在该函数的图象上，求出m的值． 解：（1）∵点（﹣4，2）在正比例函数y＝kx的图象上， ∴﹣4k＝2， ∴k＝﹣；

∴该正比例函数的解析式为y＝﹣x；

（2）∵点（﹣1，m）在函数y＝﹣x的图象上， ∴m＝﹣×（﹣1），

∴m＝．

21．（8分）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.5m，两墙的距离CE长3.5m．求B点到地面的垂直距离BC．

解：∵梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.5m， ∴AE＝

＝2（m），

∵两墙的距离CE长3.5m， ∴AC＝1.5m， ∴BC＝

＝

＝2（m），

答：B点到地面的垂直距离BC为2m．

22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；

（2）设x1，x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值． 解：（1）根据题意得△＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0， 解得m≤0；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m， ∵x12+x22＝12，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝12， ∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，

解得m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去）． 故m的值是﹣2．

23．（9分）某商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六•一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2

件．设商店降价x元．

（1）降价x元后，每一件童装的利润为 40﹣x （元），每天可以卖出去的童装件数为 20+2x （件）（用含x的代数式表示）；

（2）若销售该童装每天盈利要达到1200元，则每件童装应该降价多少元？

解：（1）∵某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，

∴降价x元后，每一件童装的利润为（40﹣x）元，每天可以卖出去的童装（20+2x）件．故答案为：40﹣x；20+2x；

（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． 又∵要尽量减少库存， ∴x＝20．

答：件童装应该降价20元．

24．（9分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E． （1）求证：△ADO≌△CBO． （2）求证：四边形ABCD是菱形．

（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．

解：（1）证明：∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO， ∵AM∥BN， ∴∠DAC＝∠ACB， 在△AOD和△COB中，∴△ADO≌△CBO（ASA）；

，

（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO， ∴AD＝CB， 又∵AM∥BN，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM∥BN， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABN， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝CB， 又DE⊥BD， ∴AC∥DE， ∵AM∥BN，

∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE＝2，AD＝EC， ∴EC＝CB，

∵四边形ABCD是菱形， ∴EC＝CB＝AB＝2， ∴EB＝4，

在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝∴

．

＝

，

25．（10分）如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分

线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK． （1）求证：KA＝KM； （2）请求出：∠AKM的度数；

（3）试猜想线段AE、DF、BM之间的数量关系并说明理由．

【解答】（1）证明：∵EF是AM的垂直平分线， ∴KA＝KM；

（2）解：过K作KQ⊥AB于Q，KT⊥BC于Q，如图1所示： 则∠BQK＝∠BTK＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴四边形BQKT是矩形， ∴∠QKT＝90°，

∵KQ⊥AB于Q，KT⊥BC于Q， ∴KQ＝KT，

由（1）得：KA＝KM， 在Rt△AQK和Rt△MTK中，∴Rt△AQK≌Rt△MTK（HL）， ∴∠AKQ＝∠MKT，

又∵∠QKT＝∠MKT+∠MKQ＝90°， ∴∠AKQ+∠MKQ＝90°， 即∠AKM＝90°；

（3）解：AE＝DF+BM，理由如下： 作FG⊥AB于G，如图2所示： 则AD＝GF＝AB，AG＝DF，

，

∵AM⊥EF，

∴∠BAM+∠AEF＝∠GFE+∠AEF＝90°， ∴∠BAM＝∠GFE， 在△ABM和△FGE中，∴△ABM≌△FGE（ASA）， ∴BM＝GE，

∴AE＝AG+GE＝DF+BM．

，

26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小，设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k＝

．

（1）如图2，若点A（1，3），B（3，6），则△OAB投影比k的值为 2 ；

（2）已知点M（﹣2，0），点N（2，1），且△MPN投影比k＝，则P点坐标可能是 ①② （填写序号）；

①（﹣1，3）；②（2，﹣2）；③（3，3）；④（6，﹣5）．

（3）已知点E（3，2），在直线y＝2x上有一点F（5，a）和一动点P（m，n）且m＞3，是否存在这样的m，使得△PEF的投影比k为定值？若存在，请求出m的范围及定值k；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图2中，矩形BHOG是投影矩形，k＝

＝＝2．

故答案为：2．

（2）如图3，

①点P的坐标为（﹣1，3）时， △MNP投影比k＝．

②点P的坐标为（2，﹣2）时， △MNP投影比k＝． ③点P的坐标为（3，3）时， △MNP投影比k＝．

④点P的坐标为（0，2）时， △MNP投影比k＝＝2．

则点P的坐标可能是①（﹣1，3）；②（2，﹣2）． 故答案为：①②．

（3）存在．

理由：如图3中，由题意m＞3，

观察图象可知，当点P在矩形EGFH内部或边EG，GF，FH上时，△PEF的投影比k为定值，

可得k＝＝4，此时3＜m≤5．