【全国市级联考】2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考数学(文)试卷(解析版)

邵阳市第二次联考试题卷

数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合A. 【答案】C

【解析】由题意可得，2. 复数A. B. 【答案】D

【解析】由题意可得，

3. 假设有两个分类变量和的

，其实部为2，故选D.

,故选C.

B.

C.

，集合

D.

，则等于（ ）

的实部为（ ）

C. D.

列联表为:

总计 总计

对同一样本,以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为( )

A. 【答案】A

【解析】由题意可得，当的值最符合题意，故选A.

与

相差越大，X与Y有关系的可能性最大，分析四组选项，A中的a,c

B.

C.

D.

4. “”是“函数在区间无零点”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数

在区间无零点，则

故选A.

5. 已知函数

的最小正周期为，则函数

的图象向左平移个单位而得 的图象向右平移个单位而得 的图象向左平移个单位而得 的图象向右平移个单位而得

的图象（ ）

A. 可由函数B. 可由函数C. 可由函数D. 可由函数

【答案】D

【解析】由已知得，位而得，故选D.

则的图象可由函数的图象向右平移个单

6. 执行如图的程序框图,若输入的值为 ,则输出的值为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得,

程序结束，故选B.

7. 已知

，曲线在点处的切线的斜率为，则当取最小值时的值为

（ ）

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】由题意可得,

，则当

时，

取最小值为4，故选A.

8. 若实数A.

满足不等式组

C. D.

，且的最大值为 ，则等于（ ）

B.

【答案】C

【解析】实数x，y满足不等式组

，可行域如下图：

z取得最大值，的最大值为5，由可行域可知z=3x+2y+2-3a，经过A时，由

可得A（1，3）可得3+6+2-3a=5， 解得a=2，故选C.

，

9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A. B. C. 【答案】C

D.

【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体和一个三棱柱，则其的体积

,故选C.

10. 若A.

B.

，则实数的值为( )

C. D.

【答案】A 【解析】由11. 已知

得，

，故选A.

在区间 内任取一个为，则不等式

的概率为（ )

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，

且，解得1≤x≤2或

∴原不等式的解集为则所求概率为故选：B．

【点睛】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，对对数函数定义域和单调性的理解和掌握，是解决本题的关键，属于基础题，容易疏忽的是对数中真数大于零，正确求出不等式的解集是关键.

． ．

，

，或

且

12. 已知抛物线的焦点为，点截得的弦长为

是抛物线上一点，圆与线段

.若

，则

等于( )

相交于点，且被直线

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，① 由抛物线的性质可知,∵被直线由

，

，则

，

，

截得的弦长为√3|MA|，则

，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即

，

代入整理得：

由①②，解得：x0=2，p=2， ∴

故选：B．

，

②，

【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知向量

，，若，则__________．

【答案】

，故答案为-1.

【解析】由题意可得， 14. 已知双曲线

的左、右端点分别为，点，若线段的垂直平

分线过点，则双曲线的离心率为__________．

【答案】

为正三角形，则

，所以双曲线的离心率

.

【解析】由题意可得，

15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个

.

内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为若

【答案】

得

，则由

得

，，则用“三斜求积”公式求得的面积为__________．

【解析】由正弦定理得，由

.

16. 在长方体

，则

中,底面

与平面

是边长为的正方形, ,是的中点,过

作

【答案】

平面交于点,则与平面所成角的正切值为__________．

【解析】连结AC、BD，交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD， ∴BD⊥平面ACC1A1，

则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE， ∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1， ∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角， 在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则∵A1C1=2AO=√2AB=2，∴∴

，∴AF=，

．

，

，

∴CF与平面ABCD所成角的正切值为 ． 故答案为：．

【点睛】本题考查线面角的正切值的求法,平面内相似三角形的应用，线面垂直性质的应用，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养,仔细计算即可得出正确答案.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在数列

中，满足，且数列

.

，求；

是等差数列.求数列.

，

求出数列{an}的首项，并得到数列{an}是以 为首项，

（1）若数列（2）若

【答案】(1)

的前项和.

;(2)

【解析】试题分析：（1）由

以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（2）由已知结合数列{（2n-1）an+1}是等差数列求其公差，进一步得到数列{（2n-1）an+1}的通项公式，代入试题解析：

，再由等差数列的前n项和得答案．

（1）∵列.∴（2）设数列

的公差为 ，

，.

，∴，且，即数列是公比为 的等比数

，则数列是等差数列，∵

，∵

，，∴，，∴

，∴，

∴，即数列是首项为 ，公差为 的等差数列，∴.

18. 某中学举行了一次“环保只知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情

况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 分）作为样本进行统计.请根据下面

尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示），解决下列问题.

（1）求出的值；

分以上（含

分）的同学中随机抽取 名同学到广场

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是参加环保只是的志愿宣传活动.

1）求所抽取的 名同学中至少有 名同学来自第 组的概率； 2）求所抽取的 名同学来自同一组的概率.

【答案】(1)

,;(2)1) ;2) .

【解析】试题分析：（1）利用频率分布表和频率分布直方图，由题意能求出a，b，x，y的值；（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有15种情况由此能求出随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况，由此能求出随机抽取的2名同学来自同一组的概率． 试题解析：

（1）由题意可知，样本总人数为

.

，∴，，

（2）1）由题意可知，第 组共有 人，记为 分以上（含

分）的同学中抽取 名同学有

共

，第 组共有 人，记为

，

，

.从竞赛成绩是

种情况.设“随机抽取的 名同学中至少有 名同学来

自第 组”为事件，有共 种情况.所以.即随

机抽取的 名同学中至少有 名同学来自第 组的概率是. 2）设“随机抽取的 名同学来自同一组”为事件，有所以

.即随机抽取的 名同学来自同一组的概率是.

是矩形，

平面

，

是

共 种情况.

19. 在如图所示的几何体中，四边形

的中点.

（1）求证：（2）若

平面，

； ，求证平面

平面

.

【答案】(1)详见解析;(2) 详见解析.

【解析】试题分析：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．则可通过证明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C；（2）连结CF，则可得出CF∥A1C1，通过证明CF⊥平面ABB1A1得到CF⊥A1B．即A1C1⊥A1B，利用勾股定理的逆定理得出AA1⊥A1B，于是A1B⊥平面AA1C1，从而平面BEA1⊥平面AA1C1． 试题解析：

（1）证明：取是∵

的中点，连接

，∵平面

，∵，∴，∴平面.

，∵平面

，

，∴.∵

的中位线，∴平面

，∴

（2）解：连接边形

，∵，∴

.∵

，∵

，

是矩形，∴

，∴

是正方形，∴

且平面

，∴四，则，即

是平行四边形，则，由（1）得

是等腰三角形，又四边形

，∴

20. 已知右焦点为

平面的椭圆

，则 平面.

对称的图形过坐标原点.

关于直线

（1）求椭圆的方程； （2）过点线

且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点

，点关于轴的对称点为.证明：直

与轴的交点为.

;(2) 详见解析.

【答案】(1)

【解析】试题分析：（1）由题意可得：a=2c，又a2=3+c2，解得a2即可得出椭圆M的方程；（2）设直线PQ

2222的方程为：y=k（x-4）（k≠0），代入椭圆方程可得：（3+4k）x-32kx+64k-12=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

E（x2，-y2），直线PE的方程为：数的关系代入即可证明． 试题解析：

，令y=0，可得 ，把根与系

（1）由题意得椭圆的焦点在轴上，∵椭圆关于直线∵

，∴

，解得

.∴椭圆的方程为

的方程为

对称的图形过坐标原点，∴

.

，代入

得，

，

（2）证明：易知直线的斜率必存在，设直线

，由

得

.设

方程为

，

.令

，

得

，则，，则直线的

，∴直线过定点，又的右焦点为，∴直线

与轴的交点为.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、注意运用椭圆的定义，考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，化简很复杂易出错，属于难题. 21. 已知

，

时，求

的极值，并证明

，其中是自然常数，

恒成立；

.

（1）当

（2）是否存在实数，使的最小值为 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的极小值，令

，求出h（x）的最大值，从而证出结论即可；（2）求出函数

f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，求出a的值即可． 试题解析：

（1）证明：∵当为 .令递增，∴

（2）假设存在实数，使①当

时，

在时，

，，此时

.∴当

单调递增.∴，

的极小值为，当

，∴

时，

.即

，此时在，

在

单调递减；上的最小值

上单调

时，

恒成立.............

.

，

（舍去），∴

时，

有最小值 ，

上单调递减，

不存在使②当

的最小值为3. 时，

在

上单调递减，在

上单调递增，∴

，

，满足条件. ③当

时，

在

上单调递减，

，（舍去），∴

时，

不存在使的最小值为 .

，使得当

时，

有最小值 .

综上，存在实数

【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，涉及到不等式恒成立的证明和探索是否存在实数a,使

有最小值，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用分类讨论思想进行解题.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知三点（1）求经过

的圆的极坐标方程；

.

（2）以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，圆

（是参数），若圆

与圆

外切，求实数的值.

的参数方程为

【答案】(1)

【解析】试题分析：（1）求出圆

;(2) .

化成普通方

的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆

程，根据两圆外切列出方程解出。 试题解析：（1）普通方程为

。

（2）圆外切，所以

（是参数）对应的普通方程为，解得

。

，因为圆

与圆

对应的直角坐标分别为，又因为

，代入可求得经过

的圆

，则过

的圆的

的极坐标方程为

考点：1.圆的参数方程；2.简单曲线的极坐标方程。 23. 选修4-5：不等式选讲 设函数（1）求不等式（2）若关于的不等式【答案】(1)

. 的解集；

有解，求实数的取值范围.

;(2) .

【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集;（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，从而求得m的范围． 试题解析：

（1）函数当

可化为

，不合题意；当

时，

，即

时，

.综上，不等式

的解集为

，即.

时，；当

（2）关于的不等式

，（也可由，解得

有解等价于

，得

.

，由（1）可知

），即