中考数学真题试题含解析 试题

2021年广西北部湾经济区中考数学试卷

一、选择题〔本大题一一共12小题，一共36分〕

1. 假如温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作〔 〕

A.

B.

C.

D.

2. 如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是〔 〕

A.

B.

C.

D.

3. 以下事件为必然事件的是〔 〕

A. 翻开电视机，正在播放新闻 B. 任意画一个三角形，其内角和是C. 买一张电影票，座位号是奇数号 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

4. 2021年6月6日，地铁3号线举行通车仪式，预计地铁3号线开通后日均客流量为700000

人次，其中数据700000用科学记数法表示为〔 〕 A.

B.

C.

D.

创作；朱本晓

2022年元月元日

5. 将一副三角板按如下图的位置摆放在直尺上，那么∠1的度数为

〔 〕 A. B. C. D.

6. 以下运算正确的选项是〔 〕

A.

B.

C.

D.

7. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕

迹，可知∠BCG的度数为〔 〕 A. B. C. D.

8. “学雷锋〞活动月中，“飞翼〞班将组织学生开展志愿者效劳活动，小晴和小霞从“图

书馆，博物馆，科技馆〞三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是〔 〕 A.

B.

C.

D.

9. 假设点〔-1，y1〕，〔2，y2〕，〔3，y3〕在反比例函数y=〔k＜0〕的图象上，那么

y1，y2，y3的大小关系是〔 〕

创作；朱本晓 2022年元月元日

A.

B.

C.

D.

10. 扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，方案在这块空

地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如下图，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，那么可列方程为〔 〕 11. 12.

A. C.

B. D.

13. 小菁同学在数学理论活动课中测量路灯的高度．如图，她的目高

AB为米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走

3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，那么路灯顶端O到地面的间隔 约为〔，，，，，〕〔 〕 A.

米

B.

米

C.

米

D.

米

14. 如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、

D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，AB=2BC=2，当CE+DE的值最小时，那么的值是〔 〕

15. 16.

A.

B.

C.

，

D.

二、填空题〔本大题一一共6小题，一共18分〕 17. 假设二次根式

有意义，那么x的取值范围是______．

18. 因式分解：3ax2-3ay2=______．

创作；朱本晓

2022年元月元日

19. 甲，乙两人进展飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩〔单位：环〕为：9，8，9，6，10，

6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是______．〔填“甲〞或者“乙〞〕

20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，BO=4，S菱形ABCD=24，那么AH=______． 21. 22.

23. ?九章算术?作为古代中国乃至的第一部自成体系的数学专著，与古希腊

的?几何本来?并称现代数学的两大源泉．在?九章算术?中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问

径几何？〞小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如下图，：锯口深为1寸，锯道

AB=1尺〔1尺=10寸〕，那么该圆材的直径为______寸．

24. 如图，AB与CD相交于点O，AB=CD，∠AOC=60°，

∠ACD+∠ABD=210°，那么线段AB，AC，BD之间的等量关系式为______．

三、解答题〔本大题一一共8小题，一共66分〕

2

25. 计算：〔-1〕+〔

〕-〔-9〕+〔-6〕÷2．

2

26. 27. 28. 29. 30.

创作；朱本晓 2022年元月元日

31. 32.

33. 解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．

34. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A〔2，-1〕，B〔1，-2〕，

C〔3，-3〕

35. 〔1〕将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； 36. 〔2〕请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； 37. 〔3〕请写出A1、A2的坐标．

创作；朱本晓 2022年元月元日

38. 红树林在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水〞平安知识竞赛，试卷题目一共10

题，每一小题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩〔单位：分〕，搜集数据如下：

39. 1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 40. 2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 41. 3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100． 42. 整理数据：

分数 60 人数 10 80 90 100 创作；朱本晓 2022年元月元日

班级 1班 2班 3班 分析数据： 1班 2班 3班 平均数 83 83 中位数 80 众数 80 0 1 1 1 1 1 6 3 4 2 1 1 2 a 2 c 80 d 80 b 根据以上信息答复以下问题：

〔1〕请直接写出表格中a，b，c，d的值；

〔2〕比拟这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比拟好？请说明理由；

〔3〕为了让学生重视平安知识的学习，将给竞赛成绩满分是的同学颁发奖状，该校七年级新生一共570人，试估计需要准备多少张奖状？

创作；朱本晓 2022年元月元日

43. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD． 44. 〔1〕求证：∠BAD=∠CBD；

45. 〔2〕假设∠AEB=125°，求的长〔结果保存π〕． 46. 47.

48. 某校喜迎HY成立70周年，将举行以“歌唱祖国〞为主题的歌咏比赛，需要在文具店购

置国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购置，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购置贴纸所得袋数与用200元购置小红旗所得袋数一样． 49. 〔1〕求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？

50. 〔2〕假如给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购置国旗图案贴纸

a袋〔a为正整数〕，那么购置小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．

创作；朱本晓 2022年元月元日

51. 〔3〕在文具店累计购物超过800元后，超出800元的局部可享受8折优惠．按〔2〕中

的配套方案购置，一共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购置国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？ 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.

59. 如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点〔点E与点A，B不重合〕，连

接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． 60. 〔1〕求证：△ABF≌△BCE；

61. 〔2〕如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；

62. 〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，

求的值． 63.

创作；朱本晓 2022年元月元日

64. 假如抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称

抛物线C1与C2“互为关联〞的抛物线．如图1，抛物线C1：y1=x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联〞的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D〔6，-1〕．

65. 〔1〕直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；

66. 〔2〕抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？假如存在，恳求出点E的

坐标；假如不存在，请说明理由；

67. 〔3〕如图2，点F〔-6，3〕在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且

点M，N的横坐标一样，记△AFM面积为S1〔当点M与点A，F重合时S1=0〕，△ABN的面积为S2〔当点N与点A，B重合时，S2=0〕，令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值． 68.

创作；朱本晓 2022年元月元日

创作；朱本晓 2022年元月元日

答案和解析

1.【答案】D 【解析】

解：上升2℃记作+2℃，下降3℃记作-3℃； 应选：D．

根据正数与负数的表示方法，可得解；

此题考察正数和负数；可以根据实际问题理解正数与负数的意义和表示方法是解题的关键． 2.【答案】D 【解析】

解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱， 那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形． 应选：D．

根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案．

此题考察点、线、面、体的问题，解决此题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半． 3.【答案】B 【解析】

解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．

∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意． 应选：B．

必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．

创作；朱本晓 2022年元月元日

此题考察的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、对待、解决问题，进步自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4.【答案】B 【解析】

解：700000=7×105； 应选：B．

根据科学记数法的表示方法a×10n〔1≤a＜9〕，即可求解；

此题考察科学记数法；纯熟掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 5.【答案】C 【解析】

解：如图：

∵∠BCA=60°，∠DCE=45°， ∴∠2=180°-60°-45°=75°， ∵HF∥BC， ∴∠1=∠2=75°， 应选：C．

利用三角形外角性质〔三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和〕解题或者利用三角形内角和解题皆可．

创作；朱本晓

2022年元月元日

主要考察了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．此题容易，解法很灵敏． 6.【答案】A 【解析】

解：2a+3b不能合并同类项，B错误； 5a-3a=2a，C错误； 〔a+1〕2=a2+2a+1，D错误； 应选：A．

利用完全平分公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的法那么进展解题即可；

此题考察整式的运算；纯熟掌握完全平分公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的法那么是解题的关键． 7.【答案】C 【解析】

解：由作法得CG⊥AB， ∵AB=AC，

∴CG平分∠ACB，∠A=∠B， ∵∠ACB=180°-40°-40°=100°， ∴∠BCG=∠ACB=50°． 应选：C．

利用等腰三角形的性质和根本作图得到CG⊥AB，那么CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．

2

2

2

创作；朱本晓 2022年元月元日

此题考察了作图-根本作图：纯熟掌握根本作图〔作一条线段等于线段；作一个角等于角；作线段的垂直平分线；作角的角平分线；过一点作直线的垂线〕．也考察了等腰三角形的性质． 8.【答案】A 【解析】

解：画树状图为：〔用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆〞三个场馆〕

一共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3， 所以两人恰好选择同一场馆的概率==应选：A．

画树状图〔用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆〞三个场馆〕展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．

此题考察了列表法与树状图法：利用列表法或者树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或者B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或者事件B的概率． 9.【答案】C 【解析】 解：∵k＜0，

∴在每个象限内，y随x值的增大而增大， ∴当x=-1时，y1＞0， ∵2＜3， ∴y2＜y3＜y1 应选：C．

．

创作；朱本晓 2022年元月元日

k＜0，y随x值的增大而增大，〔-1，y1〕在第二象限，〔2，y2〕，〔3，y3〕在第四象限，即可解题；

此题考察反比函数图象及性质；纯熟掌握反比函数的图象及x与y值之间的关系是解题的关键． 10.【答案】D 【解析】

解：设花带的宽度为xm，那么可列方程为〔30-2x〕〔20-x〕=×20×30， 应选：D．

根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得．

此题主要考察由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 11.【答案】C 【解析】

解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F， 设DF=x， ∵tan65°=

，

∴OF=xtan65°， ∴BD=3+x， ∵tan35°=

，

∴OF=〔3+x〕tan35°， ∴〔3+x〕， ∴，

创作；朱本晓 2022年元月元日

∴， ∴， 应选：C．

过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．

此题考察解直角三角形，解题的关键是纯熟运用锐角三角函数的定义，此题属于中等题型． 12.【答案】A 【解析】

解：延长CB到F使得BC=CF，那么C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE=DF值最小，

连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，

那么OC⊥BD，OC=∵OB•BC=OC•BG， ∴∴BD=2BG=

， ，

，

∵OD2-OH2=DH2=BD2-BH2， ∴∴BH=∴

，

，

，

创作；朱本晓

2022年元月元日

∵DH∥BF， ∴∴应选：A．

延长CB到F使得BC=CF，那么C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE=DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得

，便可得解．

，

，

此题是圆的综合题，主要考察了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与断定，勾股定理，将HY饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键． 13.【答案】x≥-4 【解析】 解：x+4≥0， ∴x≥-4； 故答案为x≥-4；

根据被开数x+4≥0即可求解；

此题考察二次根式的意义；纯熟掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键． 14.【答案】3a〔x+y〕〔x-y〕 【解析】

解：3ax2-3ay2=3a〔x2-y2〕=3a〔x+y〕〔x-y〕． 故答案为：3a〔x+y〕〔x-y〕

当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．

创作；朱本晓 2022年元月元日

此题考察了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进展二次因式分解，分解因式一定要彻底． 15.【答案】甲 【解析】

解：甲的平均数=〔9+8+9+6+10+6〕=8，

所以甲的方差=[〔9-8〕+〔8-8〕+〔9-8〕+〔6-8〕+〔10-8〕+〔6-8〕]=， 因为甲的方差比乙的方差小， 所以甲的成绩比拟稳定． 故答案为甲．

先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比拟甲乙方差的大小可断定谁的成绩稳定． 此题考察方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，那么方差S2=

2

2

22

2

2

2

2

2

[〔x1-〕

+〔x2-〕+…+〔xn-〕]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之

也成立． 16.【答案】 【解析】

解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD， ∴BD=8，

∵S菱形ABCD=AC×BD=24， ∴AC=6， ∴OC=AC=3， ∴BC=

=5，

创作；朱本晓

2022年元月元日

∵S菱形ABCD=BC×AH=24， ∴AH=

；

．

故答案为：

根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．

此题考察了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；纯熟掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键． 17.【答案】26 【解析】

解：设⊙O的半径为r．

在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r， 那么有r=5+〔r-1〕， 解得r=13，

∴⊙O的直径为26寸， 故答案为：26．

设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，那么有r2=52+〔r-1〕2，解方程即可．

此题考察垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 18.【答案】AB2=AC2+BD2 【解析】

解：过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，如下图：

2

2

2

创作；朱本晓 2022年元月元日

那么四边形ACDE是平行四边形， ∴DE=AC，∠ACD=∠AED， ∵∠AOC=60°，AB=CD， ∴∠EAB=60°，CD=AE=AB， ∴△ABE为等边三角形， ∴BE=AB，

∵∠ACD+∠ABD=210°， ∴∠AED+∠ABD=210°，

∴∠BDE=360°-〔∠AED+∠ABD〕-∠EAB=360°-210°-60°=90°， ∴BE=DE+BD， ∴AB2=AC2+BD2； 故答案为：AB=AC+BD．

过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，那么四边形ACDE是平行四边形，得出DE=AC，∠ACD=∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE=AB，求得∠BDE=360°-〔∠AED+∠ABD〕-∠EAB=90°，由勾股定理得出BE=DE+BD，即可得出结果．

此题考察了勾股定理、平行四边形的断定与性质、等边三角形的断定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，纯熟掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键． 19.【答案】解：〔-1〕2+〔=1+6+9-3 =13． 【解析】

〕2-〔-9〕+〔-6〕÷2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

创作；朱本晓

2022年元月元日

分别运算每一项然后再求解即可；

此题考察实数的运算；纯熟掌握实数的运算法那么是解题的关键．

20.【答案】解：

解①得x＜3， 解②得x≥-2，

所以不等式组的解集为-2≤x＜3． 用数轴表示为：

【解析】

分别解两个不等式得到x＜3和x≥-2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集．

此题考察了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公一共局部，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 21.【答案】解：〔1〕如下图：△A1B1C1，即为所求；

〔2〕如下图：△A2B2C2，即为所求；

〔3〕A1〔2，3〕，A2〔-2，-1〕．

创作；朱本晓 2022年元月元日

【解析】

〔1〕直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； 〔2〕直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； 〔3〕利用所画图象得出对应点坐标．

此题主要考察了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 22.【答案】解：〔1〕由题意知a=4，

b=×〔90+60+70+80+80+80+80+90+100+100〕=83，

2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100， ∴c=

〔2〕从平均数上看三个班都一样；

从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85； 从众数上看，1班和3班都是80，2班是90； 综上所述，2班成绩比拟好；

〔3〕570×=76〔张〕， 答：估计需要准备76张奖状． 【解析】

〔1〕根据众数和中位数的概念求解可得；

〔2〕分别从平均数、众数和中位数三个方面比拟大小即可得；

=85，d=90；

创作；朱本晓 2022年元月元日

〔3〕利用样本估计总体思想求解可得．

此题主要考察众数、平均数、中位数，掌握众数、平均数、中位数的定义及其意义是解题的关键．

23.【答案】〔1〕证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD； 〔2〕解：连接OD， ∵∠AEB=125°， ∴∠AEC=55°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACE=90°， ∴∠CAE=35°， ∴∠DAB=∠CAE=35°， ∴∠BOD=2∠BAD=70°， ∴的长=【解析】

〔1〕根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；

〔2〕连接OD，根据平角定义得到∠AEC=55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论．

=π．

创作；朱本晓 2022年元月元日

此题考察了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．

24.【答案】解：〔1〕设每袋国旗图案贴纸为x元，那么有解得x=15，

经检验x=15时方程的解， ∴每袋小红旗为15+5=20元；

答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；

〔2〕设购置b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，那么有50a：20b=2：1， 解得b=a，

答：购置小红旗a袋恰好配套；

〔3〕假如没有折扣，那么W=15a+20×a=40a， 依题意得40a≤800， 解得a≤20，

当a＞20时，那么W〔40a-800〕=32a+160， 即W=

，

，

国旗贴纸需要：1200×2=2400张， 小红旗需要：1200×1=1200面， 那么a=

=48袋，b==60袋，

总费用W=32×48+160=1696元． 【解析】

〔1〕设每袋国旗图案贴纸为x元，那么有

，解得x=15，检验后即可求解；

创作；朱本晓 2022年元月元日

〔2〕设购置b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，那么有50a：20b=2：1，解得b=〔3〕假如没有折扣，W=要：1200×1=1200面，那么a=

a；

，国旗贴纸需要：1200×2=2400张，小红旗需

=48袋，b=

=60袋，总费用W=32×48+160=1696元．

此题考察分式方程，一次函数的应用；可以根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键． 25.【答案】〔1〕证明：∵BF⊥CE， ∴∠CGB=90°， ∴∠GCB+∠CBG=90， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB， ∴∠FBA+∠CBG=90， ∴∠GCB=∠FBA， ∴△ABF≌△BCE〔ASA〕；

〔2〕证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H， 设AB=CD=BC=2a， ∵点E是AB的中点， ∴EA=EB=AB=a， ∴CE=

a，

在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE=CB•EB， ∴BG=a，

∴CG=

=

a，

创作；朱本晓 2022年元月元日

∵∠DCE+∠BCE=90°，∠CBF+∠BCE=90°， ∴∠DCE=∠CBF，

∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°， ∴△CQD≌△BGC〔AAS〕， ∴CQ=BG=

a， ∴GQ=CG-CQ=

a=CQ，

∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°， ∴△DGQ≌△CDQ〔SAS〕， ∴CD=GD；

〔3〕解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，

S△CDG=•DQ=CH•DG，

∴CH=

=a，

在Rt△CHD中，CD=2a， ∴DH=

=a，

∵∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°， ∴∠MDH=∠HCD， ∴△CHD∽△DHM， ∴

，

∴HM=a， 在Rt△CHG中，CG=a，CH=a，

∴GH=

=a，

创作；朱本晓 2022年元月元日

∵∠MGH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°， ∴∠QGH=∠HCG， ∴△QGH∽△GCH， ∴

，

∴HN==a， ∴MN=HM-HN=a， ∴

=

【解析】

〔1〕先判断出∠GCB+∠CBG=90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE=90°=∠A，BC=AB，即可得出结论；

〔2〕设AB=CD=BC=2a，先求出EA=EB=AB=a，进而得出CE=CG═

a，再求出BG=

a，

a，再判断出△CQD≌△BGC〔AAS〕，进而判断出GQ=CQ，即可得出结论；

a，再用勾股定

〔3〕先求出CH=a，再求出DH=a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM=理求出GH=a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN=

=a，即可得出结论．

此题是相似形综合题，主要考察了全等三角形的断定和性质，相似三角形的断定和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解此题的关键．

26.【答案】解：由抛物线C1：y1=x2+x可得A〔-2，-1〕， 将A〔-2，-1〕，D〔6，-1〕代入y2=ax2+x+c 得

，

解得，

∴y2=-+x+2，

创作；朱本晓 2022年元月元日

∴B〔2，3〕；

〔2〕易得直线AB的解析式：y=x+1， ①假设B为直角顶点，BE⊥AB，kBE•kAB=-1， ∴kBE=-1，

直线BE解析式为y=-x+5

联立，

解得x=2，y=3或者x=6，y=-1， ∴E〔6，-1〕；

②假设A为直角顶点，AE⊥AB， 同理得AE解析式：y=-x-3，

联立，

解得x=-2，y=-1或者x=10，y=-13， ∴E〔10，-13〕；

③假设E为直角顶点，设E〔m，-m+m+2〕 由AE⊥BE得kBE•kAE=-1， 即

，

2

解得m=2或者-2〔不符合题意舍去〕，

∴点E的坐标∴E〔6，-1〕或者E〔10，-13〕； 〔3〕∵y1≤y2， ∴-2≤x≤2， 设M〔t，

〕，N〔t，

〕，且-2≤t≤2，

创作；朱本晓 2022年元月元日

易求直线AF的解析式：y=-x-3， 过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，

那么Q〔〕，

S1=QM•|yF-yA|

=

设AB交MN于点P，易知P〔t，t+1〕，

S2=PN•|xA-xB|

=2-

S=S1+S2=4t+8，

当t=2时，

S的最大值为16．

【解析】

〔1〕由抛物线C1：y1=x2+x可得A〔-2，-1〕，将A〔-2，-1〕，D〔6，-1〕代入y2=ax2+x+c，求得y2=-+x+2，B〔2，3〕；

〔2〕易得直线AB的解析式：y=x+1，①假设B为直角顶点，BE⊥AB，E〔6，-1〕；②假设A为直角顶点，AE⊥AB，E〔10，-13〕；③假设E为直角顶点，设E〔m，-m2+m+2〕不符合题意；

创作；朱本晓 2022年元月元日

〔3〕由y1≤y2，得-2≤x≤2，设M〔t，

〕，N〔t，

〕，且-2≤t≤2，

，设

易求直线AF的解析式：y=-x-3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1=AB交MN于点P，易知P〔t，t+1〕，S2=2-为16．

，所以S=S1+S2=4t+8，当t=2时，S的最大值

此题考察了二次函数，纯熟运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．

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创作；朱本晓 2022年元月元日

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