试卷
一、选择题（共6小题，每题3分，共18分）. 1．下列一元二次方程中无实数根的是（ ） A．x2＝2x C．（x﹣2）2＝5
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
B．（x+1）（x+3）＝0 D．x2﹣x+1＝0
A． B． C． D．
3．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，若△POA的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，AA′＝2A′O，则△A′B′C′和△ABC的位似比为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，若x1＞0＞x2，则下列不等式一定成立的是（ ） A．y1＞y2＞0
B．y2＞0＞y1
C．0＞y1＞y2
D．y1＞0＞y2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为 ．
8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则x12+x22的值为 ． 9．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（分）与骑车速度v（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是 千米/分．
10．一个长方体主视图和俯视图如图所示，则这个长方体左视图的面积为 cm2．
11．如图，在矩形ABCD纸片中，点E是BC边的中点，沿直线AE折叠，点B落在矩形内DF＝5， 部的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F．已知CF＝4，则AD的长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．如图，直线y＝x+1与双曲线y＝交于A（m，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）点C坐标为 ，m＝ ，n＝ ，k＝ ． （2）直接写出关于x的不等式x+1＜的解集．
14．在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小宇同学（用线段BC表示）的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线
段DE表示）的影长DF为12.1米． （1）请你在图中画出影长DF； （2）求教学楼DE的高度．
15．如图是一个电路图，随机闭合k1、k2、k3、k4的两个开关，用列表或画树状图的方法求灯泡S能发光的概率．
16．已知矩形ABCD中，点F在AD边上，四边形EDCF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．
（1）在图1画出△BCD中DC边上的中线BG； （2）在图2中画出线段AF的垂直平分线．
17．如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm．求点A与点B之间的距离．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝x1x2+16，求实数m的值．
19．在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G． （1）求证：CE＝CF；
（2）若等边△AEF边长为2，求AC的长．
20．如图1，在等边△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若点D移至BC的中点，如图2，求证：FD平分∠EFC． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加
kΩ．
（1）当10≤x≤30时，求y与x的关系式；
（2）当x＝30时，求y的值．并求x＞30时，y与x的关系式；
（3）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，沿对角线AC剪开，再把△ACD沿AB方向平移得到图2，其中A′D交AC于E，A′C′交BC于F．
（1）在图2中，除△ABC与△C′DA′外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明； （2）设AA′＝x．
①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？
②设四边形A'ECF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y最大值． 六、（本大题共12分）
23．如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度后，与△ADE构成位似图形，则称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解
①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填：是或不是）“旋转位似图形”．
如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”
②若α＝26°，∠B＝100°，∠E＝29°，则∠BAE的度数为 ； ③若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC的长度为 ； （2）知识运用
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AE⊥BD于E，∠1＝∠2．求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高
如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为斜边AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2
，求DE和BD的长．
参考答案
一、选择题（共6小题，每题3分，共18分）. 1．下列一元二次方程中无实数根的是（ ） A．x2＝2x C．（x﹣2）2＝5
B．（x+1）（x+3）＝0 D．x2﹣x+1＝0
解：A．方程x2＝2x的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根，不符合题意；
B．方程（x+1）（x+3）＝0的一般形式是x²+4x+3＝0，根的判别式Δ＝42﹣4×1×3＝4＞0，有两个不相等实数根，不符合题意；
22
C．方程（x﹣2）＝5的一般形式是x²﹣4x﹣1＝0，根的判别式Δ＝（﹣4）﹣4×1×（﹣
1）＝20＞0，有两个不相等实数根，不符合题意；
D．方程x2﹣x+1＝0的判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×4×1＝﹣17＜0，无实数根，符合题意； 故选：D．
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线． 故选：B．
3．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，若△POA的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵PA⊥x轴于点A， ∴△OPA是直角三角形， ∵S△OPA＝2， ∴
＝2，
∴k＝4， 故选：C．
4．在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长． 故选：C．
5．如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，AA′＝2A′O，则△A′B′C′和△ABC的位似比为（ ）
A． B． C． D．
解：∵AA′＝2A′O， ∴OA′：OA＝1：3，
∵△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O， ∴△A′B′C′和△ABC的位似比为OA′：OA＝1：3． 故选：B．
6．已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，若x1＞0＞x2，则下列不等式一定成立的是（ ） A．y1＞y2＞0 解：∵k＝1＞0，
∴双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵x1＞0＞x2，
∴A，B两点不在同一象限内， ∴y1＞0＞y2； 故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为 解：画树状图得：
．
B．y2＞0＞y1
C．0＞y1＞y2
D．y1＞0＞y2
共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率＝故答案为：．
＝，
8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则x12+x22的值为 7 ． 解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7． 故答案为7．
9．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（分）与骑车速度v（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是 0.2 千米/分．
解：设t＝，当v＝0.15时，t＝20， 解得：k＝0.15×20＝3，
故t与v的函数表达式为：t＝，
∵为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校， ∴≤15， 解得：v≥0.2，
∴他骑车的速度至少是0.2千米/分． 故答案为：0.2．
10．一个长方体主视图和俯视图如图所示，则这个长方体左视图的面积为 6 cm2．
解：根据题意得：左视图的长为3cm，宽为2cm，
则左视图的面积为2×3＝6（cm2）． 故答案为：6．
11．如图，在矩形ABCD纸片中，点E是BC边的中点，沿直线AE折叠，点B落在矩形内 部的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F．已知CF＝4，DF＝5，则AD的长为 12 ．
解：连接EF，
∵CF＝4，DF＝5， ∴CD＝CF+DF＝9， ∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝9，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质可得AB'＝AB＝9，B'E＝BE，∠AB'E＝∠B＝90°， ∴∠FB'E＝90°＝∠C， ∵点E为BC的中点， ∴BE＝CE， ∴B'E＝CE，
在Rt△FB'E和Rt△FCE中，
，
∴Rt△FB'E≌Rt△FCE（HL）， ∴B'F＝CF＝4， ∴AF＝AB'+B'F＝13， 在Rt△AFD中，AD＝故答案为：12．
＝12．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为 （0，3）、（4，0）、（，0） ．
解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB， 由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（0，3）； 当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（4，0）； 当PC⊥AB时，如图， ∵∠CBP＝∠OBA， ∴Rt△BPC∽Rt△BAO， ∴
＝
，
∵点B（8，0）和点A（0，6）， ∴AB＝
＝10，
∵点C是AB的中点， ∴BC＝5， ∴＝， ∴BP＝
，
∴OP＝OB﹣BP＝8﹣
＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．如图，直线y＝x+1与双曲线y＝交于A（m，3）、B（﹣3，n）两点． （1）点C坐标为 （0，1） ，m＝ 2 ，n＝ ﹣2 ，k＝ 6 ． （2）直接写出关于x的不等式x+1＜的解集．
解：（1）当x＝0时，y＝0+1＝1， ∴点C（0，1），
把A（m，3）、B（﹣3，n）两点坐标代入y＝x+1得， 3＝m+1，n＝﹣3+1， 即m＝2，n＝﹣2，
∴A（2，3）、B（﹣3，﹣2）， 把A（2，3）代入反比例函数y＝得， k＝2×3＝6，
故答案为：（0，1），2，﹣2，6；
（2）由直线y＝x+1与双曲线y＝交于A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点可得． 关于x的不等式x+1＜的解集为0＜x＜2或x＜﹣3．
14．在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小宇同学（用线段BC表示）的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段DE表示）的影长DF为12.1米． （1）请你在图中画出影长DF； （2）求教学楼DE的高度．
解：（1）如图，线段DF即为所求作．
（2）∵△CAB∽△EFD， ∴
，
，
∴DE＝17.6（米）．
15．如图是一个电路图，随机闭合k1、k2、k3、k4的两个开关，用列表或画树状图的方法求灯泡S能发光的概率．
解：画树状图如图：
共有12种等可能结果，符合题意的有6种结果， ∴P（灯泡S能发光）＝
．
16．已知矩形ABCD中，点F在AD边上，四边形EDCF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．
（1）在图1画出△BCD中DC边上的中线BG； （2）在图2中画出线段AF的垂直平分线． 解：（1）如图1，线段BG即为所求作；
（2）如图2，直线l即为所求作．
17．如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm．求点A与点B之间的距离．
解：连接AB交直线OC于点E，得AB⊥OC，AE＝BE，
∴
∵这个侧面图是轴对称图形， ∴∠AOE＝∠COD， ∵∠OEA＝∠ODC＝90°， ∴△OAE∽△OCD． ∴即
， ，
（mm）．
∴AE＝15（ mm）， ∴AB＝2AE＝30 （mm）．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝x1x2+16，求实数m的值．
解：（1）∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个实数根x1和x2． ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝﹣4m+5≥0， ∴m≤．
（2）∵x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2﹣1，x12+x22＝x1x2+16， ∴（1﹣2m）2＝3（m2﹣1）+16，即m2﹣4m﹣12＝0， 解得：m＝6或m＝﹣2， ∵m≤， ∴m＝﹣2．
19．在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G． （1）求证：CE＝CF；
（2）若等边△AEF边长为2，求AC的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（ HL）， ∴BE＝DF， ∴CE＝CF．
（2）∵AE＝AF，CE＝CF， ∴AC垂直平分EF， ∴EG＝FG＝1． ∴∴
．
，
，
20．如图1，在等边△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若点D移至BC的中点，如图2，求证：FD平分∠EFC． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠BED+∠B＝∠EDF+∠FDC，∠EDF＝60°， ∴∠BED＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD；
（2）证明：∵△BDE∽△CFD， ∴
，
∵BD＝CD， ∴
，
∵∠EDF＝∠C＝60°， ∴△DFE∽△CFD， ∴∠EFD＝∠CFD， ∴FD平分∠CFE．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加（1）当10≤x≤30时，求y与x的关系式；
（2）当x＝30时，求y的值．并求x＞30时，y与x的关系式；
（3）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
kΩ．
解：（1）设．
∵过点（10，6）， ∵k＝xy＝10×6＝60．
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为： （2）∵
，
．
；
∴当x＝30时，x＞30时，设y＝kx+b， ∵过点（30，2），
∵温度每上升1℃，电阻增加∴过点
，
．
∴，
解得：，
故y与x的关系式为： （3）
；
，当y＝5时，得x＝12； ，当y＝5时，得
； ．
答：温度x取值范围是
22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，沿对角线AC剪开，再把△ACD沿AB方向平移得到图2，其中A′D交AC于E，A′C′交BC于F．
（1）在图2中，除△ABC与△C′DA′外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明； （2）设AA′＝x．
①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？
②设四边形A'ECF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y最大值． 解：（1）△AA'E≌△C'CF，△A'BF≌△CDE． 证明：△AA'E≌△C'CF．
∵∠A＝∠C'，∠AA'E＝∠C'CF＝90°，AA'＝C'C（平移距离相等）， ∴△AA'E≌△C'CF（ASA）；
（2）①∵△AA'E∽△ABC， ∴∴
即
，
，A'B＝8﹣x，
∵△ABC∽△A'BF， ∴∴
即
，
，
当A'E＝A'F时，四边形A'ECF是菱形． ∴
解得x＝5； ②即∴
则y的最大值为12． 六、（本大题共12分）
23．如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度后，与△ADE构成位似图形，则称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
，
，
，
，
（1）知识理解
①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 是 （填：是或不是）“旋转位似图形”．
如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”
②若α＝26°，∠B＝100°，∠E＝29°，则∠BAE的度数为 25 ； ③若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC的长度为 （2）知识运用
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AE⊥BD于E，∠1＝∠2．求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高
如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为斜边AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2
，求DE和BD的长．
；
解：（1）①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，将其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”， ②∵△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠D＝∠B＝100°， 又∵α＝26°，∠E＝29°，
∴∠BAE＝180°﹣100°﹣29°﹣26°＝25°， ③∵△ABC∽△ADE， ∴
，
∴∴BC＝
， ，
．
故答案为：是；25°；
（2）∵∠1+∠ACD＝∠2+∠ABE＝90°， ∴∠ACD＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠ADC， ∴△AEB∽△ADC．
∵△AEB和△ADC有一个公共顶点A． ∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”． （3）∵△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”， ∴△ABD∽△AGE． ∴∴∴
；
，∠DAB＝∠EAG，
，
作DE'⊥AE交直线AE于点E'，
∵∠DAB+∠BAE＝∠EAG+∠BAE＝45°． ∴△ADE'为等腰直角三角形． ∵∴
， ．
∴AE'＝AE， ∴点E'和点E重合， ∴∠AED＝90°． ∴∠AEG＝90°．
∴∠ADB＝∠AEG＝90°． 由勾股定理可得： DE＝BD＝
， ，
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