(完整word版)2013年上海市春季高考数学试卷及答案
2013年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考试注意：
1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填与清疋。 2■本试卷共有31道试题，满分150分。考试时间120分钟。 3■请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填 对得3
分，否则一律得0分。
1.函数y = log 2( x • 2)的定义域是 ____________________ 2. 方程2x =8的解是 ____________________ 3. 抛物线y2 =8x的准线方程是 _________________
4. ____________________________________________ 函数y二2sin x的最小正周期是 5.已知向量 ^(1,k)，^(9, k -6)。若 a//：，则实数 k 二 _______________________ 6. 函数 y = 4sin x - 3cos x的最大值是 _________________ 7.复数2 3i( i是虚数单位)的模是 _______________________ 8. 在-ABC中，角A、B C所对边长分别为a、b c， 9. 在如图所示的正方体 ABCD -AEGD^!中，
异面直线AB与B,C所成角的大小为 __________ 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取 3人参
加某社团活动，选出的 3人中男女同学都有的 概率为 (结果用数值表示)。
11. _______________________________________________________________________ 若等差数列的前 6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn= ___________________ 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到:
2 2
因为36=2
3，所以36的所有正约数之和为 (1 3 32) (2 2 3 2 32) (22 22 3 22 32) =(1 2 2(1 3
32) =91
参照上述方法，可求得 2000的所有正约数之和为 _____________________________
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(3, 2)
二•选择题(本大题满分 36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其 中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内， 选对得3分，否则一律得0分。 13•展开式为ad-bc的行列式是( )
a b
a c
a d
b a
(A)
d c
(B)
b d (C)
b c (D)
d c
14•
设f-1(x)为函数f(x)=、,X的反函数，下列结论正确的是( )
(A) f J(2) =2 (B) f J(2) =4 (C) f'(4)=2
(D) ft 4)=4
(A) (2,
-3)
(B)
(C) (2,3)
(-3,2)
(D)
1 1 (A)
(B) ab ：： b2
(C) —ab ：：
(D)
15•直线a b
2x-3y *1=0的一个方向向量是(
)
-a
18•若复数乙、zZ
2满足Z|二Z2，贝y Zp z2在复数平面上对应的点 乙、2 ( (A) 关于x轴对称 (B)关于y轴对称 1
(C)关于原点对称
(D)关于直线y=x对称
19. (V x)10的二项展开式中的一项是(
)
2
3
4
(A) 45x (B) 90x (C) 120x ( D) 252x
20. 既是偶函数又在区间17.如果a :: b :: 0，那么下列不等式成立的是(0,：)上单调递减的函数是( )
( ) (A) y =sinx (B) y =cos x (C) y = sin 2x (D) y = cos 2x
21. 若两个球的表面积之比为 1: 4，则这两个球的体积之
比为( )
(A) 1: 2
(B) 1:4
(C) 1:8
(D) 1:16 22. 设全集U -R，下列集合运算结果为 R的是( )
(A) zUeuN
(B) NDeuN
(C)痧(『一)(D) eu{0}
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23.已知a> b c R, “ b2 -4ac ：：： 0”是“函数f（x^ax2 bx c的图像恒在x轴上方” 的（） （A）充分非必要条件 （C）充要条件
（B）必要非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件
24•已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点
2
M作直线 AB的垂线，垂足为
）
N .若
MN AN NB，其中■为常数，则动点 M的轨迹不可能是（
二、解答题（本大题满分
78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要 的步骤。
25.（本题满分7分）
如图，在正三棱锥 ABC - ABQ 中, （A ）圆
Tt
AX6，异面直线BG与»所成角的大小为-，
（C）抛物线
（D）双曲线
Ci
（B）椭圆
求该三棱柱的体积。 ［解］
26 （本题满分7分）
如图，某校有一块形如直角三角形 ABC的空地，其中.B为直角，
AB长40米，BC长50
米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且 健身房的最大占地面积。 ［解］
B为矩形的一个顶点，求该
27. （本题满分8分）
已知数列｛%｝的前n项和为Sn二-n2 • n ,数列｛0｝满足b^ 2 n ,求
lim (b b2 n_.
［解］
i
b)。
2
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28. （本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9 分。
已知椭圆C的两个焦点分别为 斤（-1,0）、F2（1, 0），短轴的两个端点分别为 Bi B2 （1 ）若 F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线I与椭圆C相交于P、Q两点，且RP_ FQ， 求直线
I的方程。
［解］（1）
29. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6 分。
已知抛物线 Cy' =4x的焦点为F。
（1 ）点A P满足AP = -2FA。当点A在抛物线C上运动时，求动点 P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点 Q，使得点Q关于直线y =2x的对称点在抛物线 C上？如果存 在，求所有满足条件的点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由。 ［解］（1）
(2)
30. （本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9 分。
在平面直角坐标系 xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在X轴上，其横坐标为Xn，且{Xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记• RAPn1 -入，n・N
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1
°）若
\"
ar
如3，求点
A
的坐标;
（2）若点A的坐标为（0,8、. 2），求入的最大值及相应n的值。
31. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7 分，第3小题满分6分。
已知真命题：“函数y二f (x)的图像关于点P(a、b)成中心对称图形”的充要条件为“函数
y = f (x • a) -b是奇函数”。
(1) 将函数g(x) =x3 -3x3的图像向左平移1个单位，再向上平移 2个单位，求此时图像 对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数
g(x)图像对称中心的坐标；
2x
(2)
4 —x
求函数h(x) =log2
图像对称中心的坐标；
(3) 已知命题：“函数 y二f(x)的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实 数a和b，使得函数y = f (x • a) -b是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请 给予证明；如果是假命题，请说明理由， 并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命 题(不必证明)。
［解］(1)
3
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(第1至12题)每一题正确的给 3分，否则一律得 0分。
4.5. 2 . 3 3. x - -2 1. (-2, ：：)
2
兀 114 5 2 7 9. .13 8. 7 7. 10. . n n 3 5 6 6
-题正确的给 3分，否则一律得 0分。 二 .(第13至24题)每-
题号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2013年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
参考答案
6. 5 12. 4836
：
代码
三.(第25至31题)
25.［解］因为 CCi AAi.
所以• BC1C为异面直线BC1与AA •所成的角，即• BGC=—。
在 Rr BC1C 中，BC =CG tan ZBC1C ^6 3
从而 s.AB「fBCS3G,
AA = 3巧 6 = 18J3. 因此该三棱柱的体积为 V = S找BC
26.［解］如图，设矩形EBFP, FP 长为 x 米，其中 0 为 40A
健身房占地面积为 y平方米。因为 CFP s .'CBA , FP C! , = 5°5
-BF ,求得 BF =50-X ,
BA CB 40 50 4 5 5 2 5 从而 y = BF FP = (50 x)x x 50x (x - 20) 500 , 4 4 4
B B D A D A C B C A 23 D 24 C 6
，
：： x ：：
E
F C
2
△
500 乞
2 2
答：该健身房的最大占地面积为 500平方米。
27.［解］当 n — 2时，an 二Sn —Sn」一汕 n (n -1) -(n -1) 一 -2n 2。
且 a〔二 3 =0 ,所以 an 二 _2n ' 2。
, 1 1
当且仅当x =20时，等号成立。
因为bn =2^n 2 = ( )n4，所以数列｛bn｝是首项为1、公比为一的无穷等比数列。
4 4
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故 lim (b b2 J|| bn)
n_.
1
-4
2 2
28［解］(1)设椭圆C的方程为冷 占 b
“(a b ■ 0)。
aa=2b
2 4
2 1
根据题意知 2 2，解得1
a
2-b2=1
a2 = 4 , b2 =
3 3
2 2
故椭圆C的方程为—y 1。
4 1 3 3
2
(2) 容易求得椭圆 C的方程为 — y^1 o
2
当直线I的斜率不存在时，其方程为
x = 1，不符合题意;
y =k(x-1)
当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=k(x-1)。
由
得(2k2 • 1)x2 -4k2x 2(k2-1) = 0。
设卩(为,yj, Q(X2, y2)，则
4 k2 ，2
2k2 1 2(k -1) XX
2k2 1
F1P =(X1 T, y) FQ =(X2 1 y2)
因为 RP _ FQ，所以 F1P FQ -0,即
(X1 1)(x2 1) y1y^X1X2
(X1 X2) 1 k
2
(X1 —1)(x2 —1)
2
2
2
=(k 1)X1X2 -(k -1)(x1 X2) k 1
7k2 -1
2k2 1
解得k2 = 1，即7 k —。
7
故直线l的方程为x7y -1 =0或x- . iy -1 =0。
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坐标为1, 0)，所以FA =(xA -1, yA),
1
由 AP = _2昂得X -XA, y - YA) - -2XAyA)。
fX - XA = -2(XA - 1) f XA = 2 - X 即 解得 y
y -A 二 A iyA 二
代入y2 =4x，得到动点P的轨迹方程为y2 =8-4x。
(2)设点Q的坐标为t, 0).点Q关于直线y=2x的对称点为
29. (1)设动点P的坐标为(x, y)，点A的坐标为(XA, 丫人),则AP = (x-xA, y-yA), 因为F的
(：
(
( -,
-
2y
-
y
I 3t x t
5 2
则x' 解得 4.
y t y 5
2
若Q ■在 C上，将Q •的坐标代入y2 =4x，得4t2 • 15t =0，即t = 0或t 15 所以存在满足题意的点 Q，其坐标为
(00)和-龙，0)。
4
30.［解］(1)设A(0t)，根据题意, n 1 1
Xn =2 。由二3 =arctan—，知 tan^
3 X4 X3
_ t(X4 -X3)_ 4t t t 而 tan B3 =tan(ZOAF4 -ZOAF3)= 22 t xt 32 4 x3 X4 X3 r
(
Q (x,y),
A
15 4
。
, (
,
t t 4t 1 所以- ，解得t =4或t =8。 t2 32 3
故点A的坐标为(04)或(08)。
(2)由题意，点 Pn的坐标为2心，0) , tan. OAPn 2tan 片二 tan( OAR _ OA巳=& 1
, ,
(
2心
%；2。
)
8 2 2门，
1 16 2 2n
2n 8 2
1 & 2 ■ 8；2 8；2 8,2
因为罟誉
22
，所以叭叮* ,
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当且仅当
=_2=，即n =4时等号成立。
2n
8血
TT
TT
易知0：「n ::： g,y=tanx在(0,㊁)上为增函数，
J2
因此，当n =4时，片最大，其最大值为 arctan
4
3
2
31.( 1)平移后图像对应的函数解析式为 y=(x・1) -3(x 1)
2，
整理得y = x3 -3x，
由于函数y =x3 -3x是奇函数，
由题设真命题知，函数 g(x)图像对称中心的坐标是 (1, - 2)。
2x
(2) 设h(x) =log2 的对称中心为P(a, b)，由题设知函数4 — x
h(x a) - b是奇函数。
设 f (x) = h(x a) ~b,则 f (x)二 log 2
~~b，即 f (x)二 log2
—2a4_(x + a)
- b。 4_a_x
2x + 2a
由不等式2x 2a 0的解集关于原点对称，得 a =2。
4 —a —x
此时 f (x)二 log2 2(x 2) -b,x (-2, 2)。
2 — x
任取 x (-2,2)，由 f(—x) f(x) = 0,得 b=1 ,
所以函数h(x) =log2-^ 图像对称中心的坐标是 —x
(2, 1)。
4 (3) 此命题是假命题。
举反例说明：函数f(x)=x的图像关于直线 y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b , 函数y = f (x • a) -b，即y = x • a -b总不是偶函数。 修改后的真命题：
“函数y二f (x)的图像关于直线x二a成轴对称图像”的充要条件是“函数y二f (x • a)是 偶函数”。9 / 7 最新发布
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