精品解析：辽宁省丹东市2021年中考数学试题(解析版)

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）

1.5的相反数是（A.5【答案】A【解析】【分析】由相反数的定义可得答案．【详解】A：-5的相反数是5，正确，B：-5的相反数是5，错误，C：-5的相反数是5，错误，D：-5的相反数是5，错误．故选：A．【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.下列运算正确的是（A.a2a3a6C.）B.(mn)mmnn

222）B.15C.5D.0.52a33

8a6D.(2m1)(2m1)4m1

2【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂相乘､积的乘方､完全平方公式及平方差公式的知识,分别进行各选项的判断,继而可得出答案．【详解】A．a2a3a,故A选项错误,B．(mn)2m22mnn2,故B选项错误,C．(2a3)323(a3)38a9,故C选项错误,D．2m12m12m214m21，故D选项正确．故选D．【点睛】此题考查了同底数幂相乘､积的乘方､平方差公式､完全平方公式,解答本题的关键是熟练掌握幂的运算､平方差公式､完全平方公式的运算法则．3.如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据从上面向下看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】从上面向下看是两列，每列有1个小正方形，如图所示：故选：B．【点睛】本题考查了简单小立方体堆砌立体图形的三视图，解题时注意从上面向下看，得到的图形是俯视图．4.若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（A.4，6【答案】A【解析】【分析】根据平均数的定义求出m的值，故可得到这组数据的中位数和众数．【详解】解：依题意可得1+3+4+6+m=5×4，解得m=6，故数据为1，3，4，6，6，中位数和众数分别为4、6；故选A．【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知中位数和众数的定义．B.4，4C.3，6）D.3，45.若实数k、b是一元二次方程(x3)(x1)0的两个根，且kb，则一次函数ykxb的图象不经过（）B.第二象限C.第三象限D.第四象限A.第一象限【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．【详解】∵实数k、b是一元二次方程(x3)(x1)0的两个根，且kb，∴k3,b1,∴一次函数表达式为y3x1，有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到BDE,BE交AD于点O，BE恰6.如图，好平分ABD，若AB23，则点O到BD的距离为（）A.3B.2C.332D.3【答案】B【解析】【分析】如图，过点O作OF⊥BD于F，可得OF为点O到BD的距离，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得OA=OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得答案．【详解】如图，过点O作OF⊥BD于F，∴OF为点O到BD的距离，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD=∠CBD，∵BE恰好平分ABD，∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，∴∠ABO=30°，∵AB23，∴OF=OA=AB·tan30°=2，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．点A在曲线到y17.如图，k2

(x0)上，点B在双曲线y2(x0)上，AB//x轴，点C是x轴上一点，xx）连接AC、BC，若ABC的面积是6，则k的值（A.6【答案】C【解析】B.8C.10D.12

【分析】根据AB//x轴可以得到SABCSAOB6，转换成反比例函数面积问题即可解题．【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，∵AB//x轴∴AB⊥y轴，SABCSAOB6∴SBOM

11

k，SAOM2122

∵SABCSAOBSBOMSAOM6∴1

k162k

(x0)上，且B在第二象限x解得k10∵点B在双曲线y2∴k0∴k10故选C【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键．2

8.已知抛物线yaxbxc(a0)，且abc

13

,abc．判断下列结论：①abc0；22②2a2bc0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2x3时，y最小3a；⑤该抛物线与直线yxc有两个交点，其中正确结论的个数（A.2【答案】D【解析】B.3）C.4D.511,c1a，则有c0，进而可判定①②，当x=1时，则yabc，2231

0，则当x=-1时，则有yabc，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线x

24a【分析】由题意易得b有当2x3时，y随x的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵abc∴两式相减得b∴c0，∵a0,b0,c0，∴abc0，故①正确；1

，两式相加得c1a，213,abc，2211aa0，故②正确；213∵当x=1时，则yabc，当x=-1时，则有yabc，22∴2a2bc2a2∴当y0时，则方程0ax2bxc的两个根一个小于-1，一个根大于1，∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线x

b1

0，2a4a∴当2x3时，y随x的增大而增大，∴当x2时，有最小值，即为y4a2bc4a11a3a，故④正确；2联立抛物线yax2bxc及直线yxc可得：xcax2bxc，整理得：ax1

8ac0，4

∴该抛物线与直线yxc有两个交点，故⑤正确；∴

∴正确的个数有5个；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．1x2c0，2第二部分主观题

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.按照现行贫困标准计算，中国770000000村贫困人口摆脱贫困，将数据770000000用科学记数法表示为_________．【答案】7.7108【解析】【分析】根据科学记数法的形式a10n，其中1a，n为整数，直接表示即可．【详解】数字770000000用科学记数法表示为7.7108故答案为：7.7108

【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a10n，其中1a，n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键．10.在函数y【答案】x3【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】根据题意得：x3中，自变量x的取值范围_________．x2

x30

，解得x3

x20

∴自变量x的取值范围是x3．故答案为：x3．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11.分解因式：ma22mabmb2＝________．【答案】mab【解析】【分析】2【详解】解：ma22mabmb2m(a22abb2)m(ab)2.故答案为：mab212.关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．【答案】k＞1且k0．【解析】【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定题即可.【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，b24ac224k144k0，解得k1．又∵该方程为一元二次方程，k0，k1且k0．故答案为：k1且k0．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．2x13

无解，则m的取值范围_________．13.不等式组

xm

【答案】m2【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：2x13①xm②解不等式①得：x2由②式知：xm∵不等式组无解∴m2故答案为：m2

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．B45,AB的垂直平分线交AB于点D，在ABC中，交BC于点E(BECE)，点F是AC14.如图，的中点，连接AE、EF，若BC7,AC5，则△CEF的周长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出△CEF的周长．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴BAEABE45，BE=AE，∴BEA90，∵BC7,∴BECE7,

∴AECE7,AE7CE,又∵AC=5，∴在AEC中，AE2CE2AC2，7CE2

CE252

解得：CE=3，又∵点F是AC的中点，∴EFFC

15AC，22∴△CEF的周长=CF+CE+FE=故答案为：8．55

38．22【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．15.如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC22，CD则线段HE的长度为_________．2，【答案】【解析】32102【分析】先证明BEC≌BEF，可得CE=FE，BF=BC22，同理：CH=GH，DG=CD得HE=2，从而1

GF，再利用勾股定理得BD=10，进而即可求解．2【详解】解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE=∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°，又∵BE=BE，∴BEC≌BEF，∴CE=FE，BF=BC22同理：CH=GH，DG=CD∴HE是△CGF的中位线，∴HE=2，1

GF，2∵在矩形ABCD中，BC22，CD∴BD=BC2CD210，∴GF=BF+DG-BD=3210，2，∴HE=3210．2

【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是△CGF的中位线，是解题的关键．16.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足APBBPCCPA120．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若ABAC

7,BC23，P为ABC的费马点，则PAPBPC_________；若AB23,BC2,AC4，P为ABC的费马点，则PAPBPC_________．【答案】【解析】【分析】①作出图形，过B,C分别作DBPDCP30,勾股定理解直角三角形即可②作出图形，将△APC绕点A逆时针旋转60，P为ABC的费马点则B,P,P,C四点共线，即①.5②.27PAPBPCBC，再用勾股定理求得即可【详解】①如图,过A作ADBC，垂足为D,过B,C分别作DBPDCP30,则PBPC,P为ABC的费马点ABAC7,BC23BDDC

1

BC32tan30PD1PB

PD3BD3

PD

2

sin30

AB2BD2732ADPAPBPC5②如图：AB23,BC2,AC4.AB2BC216,BC216AB2BC2AC2ABC90

sinBAC

BC1

sin30AC2

BAC30

将△APC绕点A逆时针旋转60由旋转可得：△APC≌△APC

APAP,PCPC,ACACCACPAP60

APP是等边三角形，BAC90P为ABC的费马点即B,P,P,C四点共线时候，PAPBPCBC

PAPBPCBPPPPC=BC

AB2AC2(23)24227故答案为：①5，②27【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转△PAB,△PBC也可，但必须绕顶点旋转．三、（每小题8分，共16分）

17.先化简，再求代数式的值：22a4a1

2，其中a2sin302(1)0．a2a42a

8a2a2【答案】；5a24【解析】【分析】先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后代入求值即可．2a42a4a23a2

【详解】原式2

a4a24a24a2a2



a24

∵a2sin302(1)012

332328

∴将a3代入原式

3245

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．18.如图，在ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC、DE．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若ABAC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）四边形ACDE是菱形，理由见详解．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可判定AOE≌DOC，即可得到AECD，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；（2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形．【详解】（1）证明：在ABCD中，AB∥CD，∴EAOCDO，∵点O为AD的中点，∴AODO，在AOE与DOC中，∵EAOCDO，AODO，EOACOD，∴AOE≌DOC，∴AECD，又∵BE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形，AECD，∵ABAC，∴AECDABAC，∴四边形ACDE是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等，熟练掌握判定定理并融会贯通是解题的关键．四、（每小题10分，共20分）

19.某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）求这次抽样调查的学生有多少人？（2）求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．【答案】（1）120人；（2）126°，补全条形统计图见解析；（3）280人【解析】【分析】（1）根据A的人数和所占的百分数求解即可；（2）根据B占圆周角的的百分数求解即可；求出C的人数即可补全条形统计图；（3）由该校人数乘以B所占的百分数即可求解．【详解】解：（1）由统计图可知，36÷30%=120（人），答：这次抽样调查的学生有120人；（2）360°×42=126°，120×20%=24（人），120答：B所在扇形圆心角的度数为126°，补全条形统计图如图所示：（3）800×42=280（人），120答：估计喜欢B的人数为280人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识，能从统计图中获取有效信息是解答的关键．20.一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【解析】【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．【详解】（1）所有可能性如下表：甲红1乙红2白1白2红1（红，红）（白，红）（白，红）红2（红，红）（白，红）（白，红）白1（红，白）（红，白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总共12种情况．（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种∴甲获胜概率=418，乙获胜概率=12123

23∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、（每小题10分，共20分）

21.为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【解析】【分析】根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：400300

，xx20解得：x=80．80-20=60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【点睛】此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于22.如图，O是ABC的外接圆，点D是BC

点E和点F，连接AD、BD，ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是O的切线；（2）若AB:BE5:2，AD14，求线段DM的长．【答案】（1）见详解；（2）2【解析】【分析】（1）连接OD，由垂径定理得OD⊥BC，从而得OD⊥EF，进而即可得到结论；（2）由平行线分线段定理得DN=进而即可求解．【详解】（1）证明：连接OD，如图，214，再证明BDN∽ADB，可得BD=2，最后证明∠BMD=∠DBM，7的中点，∵点D是BC

CD，∴BD

∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB:BE5:2，AD14，EF//BC，ANAB5，DNBE2

214，∴DN=7∴的中点，∵点D是BC

∴∠BAD=∠CAD=∠CBD，又∵∠BDN=∠ADB，∴BDN∽ADB，214DNBD

BD，∴，即：7DBAD

DB14∴BD=2，∵ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM=∠CBM，∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM，∴DM=BD=2．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键．六、（每小题10分，共20分）

一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44，23.如图，此时无人机距水面的距离AD50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.870.60，cos36.870.80，tan36.870.75，sin63.440.，cos63.440.45，tan63.442.00）【答案】110【解析】【分析】过点A作AHBM交于点H，由题意可得：ADHM50，设BMx，在RtABH中，AH的值BHCH

，在RtAHC中，AH，进而可根据AHAH，求出x的值，即为BMtan36.87tan63.44

【详解】过点A作AHBM交于点H，由题意可得：ADHM50

设BMx，则MCBMx∵BHBMHM∴BHx50

∴在RtABH中，AH∵HCHMMC∴HC50x

∴在RtAHC中，AH∴BH4x50tan36.873450xx5032CH50x



tan63.442

解得x110即BM110

【点睛】本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．24.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）y5x550；（2）70元；（3）80元．【解析】【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价-成本）4000”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；（3）设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：（1）∵依题意得y50100x∴y与x的函数关系式为y5x550；（2）∵依题意得yx504000，即5x550x504000，解得：x170，x290，∵7090

∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得1

10，2wyx505x550x505x2800x27500

∵50，此图象开口向下∴当x

800

80时，w有最大值为：580280080275004500（元），25∴当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．七、（本题12分）

N分别作AB､25.已知,在正方形ABCD中,点M､N为对角线AC上的两个动点,且MBN45,过点M、BC的垂线相交于点E,垂足分别为F､G,设△AFM的面积为S1,NGC的面积为S2,MEN的面积为S3．（1）如图（1）,当四边形EFBG为正方形时,①求证:AFM≌CGN;②求证:S3S1S2;（2）如图（2）,当四边形EFBG为矩形时,写出S1,S2,S3三者之间的数量关系,并说明理由;（3）在（2）的条件下,若BG:GCm:nmn,请直接写出AF:FB的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S3S1S2；（3）(mn)：(mn)【解析】【分析】（1）①利用两个正方形性质易证AFM≌CGN；②连接BD，则BD过点E，且BDAC，由①知AM=CN，易证ABMCBN，ABDCBD45，可得BM=BN，进一步证明FBMOBN，从而得到AFMEON，同理CGNEOM，故S3S1S2；（2）如图，连接BD交AC于点O，易证FBMOBN，进而得到BFBM，仿照上面同样的方法，OBBN可证BMOB，即OB2BFBG，从而得到S矩形EFBGSABC，故S3S1S2；BNBG（3）在（2）的条件下，有S矩形EFBG

SABC，根据题意可设BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x，先求出BF的长，进而求出AF的长，即可得出答案．【详解】（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB=CB，BF=BG，FAMGCN45，AFMCGN90，∴AF=CG，∴AFM≌CGN(ASA)

②如图，连接BD，则BD过点E，且BDAC，ABDCBD45，由①知AM=CN，∵BAMBCN，AB=BC，∴ABMCBN(SAS)，∴BM=BN，∵MBN45，∴ABMOBN，∵BFMBON90，∴FBMOBN(AAS)，∴FM=ON，AFMEON，同理CGNEOM，∵S3SEOMSEON，∴S3S1S2．（2）S3S1S2，理由如下:如图，连接BD交AC于点O，则BDAC，BFMBON90，ABDCBD45，AC=BD=2OB，∵MBN45，FBMOBN90，∴FBMOBN(AA)，∴BFBM，OBBN同理BOMBGN，∴BMOB，BNBGBFOB，即OB2BFBG，OBBG11

OBACOB2OBOB2，S矩形EFBGBFBG，22

所以∵SABC

∴S矩形EFBG∴S1

SABC，S2SABCS五边形MFBGN，S3S矩形EFBGS五边形MFBGN∴S3S1S2．（3）根据题意可设BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x，∴S矩形EFBG

11SABC（m+n)2x2，即BFBG（m+n)2x2，22(mn)2x∴BF，2m(m2n2)x

∴AFABBF

2m(m2n2)x(mn)2x(mn)

∴AF：BF=:=：(mn)．2m2m【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定三角形及矩形面积的求解，解题的关键是巧妙的正方形的性质构造全等三角形或相似三角形来解决问题，本题还运用到了类比探究的思想．八、（本题14分）

26.如图，已知点A(8,0)，点B(5,4)，直线y2xm过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线yax2

11

xc经过点A、C、D，连接AB、AC．4

（1）求抛物线的表达式；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tanECA

1

，求点E的坐标；2（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒5个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．【答案】（1）y

1211113

xx6；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由见解析；（3）E（，44113500

）；（4）运动时间t的最小值为45+6，此时N坐标为（﹣6，）1212【解析】【分析】（1）由点B坐标求出m值，进而求得点C坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可；（2）由两点间距离公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判断；（3）由（2）中数据可知∠BCA=∠ECA，延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点E为直线CF与抛物线的交点，求出直线CF的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点E坐标；（4）过N作MN⊥AC于M，过F作FM⊥BC交AC于N，连接FN，则FN=BN，求得MN=NC5，由点P运动时间t=BNNCCO

=BNMN6=FNMN6，当F、N、M三点共线时，t最小，进一步115求解即可解答．【详解】解：（1）∵直线y2xm过点B交y轴于点C，∴将B(5,4)代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，解得：m=6，则C（0，6），将A（﹣8，0）、C（0，6）代入yax

2

11

xc，41

a22c0a得：，解得：4，c6c6

∴抛物线的表达式为y

1211

xx6；44（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为：由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°；（3）由（2）知AB=5，AC=10，∴tan∠BCA=AB1

=tan∠ECA，AC2

∴∠BCA=∠ECA，延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，∴△FAC≌△BAC，∴∠BCA=∠FCA，∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y=kx+b，则

11kb42，解得：k，11b6

∴直线CF的解析式为y

2

x6，112113yx6x1111x0

联立方程组，解得：或（舍去），111500y6yx2x6y44121

故点E坐标为（

113500

，）；11121（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM⊥BC交AC于N，连接FN，则FN=BN，∵AB=5，BC=125=55，∴sin∠BCA=AB5MN

，

BC5NC∴MN=NC5，又CO=6，∴点P运动时间t=BNNCCO

=BNMN6=FNMN6≥FM+6，115当F、N、M三点共线时，t最小，∵AC=10，BC=55，∴sin∠ABC=AC25FM

，

BC5BF∴FM=45，∴点P运动时间t的最小值为45+6，由直线BC的表达式y=2x+6得点D坐标为（﹣3，0），∵FD=(113)24245，∴点D与点M重合，则点N（即N）为直线FD与直线AC的交点，3

x6，413

由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为yx，22由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为y

3

yx6x64联立方程组，解得：3，yy1x3222

∴此时N坐标为（﹣6，3），2【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．