辽宁省丹东市2021年中考一模数学试卷(含解析)
2021年辽宁省中考数学一模试卷
一、选择题〔以下各题的备选答案中，只有一个是正确的，每题3分，共24分〕 1．﹣3的倒数是〔 〕 A．3
B．
C．﹣ D．﹣3
2．2016年1月19日，国家统计局公布了2021 年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为〔 〕 ×10×10 ×10×10
3．如下图几何体的左视图为〔 〕
6
5
5
6
A． B． C． D．
4．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是〔 〕 A．8，6 B．7，6 C．7，8 D．8，7 5．以下计算结果正确的选项是〔 〕
A．a8÷a4=a2 B．a2•a3=a6 C．〔a3〕2=a6 D．〔﹣2a2〕3=8a6 6．二元一次方程组A．
B．
的解为〔 〕 C．
D．
7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，那么BC长为〔 〕
A．8 B．10 C．12 D．14
8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有以下结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=
△ADF
AE2；④S△ABC=4S
．其中正确的有〔 〕
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A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
二、填空题〔每题3分，共24分〕 9．分解因式：xy2﹣x= ． 10．不等式组
的解集为 ．
11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都一样．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 12．反比例函数y=
的图象经过点〔2，3〕，那么k= ．
13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额到达100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，那么可列方程为 ． 14．观察以下数据：﹣2，，﹣规律，第11个数据是 ．
15．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，那么EF的长为 ．
，
，﹣
，…，它们是按一定规律排列的，依照此
16．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，那么以下6个结论正确的有 个 ①ac＜0 ②2a+b=0 ③4a+2b+c＞0 ④对于任意x均有ax2+bx≥a+b ⑤3a+c=0 ⑥b+2c＜0 ⑦当x＞1时，y随着x的增大而减小．
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三、解答题〔每题8分，共16分〕 17．计算：4sin60°+|3﹣
|﹣〔〕+〔π﹣2021〕．
﹣1
0
18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如下图〔每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形〕．
〔1〕将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
〔2〕将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
四、解答题〔每题10分，共30分〕
19．为了促进学生多样化开展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团〔要求人人参与社团，每人只能选择一项〕．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图
中
提
供
的
信
息
，
完
成
以
下
问
题
：
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.
〔1〕此次共调查了多少人？
〔2〕求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； 〔3〕请将条形统计图补充完整；
〔4〕假设该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
20．甲、乙两人进展摸牌游戏．现有三张形状大小完全一样的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌反面朝上，洗匀后放在桌子上．
〔1〕甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取一样数字的概率；
〔2〕假设两人抽取的数字和为2的倍数，那么甲获胜；假设抽取的数字和为5的倍数，那么乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
21．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F． 〔1〕求证：四边形CEDF是平行四边形； 〔2〕①当AE= 时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= 时，四边形CEDF是菱形．
五、解答题〔每题10分，共20分〕
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． 〔1〕求证：∠BDC=∠A；
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〔2〕假设CE=4，DE=2，求AD的长．
六、解答题〔每题10分，共20分〕
23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．〔测角器的高度忽略不计，结果准确到〕 〔参考数据：sin48°≈
，tan48°≈
，sin64°≈
，tan64°≈2〕
24．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．假设该果园每棵果树产果y〔千克〕，增种果树x〔棵〕，它们之间的函数关系如下图． ．．〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕在投入本钱最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ 〔3〕当增种果树多少棵时，果园的总产量w〔千克〕最大？最大产量是多少？
七、解答题〔此题12分〕
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25．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，
〔1〕如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；
〔2〕将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角〔0°＜β＜180°〕，如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？假设不变化，求出∠EMB的度数；假设发生变化，请说明理由．
〔3〕在〔2〕的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系： ．
八、解答题〔此题14分〕
26．如图，抛物线与x轴交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，且x1＞x2，与y轴交于点C〔0，4〕，其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根． 〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
〔3〕探究：假设点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．
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2021年辽宁省丹东七中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔以下各题的备选答案中，只有一个是正确的，每题3分，共24分〕 1．﹣3的倒数是〔 〕 A．3
B．
C．﹣ D．﹣3
【考点】倒数．
【分析】利用倒数的定义，直接得出结果． 【解答】解：∵﹣3×〔﹣〕=1， ∴﹣3的倒数是﹣． 应选：C．
2．2016年1月19日，国家统计局公布了2021 年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为〔 〕 ×106×105 ×105×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． ×105． 应选B．
3．如下图几何体的左视图为〔 〕
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A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形， 应选：A．
4．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是〔 〕 A．8，6 B．7，6 C．7，8 D．8，7 【考点】众数；中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进展解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8， 8出现了3次，出现的次数最多，那么众数是8； 最中间的数是7，
那么这组数据的中位数是7． 应选D．
5．以下计算结果正确的选项是〔 〕
A．a8÷a4=a2 B．a2•a3=a6 C．〔a3〕2=a6 D．〔﹣2a2〕3=8a6
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法那么，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a8÷a4=a4，故A错误； B、a•a=a，故B错误； C、〔a3〕2=a6，故C正确； D、〔﹣2a2〕3=﹣8a6，故D错误． 应选：C．
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2
3
5
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6．二元一次方程组A．
B．
的解为〔 〕 C．
D．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】根据加减消元法，可得方程组的解． 【解答】解：①+②，得 3x=9， 解得x=3， 把x=3代入①， 得3+y=5， y=2，
所以原方程组的解为应选C．
7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，那么BC长为〔 〕
．
A．8 B．10 C．12 D．14
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC， ∴∠AFB=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠FBC， 那么∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=6，
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同理可证：DE=DC=6， ∵EF=AF+DE﹣AD=2， 即6+6﹣AD=2， 解得：AD=10； 应选：B．
8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有以下结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=
△ADF
AE；④S△ABC=4S
2
．其中正确的有〔 〕
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；
证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确； 证明△ABD～△BCE，得出的面积得出BC•AD=
=
，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形
AE2；③正确；
由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论． 【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F是AB的中点， ∴FD=AB， ∵∠ABE=45°，
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.
∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE，
∵点F是AB的中点， ∴FE=AB， ∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE， 在△AEH和△BEC中，∴△AEH≌△BEC〔ASA〕， ∴AH=BC=2CD，②正确； ∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB， ∴△ABD～△BCE， ∴∵
=
，即BC•AD=AB•BE，
，
AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，
AE2；③正确；
∴BC•AD=
∵F是AB的中点，BD=CD，∴ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确； 应选：D．
二、填空题〔每题3分，共24分〕
9．分解因式：xy﹣x= x〔y﹣1〕〔y+1〕 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：xy2﹣x， =x〔y2﹣1〕，
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2
.
=x〔y﹣1〕〔y+1〕．
故答案为：x〔y﹣1〕〔y+1〕．
10．不等式组
的解集为 2＜x＜6 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：
，由①得，x＞2，由②得，x＜6，
故不等式组的解集为：2＜x＜6． 故答案为：2＜x＜6．
11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都一样．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是
．
【考点】概率公式．
【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵一个袋中装有两个红球、三个白球， ∴球的总数=2+3=5，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率=． 故答案为：．
12．反比例函数y=
的图象经过点〔2，3〕，那么k= 7 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y=∴k﹣1=2×3， 解得：k=7．
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的图象经过点〔2，3〕，
.
故答案为：7．
13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额到达100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，那么可列方程为 60〔1+x〕2=100 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程． 【解答】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意可得：60〔1+x〕2=100． 故答案为：60〔1+x〕2=100．
14．观察以下数据：﹣2，，﹣规律，第11个数据是 ﹣
，
，﹣
，…，它们是按一定规律排列的，依照此
．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案． 【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣∴第11个数据是：﹣故答案为：﹣
15．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，那么EF的长为 6
．
．
=﹣
，．
，﹣
，…，
【考点】正方形的性质．
【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．
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【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3， ∴AC=3
，
∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE， ∵AD∥CE， ∴∠DAE=∠E， ∴∠CAE=∠E， ∴CE=CA=3∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°， ∴∠FAC=∠F， ∴CF=AC=3
，
=6
．
，
，
∴EF=CF+CE=3故答案为：6
16．二次函数y=ax+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，那么以下6个结论正确的有 5 个 ①ac＜0 ②2a+b=0 ③4a+2b+c＞0 ④对于任意x均有ax2+bx≥a+b ⑤3a+c=0 ⑥b+2c＜0 ⑦当x＞1时，y随着x的增大而减小．
2
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线与x轴交于〔﹣1，0〕，〔3，0〕，得到对称轴为直线x=﹣
=
=1，于是得到2a+b=0，故②正确；把x=2代入还是解析式得到4a+2b+c
＜0，故③错误；由于x=1，a+b+c最小，于是得到对于任意x均有ax2+bx≥a+b，故④正确；把x=﹣1代入解析式得到a﹣b+c=0，把﹣b=2a代入上式于是得到a+2a+c=3a+c=0，故⑤正确；根据a＞0，对称轴在yz轴的右侧，得到b＜0，于是得到b+2c＜0，故⑥正确；根据二
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次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故⑦错误． 【解答】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于〔﹣1，0〕，〔3，0〕， ∴对称轴为直线x=﹣∴2a+b=0，故②正确；
当x=2时，4a+2b+c＜0，故③错误； 当x=1时，a+b+c最小，
∴对于任意x均有ax+bx+c≥a+b+c， ∴对于任意x均有ax2+bx≥a+b，故④正确； 当x=﹣1时，a﹣b+c=0， ∵2a+b=0， ∴﹣b=2a，
∴a+2a+c=3a+c=0，故⑤正确； ∵a＞0，对称轴在yz轴的右侧， ∴b＜0， ∵c＜0，
∴b+2c＜0，故⑥正确；
∵当x＞1时，y随着x的增大而增大，故⑦错误． ∴正确的有①②④⑤⑥共5个， 故答案为：5．
2
==1，
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三、解答题〔每题8分，共16分〕 17．计算：4sin60°+|3﹣
|﹣〔〕﹣1+〔π﹣2021〕0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣
|﹣〔〕﹣1+〔π﹣2021〕0的值是多少即可．
|﹣〔〕+〔π﹣2021〕
﹣1
0
【解答】解：4sin60°+|3﹣=4×=2=4
+2﹣4 +2
﹣3﹣2+1 ﹣4
18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如下图〔每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形〕．
〔1〕将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
〔2〕将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【分析】〔1〕利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
〔2〕利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
【解答】解：〔1〕如图，△A1B1C1即为所求；
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〔2〕如图，△AB2C2即为所求，点B2〔4，﹣2〕，C2〔1，﹣3〕．
四、解答题〔每题10分，共30分〕
19．为了促进学生多样化开展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团〔要求人人参与社团，每人只能选择一项〕．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图
中
提
供
的
信
息
，
完
成
以
下
问
题
：
〔1〕此次共调查了多少人？
〔2〕求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； 〔3〕请将条形统计图补充完整；
〔4〕假设该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】〔1〕根据体育人数80人，占40%，可以求出总人数． 〔2〕根据圆心角=百分比×360°即可解决问题． 〔3〕求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图． 〔4〕用样本百分比估计总体百分比即可解决问题．
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【解答】解：
〔1〕80÷40%=200〔人〕． ∴此次共调查200人． 〔2〕
×360°=108°．
∴文学社团在扇形统计图中所占 圆心角的度数为108°． 〔3〕补全如图，
〔4〕1500×40%=600〔人〕． ∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人．
20．甲、乙两人进展摸牌游戏．现有三张形状大小完全一样的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌反面朝上，洗匀后放在桌子上．
〔1〕甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取一样数字的概率；
〔2〕假设两人抽取的数字和为2的倍数，那么甲获胜；假设抽取的数字和为5的倍数，那么乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】〔1〕利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； 〔2〕分别求出甲、乙获胜的概率，比拟即可． 【解答】解：〔1〕所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性一样，其中两人抽取一样数字的结果有3种，所以两人抽取一样数字的概率为：； 〔2〕不公平．
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从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种， 所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：． ∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
21．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F． 〔1〕求证：四边形CEDF是平行四边形； 〔2〕①当AE= 3.5 时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= 2 时，四边形CEDF是菱形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定． 【分析】〔1〕证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可； 〔2〕①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可； ②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可． 【解答】〔1〕证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴CF∥ED， ∴∠FCD=∠GCD， 又∠CGF=∠EGD． G是CD的中点， CG=DG，
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在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG〔ASA〕， ∴FG=EG， ∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
〔2〕①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形， 理由是：过A作AM⊥BC于M， ∵∠B=60°，AB=3， ∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5， ∵AE=3.5， ∴DE=1.5=BM， 在△MBA和△EDC中，
∴△MBA≌△EDC〔SAS〕， ∴∠CED=∠AMB=90°， ∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是矩形， 故答案为：3.5；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形， 理由是：∵AD=5，AE=2， ∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°， ∴△CDE是等边三角形，
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.
∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是菱形， 故答案为：2．
五、解答题〔每题10分，共20分〕
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． 〔1〕求证：∠BDC=∠A；
〔2〕假设CE=4，DE=2，求AD的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；
〔2〕根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到
，解方程即可得到结论．
【解答】〔1〕证明：连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴∠ODC=90°， 即∠ODB+∠BDC=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，
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.
即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠BDC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDC=∠A；
〔2〕∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE， ∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴
2
，
∴EC=DE•AE， ∴16=2〔2+AD〕， ∴AD=6．
六、解答题〔每题10分，共20分〕
23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．〔测角器的高度忽略不计，结果准确到〕 〔参考数据：sin48°≈
，tan48°≈
，sin64°≈
，tan64°≈2〕
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.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD可得关于AB 的方程，解方程可得．
【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48° 在Rt△ADB中，tan64°=那么BD=
，
≈AB，
，
在Rt△ACB中，tan48°=那么CB=∴CD=BC﹣BD 即6=
AB﹣AB
≈
AB，
解得：AB=≈14.7〔米〕，
∴建筑物的高度约为．
24．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．假设该果园每棵果树产果y〔千克〕，增种果树x〔棵〕，它们之间的函数关系如下图． ．．〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕在投入本钱最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ 〔3〕当增种果树多少棵时，果园的总产量w〔千克〕最大？最大产量是多少？
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.
【考点】二次函数的应用．
【分析】〔1〕函数的表达式为y=kx+b，把点〔12，74〕，〔28，66〕代入解方程组即可． 〔2〕列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值． 〔3〕构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
【解答】解：〔1〕设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点〔12，74〕，〔28，66〕， 得解得∴+80，
〔2〕根据题意，得， +80〕〔80+x〕=6750， 解得，x1=10，x2=70 ∵投入本钱最低．
∴x2=70不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克． 〔3〕根据题意，得
+80〕〔80+x〕 =﹣0.5 x+40 x+6400 =﹣0.5〔x﹣40〕+7200
∵＜0，那么抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当x=40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
七、解答题〔此题12分〕
25．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，
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2
2
， ，
.
〔1〕如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；
〔2〕将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角〔0°＜β＜180°〕，如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？假设不变化，求出∠EMB的度数；假设发生变化，请说明理由．
〔3〕在〔2〕的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系： CM=
BN ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕AG=EC，AG⊥EC，理由为：由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；
〔2〕∠EMB的度数为45°，理由为：过B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG与三角形BEC全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线，再由∠BAG=∠BCE，及一对对顶角相等，得到∠AMC为直角，即∠AME为直角，利用角平分线定义即可得证； 〔3〕CM=
BN，在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角
BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，
三角形的性质得到BQ=
利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【解答】解：〔1〕AG=EC，AG⊥EC，理由为： ∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°， 在△ABG和△BEC中，
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.
，
∴△ABG≌△BEC〔SAS〕， ∴CE=AG，∠BCE=∠BAG， 延长CE交AG于点M， ∴∠BEC=∠AEM， ∴∠ABC=∠AME=90°， ∴AG=EC，AG⊥EC；
〔2〕∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°理由为： 过B作BP⊥EC，BH⊥AM， 在△ABG和△CEB中，
，
∴△ABG≌△CEB〔SAS〕， ∴S△ABG=S△EBC，AG=EC， ∴EC•BP=AG•BH， ∴BP=BH，
∴MB为∠EMG的平分线， ∵∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠EMB=∠EMG=×90°=45°；
〔3〕CM=BN，理由为：在NA上截取NQ=NB，连接BQ，
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.
∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=∵∠AMN=45°，∠N=90°，
BN，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN， ∴MN﹣BN=AN﹣NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠MBC=∠BAN， 在△ABQ和△BCM中，
，
∴△ABQ≌△BCM〔SAS〕， ∴CM=BQ， 那么CM=
BN．
BN
故答案为：CM=
八、解答题〔此题14分〕
26．如图，抛物线与x轴交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，且x1＞x2，与y轴交于点C〔0，4〕，其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根． 〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
〔3〕探究：假设点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．
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.
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
〔2〕此题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值． 〔3〕此题要分三种情况进展讨论：
①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标． ②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．
③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．
【解答】解：〔1〕∵x2﹣2x﹣8=0，∴〔x﹣4〕〔x+2〕=0． ∴x1=4，x2=﹣2．
∴A〔4，0〕，B〔﹣2，0〕．
又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0〕， ∴
．
∴．
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.
∴所求抛物线的解析式为y=﹣x+x+4．
〔2〕设P点坐标为〔m，0〕，过点E作EG⊥x轴于点G． ∵点B坐标为〔﹣2，0〕，点A坐标〔4，0〕， ∴AB=6，BP=m+2． ∵PE∥AC， ∴△BPE∽△BAC． ∴∴
==
． ．
2
∴EG=
∴S△CPE=S△CBP﹣S△EBP =BP•CO﹣BP•EG ∴S△CPE=〔m+2〕〔4﹣=﹣m2+m+． ∴S△CPE=﹣〔m﹣1〕2+3． 又∵﹣2≤m≤4，
∴当m=1时，S△CPE有最大值3． 此时P点的坐标为〔1，0〕．
〔3〕存在Q点， ∵BC=2
，
〕
设Q〔1，n〕， 当BQ=CQ时，
那么32+n2=12+〔n﹣4〕2， 解得：n=1， 即Q1〔1，1〕； 当BC=BQ=2
时，9+n2=20，
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.
解得：n=±∴Q2〔1，当BC=CQ=2解得：n=4±∴Q4〔1，4+
， 〕，Q3〔1，﹣
2
〕；
时，1+〔n﹣4〕=20， ，
〕，Q5〔1，4﹣
〕．
〕，Q3〔1，﹣
〕，Q4〔1，4+
〕，Q5〔1，4
综上可得：坐标为Q1〔1，1〕，Q2〔1，﹣
〕．
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