八
一、选择题(每小题4分,共48分) 1.(4分)(2013•郴州)下列图案中,不是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.
2.(4分)(2013•德宏州)如果a<0,则下列式子错误的是( ) A. 5 +a>3+a B. 5﹣a>3﹣a C. 5a>3a D.
3.(4分)(2009•眉山)下列因式分解错误的是( ) A. x 2﹣y2=(x+y)(xB. x2+6x+9=(x+3)2 C. x2+xy=x(x+y) D. x2+y2=(x+y)2
﹣y) 4.(4分)(2013•成都一模)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件( )
∠1=∠2 ∠D=∠B A. A B=DC B. C. AB=AD D.
5.(4分)(2008•西宁)“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路,施工队每天比原计划多修5米,结果提前4天开通了列车.问原计划每天修多少米某原计划每天修x米,所列方程正确的是( ) A. B. C. D.
6.(4分)(2013•南充)不等式组的整数解是( )
A. ﹣ 1,0,1 B. 0,1 C. ﹣2,0,1 D. ﹣1,1 7.(4分)如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,AE=4,△ACD的周长为18,则△ABC的周长为( )
A. 1 8 B. 22 C. 24 D. 26 8.(4分)(2003•资阳)如图,已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A(2,4)、B(4,0),且P为AB的中点.若将线段AB向右平移3个单位后,与点P对应的点为Q,则点Q的坐标是( )
A. ( 3,2) B. (6,2) C. (6,4) D. (3,5) 9.(4分)(2013•梧州)如图,△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线,经旋转后为线段E′D′.已知BC=4,则E′D′=( )
A. 2
B. 3
C. 4
的值等于( ) C.
D. D. 1.5
10.(4分)已知x+y=12,xy=9,则 A.
B.
A. 3 :4 B. C. D. :2 :2 2: 12.(4分)在Rt△ABC中,AC=BC,点D为AB中点.∠GDH=90°,∠GDH绕点D旋转,DG,DH分别与边AC,BC交于E,F两点.下列结论:①AE+BF=AC,②AE2+BF2=EF2,③S四边形CEDF=S△ABC,④△DEF始终为等腰直角三角形.其中正确的是( )
①②③ ①④ ②③ A. ① ②③④ B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分) 13.(4分)一个n边形的每个外角都等于36°,则n= _________ . 14.(4分)若分式
的值为零,则m= _________ .
15.(4分)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,DF⊥AC于点F,E在AB边上,ED⊥BC于点D,∠AED=155°,则∠EDF等于 _________ .
17.(4分)(2013•南通二模)如图,函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A(m,3),则不等式2x<ax+5的解集为 _________ .
18.(4分)(2006•温州)如图,在直线m上摆放着三个正三角形:△ABC、△HFG、△DCE,已知BC=CE,F、G分别是BC、CE的中点,FM∥AC,GN∥DC.设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S,S3,若S1+S3=10,则S= _________ .
三、解答题(19题8分,20题10分,共18分) 19.(8分)分解因式: (1)2(m﹣n)2+m(n﹣m); (2)(2x+y)2﹣(x+2y)2. 20.(10分)
四、解答题(每小题10分,共40分) 21.(10分)计算
,其中
.
并将解集在数轴上表示出来.
22.(10分)某市计划修建一处公共服务设施,使它到三所公寓A、B、C的距离相等.
(1)若三所公寓A、B、C的位置如图所示,请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)若∠BAC=56°,则∠BPC= _________ °.
23.(10分)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.
(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系?证明你所得到的结论.
24.(10分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
25.(10分)(2013•绥化)为了迎接“十•一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表: 运动鞋 甲 乙 价格
进价(元/双) m m﹣20 售价(元/双) 240 160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. (1)求m的值;
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价﹣进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货? 26.(10分)(2013•沈阳模拟)在▱ABCD中,∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC.
(1)如图1,若∠ADC=90°,G是EF的中点,连接AG、CG. ①求证:BE=BF.
②请判断△AGC的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠ADC=60°,将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那么△AGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)
参与试题解析
一、选择题(每小题4分,共48分) 1.(4分)(2013•郴州)下列图案中,不是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.
考点:中心对称图形. 分析:根据中心对称图形的概念求解. 解答:解:A、是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,故本选项正确; C、是中心对称图形,故本选项错误; D、是中心对称图形,故本选项错误; 故选B. 点评:本题考查了中心对称图形的知识,解题的关键是掌握中心对称图形的概念.中心对称
图形是要寻找对称中心,旋转180度后重合. 2.(4分)(2013•德宏州)如果a<0,则下列式子错误的是( ) A. 5 +a>3+a B. 5﹣a>3﹣a C. 5a>3a D.
考点:不等式的性质. 分析:根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可. 解答:解:A、∵5>3,∴5+a>3+a,故本选项正确;
B、∵5>3,∴5﹣a>3﹣a,故本选项正确; C、∵5>3,a<0,∴5a<3a,故本选项错误;
D、∵5>3,∴<,∵a<0,∴>,故本选项正确.
故选C. 点评:本题考查的是不等式的基本性质, 熟知不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,
不等号的方向改变是解答此题的关键. 3.(4分)(2009•眉山)下列因式分解错误的是( ) A. x 2﹣y2=(x+y)(xB. x2+6x+9=(x+3)2 C. x2+xy=x(x+y) D. x2+y2=(x+y)2
﹣y)
考点:因式分解的意义. 分析:根据公式特点判断,然后利用排除法求解. 解答:解:A、是平方差公式,正确;
B、是完全平方公式,正确; C、是提公因式法,正确;
D、两平方项同号,因而不能分解,错误; 故选D. 点评:本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解,需熟练掌握.
4.(4分)(2013•成都一模)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件( )
∠1=∠2 ∠D=∠B A. A B=DC B. C. AB=AD D.
考点:平行四边形的判定;平行线的判定与性质;三角形内角和定理;等腰梯形的性质. 分析:根据等腰梯形的定义判断A;根据平行线的性质可以判断B;根据平行四边形的判定
可判断C;根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA,推出AB∥CD即可. 解答:解:A、符合条件AD∥BC,AB=DC,可能是等腰梯形,故本选项错误;
B、根据∠1=∠2,推出AD∥BC,不能推出平行四边形,故本选项错误; C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形,故本选项错误; D、∵D∥BC, ∴∠1=∠2, ∵∠B=∠D,
∴∠BAC=∠DCA, ∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确. 故选D. 点评:本题主要考查对平行四边形的判定,等腰梯形的性质,三角形的内角和定理,平行线
的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用性质进行推理是解此题的关键. 5.(4分)(2008•西宁)“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路,施工队每天比原计划多修5米,结果提前4天开通了列车.问原计划每天修多少米某原计划每天修x米,所列方程正确的是( ) A. B. C. D.
考点:由实际问题抽象出分式方程. 专题:工程问题. 分析:关键描述语为:提前4天开通了列车;等量关系为:用计划用的时间﹣实际用的时间
=4. 解答:
解:题中原计划修天,实际修了天,
可列得方程﹣=4,
故选B 点评:本题考查了用方程的思想来求解实际生活中的未知量,找到关键描述语,找到等量关
系是解决问题的关键.
6.(4分)(2013•南充)不等式组
的整数解是( )
A. ﹣ 1,0,1 B. 0,1 C. ﹣2,0,1 D. ﹣1,1
考点:一元一次不等式组的整数解. 分析:首先解不等式组,再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可. 解答:
解:,
由不等式①,得x>﹣2, 由不等式②,得x≤1.5,
所以不等组的解集为﹣2<x≤1.5, 因而不等式组的整数解是﹣1,0,1. 故选A. 点评:此题考查的是一元一次不等式组的整数解, 正确解出不等式组的解集是解决本题的关
键.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了. 7.(4分)如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,AE=4,△ACD的周长为18,则△ABC的周长为( )
A. 1 8 B. 22 C. 24 D. 26
考点:线段垂直平分线的性质. 分析:根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8,AD=BD,求出△ABC的周长为:
AB+AD+DC+AC,求出AD+DC+AC=18,即可求出答案. 解答:解:∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,
∴AB=2AE=8,AD=BD, ∵△ACD的周长为18, ∴AD+DC+AC=18, ∴△ABC的周长为: AB+BC+AC =8+BD+DC+AC =8+AD+DC+AC =8+18 =26, 故选D. 点评:本题考查了线段垂直平分线性质,注意:线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等. 8.(4分)(2003•资阳)如图,已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A(2,4)、B(4,0),且P为AB的中点.若将线段AB向右平移3个单位后,与点P对应的点为Q,则点Q的坐标是( )
A. ( 3,2) B. (6,2) C. (6,4) D. (3,5)
考点:坐标与图形变化-平移. 专题:压轴题. 分析:直接利用平移中点的变化规律求解即可.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左
移减;纵坐标上移加,下移减. 解答:解:根据中点坐标的求法可知点PD坐标为(3,2) ,因为左右平移点的纵坐标不变,
由题意向右平移3个单位,则各点的横坐标加3,所以点Q的坐标是(6,2).故选B. 点评:本题考查图形的平移变换,关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变,而上下平移时点
的横坐标不变,平移变换是中考的常考点. 9.(4分)(2013•梧州)如图,△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线,经旋转后为线段E′D′.已知BC=4,则E′D′=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1.5
考点:旋转的性质;三角形中位线定理. 分析:先根据图形旋转不变性的性质求出B′C′的长,再根据三角形中位线定理即可得出结
论. 解答:解:∵△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到△A′B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′, ∴B′C′=BC=4,
∵D′E′是△A′B′C′的中位线,
∴D′E′=B′C′=×4=2.
故选A. 点评:本题考查的是图形旋转的性质,熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键.
10.(4分)已知x+y=12,xy=9,则 A.
B.
的值等于( ) C.
D.
考点:分式的化简求值. 专题:计算题.
分析:把所求式子的分子配方变为x+y与xy的关系式,分母提取xy也变为xy与x+y的形
式,然后把已知的x+y与xy的值代入即可求出值. 解答:解:∵x+y=12,xy=9,
∴
=
=
==
.
故选A 点评:此题考查了分式的化简求值,利用了整体代入的思想.其中灵活运用完全平方公式及
提取公因式的方法把所求式子化为关于x+y与xy的式子是解本题的关键. 11.(4分)(2013•无锡)如图,平行四边形ABCD中,AB:BC=3:2,∠DAB=60°,E在AB上,且AE:EB=1:2,F是BC的中点,过D分别作DP⊥AF于P,DQ⊥CE于Q,则DP:DQ等于( )
A. 3 :4 B. C. D. :2 :2 2:
考点:平行四边形的性质;三角形的面积;勾股定理. 专题:压轴题. 分析:连接DE、DF,过F作FN⊥AB于N,过C作CM⊥AB于M,根据三角形的面积和
平行四边形的面积得出S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD,求出AF×DP=CE×DQ,设AB=3a,BC=2a,则BF=a,BE=2a,BN=a,BM=a,FN=
a,CM=
a,求出AF=
a,
CE=2a,代入求出即可. 解答:解:连接DE、DF,过F作FN⊥AB于N,过C作CM⊥AB于M,
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得:S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD, 即AF×DP=CE×DQ, ∴AF×DP=CE×DQ,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,
∵∠DAB=60°,
∴∠CBN=∠DAB=60°, ∴∠BFN=∠MCB=30°, ∵AB:BC=3:2, ∴设AB=3a,BC=2a,
∵AE:EB=1:2,F是BC的中点, ∴BF=a,BE=2a, BN=a,BM=a, 由勾股定理得:FN=AF=CE=
∴a•DP=2a•DQ ∴DP:DQ=2:. 故选D.
=2a,CM=
a, =a,
a,
点评:本题考查了平行四边形面积,勾股定理,三角形的面积,含30度角的直角三角形等
知识点的应用,关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值. 12.(4分)在Rt△ABC中,AC=BC,点D为AB中点.∠GDH=90°,∠GDH绕点D旋转,DG,DH分别与边AC,BC交于E,F两点.下列结论:①AE+BF=AC,②AE2+BF2=EF2,③S四边形CEDF=S△ABC,④△DEF始终为等腰直角三角形.其中正确的是( )
①④ ②③ A. ① ②③④ C. D.
考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形. 分析:延长FD到M使MD=DF, 连结AM、EM、CD,根据等腰直角三角形的性质得CD=BD,
∠B=∠DCA=45°,CD⊥AB,再根据等角的余角相等得∠CDE=∠BDF,则可根据“AAS”判断△CDE≌△BDF,所以CE=BF,DE=DF,易得AE+BF=AC,△△DEF等
①②③ B.
腰直角三角形;再由△CDE≌△BDF得S△CDE=S△BDF,于是S四边形
CEDF=S△CDB=
S△ABC;然后根据“SAS”判断△DAM≌△DBF,得到AM=BF,
∠DAM=∠B=45°,则△AME为直角三角形,所以AE2+AM2=EM2,即AE2+BF2=EM2,
接着由ED垂直平分MF得到EM=EF,所以AE2+BF2=EF2. 解答:解:延长FD到M使MD=DF,连结AM、EM、CD,如图,
∵AC=BC,点D为AB中点.∠GDH=90°, ∴CD=BD,∠B=∠DCA=45°,CD⊥AB, ∵∠GDE=90°,即∠CDE+∠CDF=90°, 而∠CDF+∠BDF=90°, ∴∠CDE=∠BDF, 在△CDE和△BDF中,
,
∴△CDE≌△BDF(AAS), ∴CE=BF,DE=DF,
∴AE+BF=AE+CE=AC,所以①正确; ∵∠EDF=90°,
∴△DEF始终为等腰直角三角形,所以④正确; ∵△CDE≌△BDF, ∴S△CDE=S△BDF,
∴S四边形CEDF=S△CDB=S△ABC,所以③正确; 在△DAM和△DBF中,
,
∴△DAM≌△DBF(SAS), ∴AM=BF,∠DAM=∠B=45°, ∴∠EAM=45°+45°=90°, ∴AE2+AM2=EM2, ∴AE2+BF2=EM2, ∵ED垂直平分MF, ∴EM=EF,
∴AE2+BF2=EF2,所以②正确. 故选A.
点评:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理.
二、填空题(每小题4分,共24分) 13.(4分)一个n边形的每个外角都等于36°,则n= 10 .
考点:多边形内角与外角. 分析:正n边形有n个外角,外角和为360°,那么边数n=360°÷一个外角的度数. 解答:解:n=360°÷36°=10. 点评:用到的知识点为:正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数.
14.(4分)若分式的值为零,则m= ﹣2 .
考点:分式的值为零的条件. 专题:计算题. 分析:根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值. 解答:解:根据题意,得
m+2=0,且m﹣2≠0、m+3≠0; 解得m=﹣2; 故答案是:﹣2. 点评:本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件: (1)分子
为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可. 15.(4分)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,DF⊥AC于点F,E在AB边上,ED⊥BC于点D,∠AED=155°,则∠EDF等于 65° .
考点:等腰三角形的性质. 分析:由于∠EDF、∠C同为∠EDC的余角,因此它们相等,欲求∠EDF,只需求得∠C或
∠B的度数即可,已知了∠AED的度数,可直接利用三角形的外角性质来求得∠B的度数,由此得解. 解答:解:∵∠B=∠AED﹣∠BDE=155°﹣90°=65°,
又∵AB=AC, ∴∠C=∠B=65°,
∵DF⊥AC,ED⊥BC, ∴∠EDF=∠C=65°, 故答案为:65°. 点评:综合考查了三角形的外角性质和等腰三角形的性质.注意:等角的余角相等,根据这
一性质是发现角相等的一种常用方法. 16.(4分)(2012•哈尔滨)如图,平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),点B′恰好落在BC边上,则∠C= 105 度.
考点:旋转的性质;平行四边形的性质. 专题:压轴题. 分析:根据旋转的性质得出AB=AB′,∠BAB′=30°,进而得出∠B的度数,再利用平行四边
形的性质得出∠C的度数. 解答:解:∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′
与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点), ∴AB=AB′,∠BAB′=30°,
∴∠B=∠AB′B=(180°﹣30°)÷2=75°, ∴∠C=180°﹣75°=105°. 故答案为:105. 点评:此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质,根据已知得出∠B=∠AB′B=75°
是解题关键. 17.(4分)(2013•南通二模)如图,函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A(m,3),则不
等式2x<ax+5的解集为 x< .
考点:一次函数与一元一次不等式. 专题:探究型. 分析:先把点A(m,3)代入函数y=2x求出m的值,再根据函数图象即可直接得出结论. 解答:解:∵点A(m,3)在函数y=2x的图象上,
∴3=2m,解得m=, ∴A(,3),
由函数图象可知,当x<时,函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方, ∴不等式2x<ax+5的解集为:x<. 故答案为:x<.
点评:本题考查的是一次函数与一元一次不等式, 能利用数形结合求出不等式的解集是解答
此题的关键.
18.(4分)(2006•温州)如图,在直线m上摆放着三个正三角形:△ABC、△HFG、△DCE,已知BC=CE,F、G分别是BC、CE的中点,FM∥AC,GN∥DC.设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S,S3,若S1+S3=10,则S= 4 .
考点:平行四边形的性质;等边三角形的性质. 专题:压轴题;规律型. 分析: 根据题意,可以证明S与S1两个平行四边形的高相等,长是S1的2倍,S3与S的长
相等,高是S3的一半,这样就可以把S1和S3用S来表示,从而计算出S的值. 解答:解:根据正三角形的性质,∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°
∴AB∥HF∥DC∥GN,
设AC与FH交于P,CD与HG交于Q, ∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形, ∵F、G分别是BC、CE的中点
∴BF=MF=AC=BC,CP=PF=AB=BC ∴CP=MF,CQ=BC,QG=GC=CQ=AB, ∴S1=S,S3=2S, ∵S1+S3=10 ∴
S+2S=10
∴S=4.
故答案为4.
点评:此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法, 平行四边形的面积等于
平行四边形的边长与该边上的高的积.即S=a•h.其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边与其对边的距离,即对应的高.
三、解答题(19题8分,20题10分,共18分) 19.(8分)分解因式:
(1)2(m﹣n)2+m(n﹣m); (2)(2x+y)2﹣(x+2y)2.
考点:因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法. 专题:计算题. 分析: 1)先变形得到原式=2(m﹣n)2﹣m(m﹣n)(,然后利用提公因式法分解因式;
(2)利用平方差分解因式. 解答: 解:(1)原式=2(m﹣n)2﹣m(m﹣n)
=(m﹣n)(2m﹣2n﹣m) =(m﹣n)(m﹣2n); (2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y﹣x﹣2y) =3(x+y)(x﹣y). 点评:本题考查了因式分解﹣运用公式法:如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分
解因式,这种方法叫公式法;平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;也考查了提公因式法分解因式.
20.(10分)并将解集在数轴上表示出来.
考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 分析:求出不等式的解集,根据不等式的解集找出不等式组的解集即可. 解答:解:∵解不等式①得:x≤0,
解不等式②得:x>﹣5,
∴不等式组的解集为:﹣5<x≤0,
在数轴上表示不等式组的解集为:.
点评:本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式组的解集的应用,关键是求出
不等式组的解集.
四、解答题(每小题10分,共40分) 21.(10分)计算
,其中
.
考点:分式的化简求值. 专题:探究型. 分析:先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入原式进行计算即可. 解答:
解:原式=÷
==
×,
当x=2+时,原式===.
点评:本题考查分式的化简求值,在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用. 22.(10分)某市计划修建一处公共服务设施,使它到三所公寓A、B、C的距离相等.
(1)若三所公寓A、B、C的位置如图所示,请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)若∠BAC=56°,则∠BPC= 112 °.
考点:作图—应用与设计作图. 分析:(1)到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上,所以应作出任意两条
线段的垂直平分线,它们的交点即为所求;
(2)连接点P和各顶点,以及AC.根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求解. 解答:解: (1)如图:
.
(2)连接点P和各顶点,延长AP到D交BC于D,
∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA, 同理∠PAC=∠PCA,
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=56°,
∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°,
∵∠BPD=∠PAB+∠PBA,∠CPD=∠PAC+∠PCA,
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°. 故答案为:112. 点评:此题考查应用与设计作图.本题用到的知识点为:到线段两个端点距离相等的点应在
线段的垂直平分线上;线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.等边对等角. 23.(10分)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC. (1)求证:四边形BDEF是平行四边形;
(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系?证明你所得到的结论.
考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质. 分析:(1)证明△AGE≌△ACE,根据全等三角形的性质可得到GE=EC,再利用三角形的
中位线定理证明DE∥AB,再加上条件EF∥BC可证出结论;
(2)先证明BF=DE=BG,再证明AG=AC,可得到BF=(AB﹣AG)=(AB﹣AC). 解答:(1)证明:延长CE交AB于点G,
∵AE⊥CE,
∴∠AEG=∠AEC=90°,
又∵∠GAE=∠CAE,AE=AE, ∴△AGE≌△ACE. ∴GE=EC. ∵BD=CD, ∴DE∥AB. ∵EF∥BC,
∴四边形BDEF是平行四边形.
(2)解:BF=(AB﹣AC).理由如下: ∵四边形BDEF是平行四边形, ∴BF=DE.
∵D、E分别是BC、GC的中点, ∴BF=DE=BG. ∵△AGE≌△ACE, ∴AG=AC,
∴BF=(AB﹣AG)=(AB﹣AC).
点评:此题主要考查了平行四边形的判定与性质,三角形中位线定理,题目综合性较强,证
明GE=EC,再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键. 24.(10分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
考点:等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质. 专题:几何综合题. 分析:(1)欲求证AD⊥CF,先证明∠CAG+∠ACG=90°,需证明∠CAG=∠BCF,利用三
角形全等,易证.
(2)要判断△ACF的形状,看其边有无关系.根据(1)的推导,易证CF=AF,从而判断其形状. 解答:(1)证明:在等腰直角三角形ABC中,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=∠CAB=45°. 又∵DE⊥AB, ∴∠DEB=90°. ∴∠BDE=45°. 又∵BF∥AC, ∴∠CBF=90°.
∴∠BFD=45°=∠BDE. ∴BF=DB.(2分) 又∵D为BC的中点, ∴CD=DB. 即BF=CD.
在△CBF和△ACD中,,
∴△CBF≌△ACD(SAS). ∴∠BCF=∠CAD.(4分) 又∵∠BCF+∠GCA=90°, ∴∠CAD+∠GCA=90°. 即AD⊥CF.(6分)
(2)△ACF是等腰三角形,理由为: 连接AF,如图所示,
由(1)知:CF=AD,△DBF是等腰直角三角形,且BE是∠DBF的平分线, ∴BE垂直平分DF, ∴AF=AD,(8分) ∵CF=AD, ∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形.(10分)
点评:此题难度中等,考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定. 25.(10分)(2013•绥化)为了迎接“十•一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表: 运动鞋 甲 乙 价格
进价(元/双) m m﹣20 售价(元/双) 240 160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. (1)求m的值;
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价﹣进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
考点:一次函数的应用;分式方程的应用;一元一次不等式组的应用. 专题:压轴题. 分析:(1)用总价除以单价表示出购进鞋的数量,根据两种鞋的数量相等列出方程求解即
可;
(2)设购进甲种运动鞋x双,表示出乙种运动鞋(200﹣x)双,然后根据总利润列出一元一次不等式,求出不等式组的解集后,再根据鞋的双数是正整数解答;
(3)设总利润为W,根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理,然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可. 解答:
解:(1)依题意得,=,
整理得,3000(m﹣20)=2400m, 解得m=100,
经检验,m=100是原分式方程的解, 所以,m=100;
(2)设购进甲种运动鞋x双,则乙种运动鞋(200﹣x)双, 根据题意得,
解不等式①得,x≥95, 解不等式②得,x≤105,
所以,不等式组的解集是95≤x≤105, ∵x是正整数,105﹣95+1=11, ∴共有11种方案;
,
(3)设总利润为W,则W=(140﹣a)x+80(200﹣x)=(60﹣a)x+16000(95≤x≤105), ①当50<a<60时,60﹣a>0,W随x的增大而增大, 所以,当x=105时,W有最大值,
即此时应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双; ②当a=60时,60﹣a=0,W=16000,(2)中所有方案获利都一样; ③当60<a<70时,60﹣a<0,W随x的增大而减小, 所以,当x=95时,W有最大值,
即此时应购进甲种运动鞋95双,购进乙种运动鞋105双. 点评:本题考查了一次函数的应用,分式方程的应用,一元一次不等式组的应用,解决问题
的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系,(3)要根据一次项系数的情况分情况讨论. 26.(10分)(2013•沈阳模拟)在▱ABCD中,∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC.
(1)如图1,若∠ADC=90°,G是EF的中点,连接AG、CG. ①求证:BE=BF.
②请判断△AGC的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠ADC=60°,将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那么△AGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)
考点:平行四边形的性质; 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定;等腰直角三角形. 专题:压轴题. 分析:(1)①先判定四边形ABCD是矩形,再根据矩形的性质可得∠ABC=90°,AB∥DC,
AD∥BC,然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,再根据DF是∠ADC的平分线,利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC,从而得到∠F=∠BEF,然后根据等角对等边的性质即可证明;
②连接BG,根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°,再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG,∠F=∠CBG=45°,然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等,根据全等三角形对应边相等可得AG=CG,再求出∠GAC+∠ACG=90°,然后求出∠AGC=90°,然后根据等腰直角三角形的定义判断即可;
(2)连接BG,根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形,再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD,平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°,然后求出∠CBG=60°,从而得到∠AFG=∠CBG,然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等,根据全等三角形对应边相等可得AG=CG,全等三角形对应角相等可得
∠FAG=∠BCG,然后求出∠GAC+∠ACG=120°,再求出∠AGC=60°,然后根据等边三角形的判定方法判定即可. 解答:(1)证明:①∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AB∥DC,AD∥BC, ∴∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,
∵DF是∠ADC的平分线, ∴∠ADF=∠FDC, ∴∠F=∠BEF, ∴BF=BE;
②△AGC是等腰直角三角形. 理由如下:连接BG,
由①知,BF=BE,∠FBC=90°, ∴∠F=∠BEF=45°, ∵G是EF的中点,
∴BG=FG,∠F=∠CBG=45°, ∵∠FAD=90°, ∴AF=AD, 又∵AD=BC, ∴AF=BC,
在△AFG和△CBG中,
,
∴△AFG≌△CBG(SAS), ∴AG=CG,
∴∠FAG=∠BCG,
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°, ∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°, 即∠GAC+∠ACG=90°, ∴∠AGC=90°,
∴△AGC是等腰直角三角形;
(2)连接BG,∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG, ∴△BFG是等边三角形, ∴FG=BG,∠FBG=60°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°, ∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°, ∴∠AFG=∠CBG,
∵DF是∠ADC的平分线, ∴∠ADF=∠FDC, ∵AB∥DC,
∴∠AFD=∠FDC, ∴∠AFD=∠ADF, ∴AF=AD,
在△AFG和△CBG中,
,
∴△AFG≌△CBG(SAS), ∴AG=CG,∠FAG=∠BCG, 在△ABC中,
∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°,
∴∠AGC=180°﹣(∠GAC+∠ACG)=180°﹣120°=60°,
∴△AGC是等边三角形.
点评:本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰
直角三角形的性质,难度较大,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
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