(北师大版)2021-2021学年八年级数学下册期末模拟检测试卷及答案(2)

八

一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）（2013•郴州）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．

2．（4分）（2013•德宏州）如果a＜0，则下列式子错误的是（ ） A． 5 +a＞3+a B． 5﹣a＞3﹣a C． 5a＞3a D．

3．（4分）（2009•眉山）下列因式分解错误的是（ ） A． x 2﹣y2=（x+y）（xB． x2+6x+9=（x+3）2 C． x2+xy=x（x+y） D． x2+y2=（x+y）2

﹣y） 4．（4分）（2013•成都一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（ ）

∠1=∠2 ∠D=∠B A． A B=DC B． C． AB=AD D．

5．（4分）（2008•西宁）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米某原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ） A． B． C． D．

6．（4分）（2013•南充）不等式组的整数解是（ ）

A． ﹣ 1，0，1 B． 0，1 C． ﹣2，0，1 D． ﹣1，1 7．（4分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）

A． 1 8 B． 22 C． 24 D． 26 8．（4分）（2003•资阳）如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（ ）

A． （ 3，2） B． （6，2） C． （6，4） D． （3，5） 9．（4分）（2013•梧州）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（ ）

A． 2

B． 3

C． 4

的值等于（ ） C．

D． D． 1.5

10．（4分）已知x+y=12，xy=9，则 A．

B．

A． 3 ：4 B． C． D． ：2 ：2 2： 12．（4分）在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）

①②③ ①④ ②③ A． ① ②③④ B． C． D．

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）一个n边形的每个外角都等于36°，则n= _________ ． 14．（4分）若分式

的值为零，则m= _________ ．

15．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，∠AED=155°，则∠EDF等于 _________ ．

17．（4分）（2013•南通二模）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为 _________ ．

18．（4分）（2006•温州）如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S= _________ ．

三、解答题（19题8分，20题10分，共18分） 19．（8分）分解因式： （1）2（m﹣n）2+m（n﹣m）； （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2． 20．（10分）

四、解答题（每小题10分，共40分） 21．（10分）计算

，其中

．

并将解集在数轴上表示出来．

22．（10分）某市计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．

（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠BAC=56°，则∠BPC= _________ °．

23．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．

（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

24．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

25．（10分）（2013•绥化）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 甲 乙 价格

进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 240 160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 26．（10分）（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG． ①求证：BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

参与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）（2013•郴州）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．

考点：中心对称图形． 分析：根据中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选B． 点评：本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称

图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合． 2．（4分）（2013•德宏州）如果a＜0，则下列式子错误的是（ ） A． 5 +a＞3+a B． 5﹣a＞3﹣a C． 5a＞3a D．

考点：不等式的性质． 分析：根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 解答：解：A、∵5＞3，∴5+a＞3+a，故本选项正确；

B、∵5＞3，∴5﹣a＞3﹣a，故本选项正确； C、∵5＞3，a＜0，∴5a＜3a，故本选项错误；

D、∵5＞3，∴＜，∵a＜0，∴＞，故本选项正确．

故选C． 点评：本题考查的是不等式的基本性质， 熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，

不等号的方向改变是解答此题的关键． 3．（4分）（2009•眉山）下列因式分解错误的是（ ） A． x 2﹣y2=（x+y）（xB． x2+6x+9=（x+3）2 C． x2+xy=x（x+y） D． x2+y2=（x+y）2

﹣y）

考点：因式分解的意义． 分析：根据公式特点判断，然后利用排除法求解． 解答：解：A、是平方差公式，正确；

B、是完全平方公式，正确； C、是提公因式法，正确；

D、两平方项同号，因而不能分解，错误； 故选D． 点评：本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．

4．（4分）（2013•成都一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（ ）

∠1=∠2 ∠D=∠B A． A B=DC B． C． AB=AD D．

考点：平行四边形的判定；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰梯形的性质． 分析：根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定

可判断C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出AB∥CD即可． 解答：解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故本选项错误；

B、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故本选项错误； C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故本选项错误； D、∵D∥BC， ∴∠1=∠2， ∵∠B=∠D，

∴∠BAC=∠DCA， ∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确． 故选D． 点评：本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线

的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 5．（4分）（2008•西宁）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米某原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ） A． B． C． D．

考点：由实际问题抽象出分式方程． 专题：工程问题． 分析：关键描述语为：提前4天开通了列车；等量关系为：用计划用的时间﹣实际用的时间

=4． 解答：

解：题中原计划修天，实际修了天，

可列得方程﹣=4，

故选B 点评：本题考查了用方程的思想来求解实际生活中的未知量，找到关键描述语，找到等量关

系是解决问题的关键．

6．（4分）（2013•南充）不等式组

的整数解是（ ）

A． ﹣ 1，0，1 B． 0，1 C． ﹣2，0，1 D． ﹣1，1

考点：一元一次不等式组的整数解． 分析：首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可． 解答：

解：，

由不等式①，得x＞﹣2， 由不等式②，得x≤1.5，

所以不等组的解集为﹣2＜x≤1.5， 因而不等式组的整数解是﹣1，0，1． 故选A． 点评：此题考查的是一元一次不等式组的整数解， 正确解出不等式组的解集是解决本题的关

键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 7．（4分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）

A． 1 8 B． 22 C． 24 D． 26

考点：线段垂直平分线的性质． 分析：根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：

AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案． 解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，

∴AB=2AE=8，AD=BD， ∵△ACD的周长为18， ∴AD+DC+AC=18， ∴△ABC的周长为： AB+BC+AC =8+BD+DC+AC =8+AD+DC+AC =8+18 =26， 故选D． 点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等． 8．（4分）（2003•资阳）如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（ ）

A． （ 3，2） B． （6，2） C． （6，4） D． （3，5）

考点：坐标与图形变化-平移． 专题：压轴题． 分析：直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左

移减；纵坐标上移加，下移减． 解答：解：根据中点坐标的求法可知点PD坐标为（3，2） ，因为左右平移点的纵坐标不变，

由题意向右平移3个单位，则各点的横坐标加3，所以点Q的坐标是（6，2）．故选B． 点评：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点

的横坐标不变，平移变换是中考的常考点． 9．（4分）（2013•梧州）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（ ）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 1.5

考点：旋转的性质；三角形中位线定理． 分析：先根据图形旋转不变性的性质求出B′C′的长，再根据三角形中位线定理即可得出结

论． 解答：解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′， ∴B′C′=BC=4，

∵D′E′是△A′B′C′的中位线，

∴D′E′=B′C′=×4=2．

故选A． 点评：本题考查的是图形旋转的性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．

10．（4分）已知x+y=12，xy=9，则 A．

B．

的值等于（ ） C．

D．

考点：分式的化简求值． 专题：计算题．

分析：把所求式子的分子配方变为x+y与xy的关系式，分母提取xy也变为xy与x+y的形

式，然后把已知的x+y与xy的值代入即可求出值． 解答：解：∵x+y=12，xy=9，

∴

=

=

==

．

故选A 点评：此题考查了分式的化简求值，利用了整体代入的思想．其中灵活运用完全平方公式及

提取公因式的方法把所求式子化为关于x+y与xy的式子是解本题的关键． 11．（4分）（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）

A． 3 ：4 B． C． D． ：2 ：2 2：

考点：平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理． 专题：压轴题． 分析：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和

平行四边形的面积得出S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，FN=

a，CM=

a，求出AF=

a，

CE=2a，代入求出即可． 解答：解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，

∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD， 即AF×DP=CE×DQ， ∴AF×DP=CE×DQ，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∵∠DAB=60°，

∴∠CBN=∠DAB=60°， ∴∠BFN=∠MCB=30°， ∵AB：BC=3：2， ∴设AB=3a，BC=2a，

∵AE：EB=1：2，F是BC的中点， ∴BF=a，BE=2a， BN=a，BM=a， 由勾股定理得：FN=AF=CE=

∴a•DP=2a•DQ ∴DP：DQ=2：． 故选D．

=2a，CM=

a， =a，

a，

点评：本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等

知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值． 12．（4分）在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）

①④ ②③ A． ① ②③④ C． D．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 分析：延长FD到M使MD=DF， 连结AM、EM、CD，根据等腰直角三角形的性质得CD=BD，

∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，再根据等角的余角相等得∠CDE=∠BDF，则可根据“AAS”判断△CDE≌△BDF，所以CE=BF，DE=DF，易得AE+BF=AC，△△DEF等

①②③ B．

腰直角三角形；再由△CDE≌△BDF得S△CDE=S△BDF，于是S四边形

CEDF=S△CDB=

S△ABC；然后根据“SAS”判断△DAM≌△DBF，得到AM=BF，

∠DAM=∠B=45°，则△AME为直角三角形，所以AE2+AM2=EM2，即AE2+BF2=EM2，

接着由ED垂直平分MF得到EM=EF，所以AE2+BF2=EF2． 解答：解：延长FD到M使MD=DF，连结AM、EM、CD，如图，

∵AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°， ∴CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB， ∵∠GDE=90°，即∠CDE+∠CDF=90°， 而∠CDF+∠BDF=90°， ∴∠CDE=∠BDF， 在△CDE和△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF（AAS）， ∴CE=BF，DE=DF，

∴AE+BF=AE+CE=AC，所以①正确； ∵∠EDF=90°，

∴△DEF始终为等腰直角三角形，所以④正确； ∵△CDE≌△BDF， ∴S△CDE=S△BDF，

∴S四边形CEDF=S△CDB=S△ABC，所以③正确； 在△DAM和△DBF中，

，

∴△DAM≌△DBF（SAS）， ∴AM=BF，∠DAM=∠B=45°， ∴∠EAM=45°+45°=90°， ∴AE2+AM2=EM2， ∴AE2+BF2=EM2， ∵ED垂直平分MF， ∴EM=EF，

∴AE2+BF2=EF2，所以②正确． 故选A．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理．

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）一个n边形的每个外角都等于36°，则n= 10 ．

考点：多边形内角与外角． 分析：正n边形有n个外角，外角和为360°，那么边数n=360°÷一个外角的度数． 解答：解：n=360°÷36°=10． 点评：用到的知识点为：正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．

14．（4分）若分式的值为零，则m= ﹣2 ．

考点：分式的值为零的条件． 专题：计算题． 分析：根据分式的值为零的条件（分子为零、分母不为零）可以求出m的值． 解答：解：根据题意，得

m+2=0，且m﹣2≠0、m+3≠0； 解得m=﹣2； 故答案是：﹣2． 点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件： （1）分子

为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 15．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，∠AED=155°，则∠EDF等于 65° ．

考点：等腰三角形的性质． 分析：由于∠EDF、∠C同为∠EDC的余角，因此它们相等，欲求∠EDF，只需求得∠C或

∠B的度数即可，已知了∠AED的度数，可直接利用三角形的外角性质来求得∠B的度数，由此得解． 解答：解：∵∠B=∠AED﹣∠BDE=155°﹣90°=65°，

又∵AB=AC， ∴∠C=∠B=65°，

∵DF⊥AC，ED⊥BC， ∴∠EDF=∠C=65°， 故答案为：65°． 点评：综合考查了三角形的外角性质和等腰三角形的性质．注意：等角的余角相等，根据这

一性质是发现角相等的一种常用方法． 16．（4分）（2012•哈尔滨）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C= 105 度．

考点：旋转的性质；平行四边形的性质． 专题：压轴题． 分析：根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边

形的性质得出∠C的度数． 解答：解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′

与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点）， ∴AB=AB′，∠BAB′=30°，

∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）÷2=75°， ∴∠C=180°﹣75°=105°． 故答案为：105． 点评：此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°

是解题关键． 17．（4分）（2013•南通二模）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不

等式2x＜ax+5的解集为 x＜ ．

考点：一次函数与一元一次不等式． 专题：探究型． 分析：先把点A（m，3）代入函数y=2x求出m的值，再根据函数图象即可直接得出结论． 解答：解：∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，

∴3=2m，解得m=， ∴A（，3），

由函数图象可知，当x＜时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方， ∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜． 故答案为：x＜．

点评：本题考查的是一次函数与一元一次不等式， 能利用数形结合求出不等式的解集是解答

此题的关键．

18．（4分）（2006•温州）如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S= 4 ．

考点：平行四边形的性质；等边三角形的性质． 专题：压轴题；规律型． 分析： 根据题意，可以证明S与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S的长

相等，高是S3的一半，这样就可以把S1和S3用S来表示，从而计算出S的值． 解答：解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°

∴AB∥HF∥DC∥GN，

设AC与FH交于P，CD与HG交于Q， ∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形， ∵F、G分别是BC、CE的中点

∴BF=MF=AC=BC，CP=PF=AB=BC ∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB， ∴S1=S，S3=2S， ∵S1+S3=10 ∴

S+2S=10

∴S=4．

故答案为4．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法， 平行四边形的面积等于

平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．

三、解答题（19题8分，20题10分，共18分） 19．（8分）分解因式：

（1）2（m﹣n）2+m（n﹣m）； （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．

考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法． 专题：计算题． 分析： 1）先变形得到原式=2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）（，然后利用提公因式法分解因式；

（2）利用平方差分解因式． 解答： 解：（1）原式=2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）

=（m﹣n）（2m﹣2n﹣m） =（m﹣n）（m﹣2n）； （2）原式=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y） =3（x+y）（x﹣y）． 点评：本题考查了因式分解﹣运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分

解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；也考查了提公因式法分解因式．

20．（10分）并将解集在数轴上表示出来．

考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析：求出不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可． 解答：解：∵解不等式①得：x≤0，

解不等式②得：x＞﹣5，

∴不等式组的解集为：﹣5＜x≤0，

在数轴上表示不等式组的解集为：．

点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是求出

不等式组的解集．

四、解答题（每小题10分，共40分） 21．（10分）计算

，其中

．

考点：分式的化简求值． 专题：探究型． 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入原式进行计算即可． 解答：

解：原式=÷

==

×，

当x=2+时，原式===．

点评：本题考查分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用． 22．（10分）某市计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．

（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠BAC=56°，则∠BPC= 112 °．

考点：作图—应用与设计作图． 分析：（1）到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上，所以应作出任意两条

线段的垂直平分线，它们的交点即为所求；

（2）连接点P和各顶点，以及AC．根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求解． 解答：解： （1）如图：

．

（2）连接点P和各顶点，延长AP到D交BC于D，

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA， 同理∠PAC=∠PCA，

∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=56°，

∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°，

∵∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA，

∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°． 故答案为：112． 点评：此题考查应用与设计作图．本题用到的知识点为：到线段两个端点距离相等的点应在

线段的垂直平分线上；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．等边对等角． 23．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形；

（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 分析：（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的

中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；

（2）先证明BF=DE=BG，再证明AG=AC，可得到BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）． 解答：（1）证明：延长CE交AB于点G，

∵AE⊥CE，

∴∠AEG=∠AEC=90°，

又∵∠GAE=∠CAE，AE=AE， ∴△AGE≌△ACE． ∴GE=EC． ∵BD=CD， ∴DE∥AB． ∵EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形．

（2）解：BF=（AB﹣AC）．理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴BF=DE．

∵D、E分别是BC、GC的中点， ∴BF=DE=BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG=AC，

∴BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证

明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键． 24．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题：几何综合题． 分析：（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三

角形全等，易证．

（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF=AF，从而判断其形状． 解答：（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°． 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°． ∴∠BDE=45°． 又∵BF∥AC， ∴∠CBF=90°．

∴∠BFD=45°=∠BDE． ∴BF=DB．（2分） 又∵D为BC的中点， ∴CD=DB． 即BF=CD．

在△CBF和△ACD中，，

∴△CBF≌△ACD（SAS）． ∴∠BCF=∠CAD．（4分） 又∵∠BCF+∠GCA=90°， ∴∠CAD+∠GCA=90°． 即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由为： 连接AF，如图所示，

由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线， ∴BE垂直平分DF， ∴AF=AD，（8分） ∵CF=AD， ∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形．（10分）

点评：此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定． 25．（10分）（2013•绥化）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 甲 乙 价格

进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 240 160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用． 专题：压轴题． 分析：（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即

可；

（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；

（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 解答：

解：（1）依题意得，=，

整理得，3000（m﹣20）=2400m， 解得m=100，

经检验，m=100是原分式方程的解， 所以，m=100；

（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双， 根据题意得，

解不等式①得，x≥95， 解不等式②得，x≤105，

所以，不等式组的解集是95≤x≤105， ∵x是正整数，105﹣95+1=11， ∴共有11种方案；

，

（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105）， ①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大， 所以，当x=105时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样； ③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小， 所以，当x=95时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 点评：本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题

的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论． 26．（10分）（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG． ①求证：BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

考点：平行四边形的性质； 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形． 专题：压轴题． 分析：（1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，

AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；

②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；

（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得

∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可． 解答：（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC， ∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，

∵DF是∠ADC的平分线， ∴∠ADF=∠FDC， ∴∠F=∠BEF， ∴BF=BE；

②△AGC是等腰直角三角形． 理由如下：连接BG，

由①知，BF=BE，∠FBC=90°， ∴∠F=∠BEF=45°， ∵G是EF的中点，

∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°， ∵∠FAD=90°， ∴AF=AD， 又∵AD=BC， ∴AF=BC，

在△AFG和△CBG中，

，

∴△AFG≌△CBG（SAS）， ∴AG=CG，

∴∠FAG=∠BCG，

又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°， ∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°， 即∠GAC+∠ACG=90°， ∴∠AGC=90°，

∴△AGC是等腰直角三角形；

（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG， ∴△BFG是等边三角形， ∴FG=BG，∠FBG=60°，

又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°， ∴∠ABC=∠ADC=60°

∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠AFG=∠CBG，

∵DF是∠ADC的平分线， ∴∠ADF=∠FDC， ∵AB∥DC，

∴∠AFD=∠FDC， ∴∠AFD=∠ADF， ∴AF=AD，

在△AFG和△CBG中，

，

∴△AFG≌△CBG（SAS）， ∴AG=CG，∠FAG=∠BCG， 在△ABC中，

∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，

∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，

∴△AGC是等边三角形．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰

直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．