人教版八年级数学上册教案《完全平方公式》

《完全平方公式》

◆ 教材分析 完全平方公式是初中数学中的重要公式，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中都起作十分重要的作用。

完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，完全平方公式有两个公式，一个是两个数的和的平方，一个是两个数的差的平方，两者仅有一个“符号”不同。推导完全平方公式的思路与推导平方差公式的思路完全一致。根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到完全平方公式，再用语言把这两个公式表述出来。同时，教材由直观图形面积的不同计算方法引导学生观察、计算、发现完全平方公式，充分体现了转化思想、数形结合思想及从特殊到一般的数学方法等重要的数学思想方法。

本节内容中还涉及到添括号法则，添括号是与去括号相反的一个过程，有些整式的乘法需要先经过变形，然后再用公式，这时就体现了添括号的作用，同时，以后学习因式分解、分式运算及解方程等内容时添括号都有很重要的作用。

◆ 教学目标 【知识与能力目标】

1.了解完全平方公式的几何背景，掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算； 2.掌握添括号法则，并能利用添括号法对整式进行变形。

【过程与方法目标】

在推导完全平方公式的过程中，让学生知道从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的过程；同时，使学生通过几何图形的面积验证公式，感知数形结合的思想，了解公式的几何背景。

【情感态度价值观目标】

体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。

◆ 教学重难点 ① ◆ 【教学重点】

完全平方公式的推导和运用。 【教学难点】

灵活运用添括号法则对整式进行变形。

◆ 课前准备 ◆ 多媒体课件、教具等。

◆ 教学过程 一、导入新知

问题1 平方差公式是如何叙述的？请用平方差公式简便计算103×97的值。 符号语言：ababa2b2；

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=10000-9=9991。

问题2 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，

以种植不同的新品种（如图所示）。

⑴分别写出每块实验田的面积；

⑵用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？ 探究过程：

1、四块实验田的面积分别为：a2、ab、ab、b2； 2、两种形式表示实验田的总面积：

整体看：边长(a+b)的大正方形，S=(a+b)2； 部分看：四块面积的和，S=a2+ab+ab+b2 。

2根据面积相等，得出结论：aba2abb2。

二、探究新知

问题3 请同学们完成下面的问题： (1)(2x-3)2；(2)(x+y)2；(3)(m+2n)2；(4)(2x-4)2． 解：(1)(2x-3)2=4x2-12x+9； (2)(x+y)2=x2+2xy+y2； (3)(m+2n)2=m2+4mn+4n2； (4)(2x-4)2=4x2-16x+16。

追问：通过上面的运算，请仔细观察结果中的每一项，能发现它们有什么共同的特点吗？ (1)右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍。

(2)左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左边如果为“-”号，它们两个乘积的2倍就为“-”号，其余都为“+”号。

问题4 如果计算(a+b)2与(a-b)2的值，结果又是如何呢？ 得出结论：

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。

语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。 问题5 在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a−b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？

去括号法则，在去括号时：a+(b+c) = a+b+c，a−(b+c) = a−b−c。 反过来，就得到了添括号法则：a+b+c = a+(b+c)，a−b−c = a−(b+c)。

理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变。

总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确。

三、运用新知

例1 应用完全平方公式计算：

1(1)( 4m+n)2； (2)(y−)2 ； (3)(−a−b)2； (4)(b−a)2 。

2解：(1)( 4m+n)2 = 16m2+8mn+n2；

11(2) (y−)2 = y2−y+；

24(3) (−a−b)2 = a2+2ab+b2； (4) (b−a)2 = b2−2ba+a2。

例2 运用完全平方公式计算： (1)1022；(2)992。

解：(1)1022 = (100+2)2 = 10000+400+4 = 10404； (2)992 = (100−1)2 = 10000−200+1 = 9801。 例3 计算：(2a-3b-4)(2a+3b+4)。

分析：将项分组的一般规律是：把完全相同的项分为一组，符合相反、绝对值相等的项分为另一组。

解：原式=[2a-(3b+4)][2a+(3b+4)] =(2a)2-(3b+4)2 =4a2-(9b2+24b+16) =4a2-(9b2+24b+16) =4a2-9b2-24b-16 四、巩固新知 1．计算：

(1)(2xy+3)2；(2)(7ab+2)2；(3)(-2x-3)2；(4)(3-2x)2。 2．已知a+b=-2，ab=-15，求a2+b2的值。

答案：∵(a+b)2=a2+2ab+b2，变形后可有a2+b2=(a+b)2-2ab．把a+b=-2，ab=-15代入上式，则a2+b2=(-2)2-2×(-15)=34。

3．丁老师把一个正方形的边长增加了4cm得到的正方形的面积增加了cm2，求这个正方形的面积。

解：设这个正方形的边长为x厘米，根据题意，得（x+4）2=x2+。 x2+8x+16=x2+ 8x+16= x=6

答：这个正方形的面积为36cm2。

五、课堂小结

本节课，你学到了什么？

本节课我们主要学习了完全平方公式及添括号法则。 完全平方公式公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。 添括号法则：a+b+c = a+(b+c)，a−b−c = a−(b+c)。 运用平方差公式时，要注意以下几点：

1.将公式转化成数学模型，套用模型计算时，注意选择适合的模型； 2.公式中的字母a、b可以是任意代数式； 3.公式的结果有三项，不要漏项和写错符号。

◆ 教学反思 略。