解三角形常见题型

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

题型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1. 在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC ( ) A．2332 B． C． D．

3223【答案】D

2．（1）在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形；

（2）在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 3．（1）在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及A；

（2）在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC中，A3，BC＝3，则ABC的周长为（ ）

43sinBA．3 B．43sinB3

36C．6sinB3 D．6sinB3 36分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB线BD=5，求sinA的值．

分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE22466,cosB，AC边上的中36126AB，设BE＝x 23在ΔBDE中利用余弦定理可得：BDBEED2BEEDcosBED，

25x2826672x，解得x1，x（舍去） 3363故BC=2，从而AC2AB2BC22ABBCcosB2213028，即AC又sinB，

3632212703，sinA故 14sinA306在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。

答案：∴BA，且0A180，∴A30

000题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题)在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是

（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由2sinAcosBsinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．

a2c2b2sinCc解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝． 2ac2sinA2aa2c2b2c∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．

2ac2a评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．

2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C

解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B

a2tanA3.在△ABC中，若2，试判断△ABC的形状。

tanBb答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC中，cosAbcos，判断△ABC的形状。

答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。

题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC中，若A120，AB5，BC7，

则ABC的面积S＝_________ 2．在ABC中，sinAcosA2，AC2，AB3，求tanA的值和ABC的面2积。

答案：SABC11263ACABsinA23(26) 22443. （07浙江理18）已知△ABC的周长为21，且sinAsinB（I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为

2sinC．

1sinC，求角C的度数． 621，BCAC2AB，

解：（I）由题意及正弦定理，得ABBCAC两式相减，得AB1．

（II）由△ABC的面积

111BCACsinCsinC，得BCAC， 263AC2BC2AB2(ACBC)22ACBCAB21， 由余弦定理，得cosC2ACBC2ACBC2所以C60．

题型之四：三角形中求值问题

1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

c1222设a、b、c满足条件bcbca和3，求A和tanB的值．

b2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．

b2c2a21，因此，A60 解：由余弦定理cosA2bc2在

1csinCsin(120B)△

由已知条件，应用正弦定理3 A2bsinBsinBB

sin120cosBcos120sinB311CcotB,解得cotB2,从而tanB.

sinB222中

BC，

2．ABC的三个内角为A取得最大值，、B、C，求当A为何值时，cosA2cos∠2C并求出这个最大值。 =B+CπAB+CA

解析：由A+B+C=π，得= －，所以有cos =sin。

222221

－

B+CAAAA13

∠cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；

2222222

A－πA1B+C3

当sin = ，即A= 时, cosA+2cos取得最大值为。

22322∠

B=1

－∠B.

3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA22，（1）求3tan2BCA（2）若a2，S△ABC2，求b的值。 sin2的值；

22221，所以cosA＝， 33解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，sinA则

B＋CB＋CA2＋sin2Atan2＋sin2＝22cos2B＋C2

21－cos（B＋C）11＋cosA17＝＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA33sin2（2）因为SABC＝2，又S1122＝bcsinA＝bc•，则bc＝3。 ABC223将a＝2，cosA＝

13222，c＝代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中， 3b42得b－6b＋9＝0解得b＝3。

点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。 4．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b；

（Ⅱ）若sinCsin(BA)2sin2A，求△ABC的面积．

本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，abab4， 又因为△ABC的面积等于3，所以22． 31······················· 4分 absinC3，得ab4． ·

2a2b2ab4，联立方程组解得a2，b2． ·············································· 6分

ab4，（Ⅱ）由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，

即sinBcosA2sinAcosA， ········································································· 8分 当cosA0时，A4323，B，a，b，

3326当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，

a2b2ab4，2343联立方程组解得a，b．

33b2a，所以△ABC的面积S123absinC． ················· 12分 23题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等

方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题

1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边

C 选定A、B两点，望对岸标记物C，测得

∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。

分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、A D B ∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。 图1

解析：由正弦定理得

ACAB，∴AC=AB=120m，sinCBAsinACB11又∵SABCABACsinCABABCD，解得CD=60m。

22点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。

（二.）遇险问题

2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到北 达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，东 西 30° 15° A C B ∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得

南 BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足图2 为C，则SC=15sin30°=7.5。

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。

点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）

北 画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正

A 弦定理和余弦定理求解。

45° （三.）追击问题

B 3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°

15° C

图3

方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。

在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 设∠ABC=α，∠BAC=β。

∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理ACABBC2ABBCcos，

22212（4t－3）（32t+9）=0，解8120t2920t()，128t260t270，

239得t=，t=（舍）

43233∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。

4428t2根据正弦定理，得sinBCsinAC153253，又∵α=120°，∴β为锐角，2114β=arcsin

535372253，又＜＜，∴arcsin＜， 1414142144533－arcsin的方向用h可以追上乙船。

1444∴甲船沿南偏东

点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，

但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。

4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？

解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=107。 ∵

3sinACBsin120，∴sin∠ACB=，

720107北

∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援。

A 10 •C 20 B •