二次函数是中考必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，又可以与几何知识相结合，与几何相关的二次函数存在性问题更是重中之重，该类存在性问题主要有线段存在性、面积存在性、特殊三角形存在性、相似三角形存在性、特殊四边形存在性、角的存在性等问题，在这里将逐一进行讲解，希望能为同学们中考提供助力！ 二、 线段最值之线段和最小问题
如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点
（1） 在抛物线的对称轴上确定点P，使得PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标；
分析：根据题干条件，易求得点A（-1,0），B（3,0），C（0，-3）， 分析：根据题干条件，易求得点A（-1,0），B（3,0），C（0，-3），抛物线对称轴为直线x=1。点P是对称轴x=1上一动点，A、C是定点，典型的“将军饮马”问题，（“将军饮马”问题微课请看历史消息）解决该类型的思路是化同侧两点问题为异侧两点，结合“两点之间线段最短”解决问题，因此可连接BC与对称轴交点即满足PA+PC值最小，此时可求直线BC解析式，把x=1代入可得点P坐标。
解：连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC值最小
在y=x2-2x-3中，令y=0，则x2-2x-3=0， 解得x1=-1,x2=3,∴A（-1,0）B（3,0） 令x=0,则y=-3，∴点C（0，-3） 设BC解析式为y=kx+b， 则,可得3k+b=0,b=-3,∴k=1,b=-3 ∴直线BC解析式为：y=x-3 当x=1时，y=-2，∴点P（1，-2） 此时PA+PC=BC==3 练习：
如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上确定点P，使得△PAC的周长最小，并求出此时点P的坐标；
三、 线段最值之线段之差最大
如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点
（2）点Q是抛物线对称轴上一动点，当点Q坐标为多少时，|QA-QC|的值最大.
分析：根据题干条件，可得点A、B、C坐标依次为（-1,0），（3,0），（0，-3）。点Q为对称轴上一动点，A、C为定点，易知当Q、A、C三点不在同一直线上时，|QA-QC|＜AC；当Q、A、C三点在同一直线上时，|QA-QC|=AC，所以|QA-QC|≤AC，因此|QA-QC|的最大值即为线段AC长。此时，直线AC与对称轴x=1的交点即为所求点Q.
解：当Q、A、C三点不在同一直线上时，|QA-QC|＜AC； 当Q、A、C三点在同一直线上时，|QA-QC|=AC， ∴|QA-QC|≤AC，
做直线AC交对称轴x=1于点Q，此时|QA-QC|的值最大 设A、C解析式为y=kx+b，则 所以-k+b=0,b=-3 ∴k=-3,b=-3 ∴直线AC解析式为：y=-3x-3 当x=1时，y=-6 ∴点Q（1，-6） 练习：
如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点Q是抛物线对称轴上一动点，当点Q坐标为多少时，|QB-QC|的值最大。
四、 线段最值之线段值最大
如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点,
（3）连接BC，点M是线段BC上一动点，过点M作MN∥y轴，交抛物线于点N,求线段MN的最大值及点N坐标。
分析：该问题中线段MN始终与y轴平行，在函数问题中这类线段称为铅垂高，解决此类问题的办法是利用点M、N横坐标相等的特性，设一点横坐标，从而表示线段解析式，利用二次函数最值解决。 解：在y=x2-2x-3中，令y=0，则x2-2x-3=0， 解得x1=-1,x2=3,∴A（-1,0）B（3,0） 令x=0,则y=-3，∴点C（0，-3） 设BC解析式为y=kx+b， 则,可得3k+b=0,b=-3 ∴直线BC解析式为：y=x-3
设点M（m,m-3）,则N（m,m2-2m-3） ∴MN=-m2+3m=-(m-3/2)2+9/4 ∵-1＜0 ∴m=3/2时MN最大为 此时点N（3/2,-9/4）
如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点N为第四象限内抛物线上一动点，求点N到线段BC的最大距离及点N的坐标。
（提示：过点N作ND⊥x轴，交BC于点D，表示ND解析式，然后利用sin∠NDM=sin∠ACB把ND转化为MN即可） 五、 思考总结
1、存在性问题的解题思路：假设存在，推理论证，得出结论
2、解决线段存在性问题的方法：将军饮马问题、三角形三边关系、二次函数最值
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