解题教学重要的是要教给学生分析方法

第３２卷第１Ｏ期２０１３年１Ｏ月　数学教学研究　９　解题教学重要的是要教给学生分析方法　王弟成　（江苏省连云港市教育局教研室２２２００６）　学数学离不开解数学题，解题是学习数　学的重要手段与途径．高考也是通过解题来　考查学生的数学能力．因此解题教学是数学　课堂教学重要组成部分，通过解题提高学生　“空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、　数据处理等基本能力”，提高“数学地提出、分　析和解决问题的综合能力”，在解题中培养学　生创新能力等等．然而在听课调研中发现，教　师解题教学重心往往后移，更多的教师只给　学生介绍已“成形”的解题方法、思路、过程，　即侧重求解的结果，而不重视其求解方法的　形成过程分析，不重视思路产生的基础分析，　重视“解”，不重视“析”．导致学生学习解题时　更多靠的是记忆解法，模仿方法，套用公式，　而不知如何“从无到有”地去分析问题，“揭示　隐含”地提取信息，“灵活转换”翻译信息，“已　知联系未知”地搭建桥梁，沟通联系，“困难重　重”时调整思维，“多重选择”时监控思维，“此　路不通”时调整方向，总之没有形成解决问题　的迁移能力，更谈不上创新能力、理性思维能　力．其结果最终导致学生天天“遨游题海”，题　目虽解了不知多少，却只会解“见过”题，而数　学综合能力却没有得到相应的提升，特别是　“分析问题”能力丧失，高考面对陌生的题目　又无从下手．因此，解题既要重视“解”，更要　重视解形成前的“析”，分析解题总的原则是　分析思路的自然形成过程．　１解题分析要体现解题方法的本质　学生会解一道题，或会用某种方法解题　并不能代表他一定对这种解题方法的本质理　解透彻．会用有时只是一种简单模仿、照搬、　套用，而模仿在新的、变换的、综合的情境中　往往使用不上，形成不了解决问题的迁移能　力，也就出现常见的懂而不会现象．学生只有　真正理解透彻，“知其所以然”，掌握方法本质　才能运用自如．如函数ｙ＝ｘ－＇｝－　（以＞ｏ）在　上，其单调减区间是（０，　），增区间是　（　，＋∞），单调性的转折值　＝＝＝　正是Ｙ—　＋旦≥２√　等号成立的条件Ｘ＝４Ｓ．很多学　生在解决类似问题的讨论中，找不到讨论切　人点，不知如何分类讨论就说明这一点，没有　将两种方法的本质联系起来．这要求教师教　学不能停留在学生会解题、解对题层面上，更　应引导学生深刻理解某解法的本质，为付　么　这样能解，理解了解题方法的本质，才容易在　不同的情境中产生迁移能力，自觉使用，灵活　使用，创造使用．　例１已知正数　Ｙ满足ｚ＋２３，一１，求　＋　的最小值．　２／５　Ｙ　学生常见错误解法：　因为　＋２ｙ＝１，所以　１一Ｉｚ＋２　≥２￣／　・２　，即　≤去。　所以　１十　１≥２√　・上Ｙ≥２　一４　，　即专＋寺的最小值为４√２．　教师引导发现两次使用基本不等式等号　成立的条件不一致，找到错误原因．教师介绍　正确的求解方法．　，　因为　＋２ｙ－－－１，所以　Ｘ＋专一（Ｖ　＼　＋专）　Ｖ，　（ｚ＋２　）　ｌＯ　数学教学研究　第３２卷第１Ｏ期２０１３年１Ｏ月　一３－｝　上羔　Ｙ　２３＋２　｜Ｖ　　’　・墨－Ｙ　－３＋２　．　等号成立的条件是　一　，且ｘ－Ｆ２ｙ＝ｌ，即　一　，　一　一１。　过程很漂亮！问题解决很顺利！相乘的　目的是什么？为什么相乘后就能求出最小值　呢？怎么想到相乘的？什么时候用这种方　法？若改为：“已知正数　，　满足　．斗　２　：：＝１，　求刍＋　的最小值．”能否这样求？　上＇　ｙ２‘　（壶＋考）（ｘ　ｔ－２ｙ）　．教师不讲，学生不知・　学生解决这类问题主要是模仿．笔者曾对此　调查，问题——学生怎么想到使用这种方法，　主要两种解释：资料上都这样做的；老师就这　样讲的．至于为什么这样做未想过．错误的解　法原因在于两次使用基本不等式，且未能保　证两次等号成立的条件相同，正确的解法转　化基本不等式成立的条件，使两次变一次，只　一次使用基本不等式．明白这一点，下次再遇　到两次使基本不等式等号条件不能同时成立　时，学生会自觉想办法调整结构，变换表达，　使等号成立条件一致，这就形成能力．当然若　从裥西不等式（ｚ；＋　；）（ｚｌ＋　）≥（　２＋　Ｙｚ）。的角度分析同样揭示方法本质，更有　利于学生对方法本质理解．　例２（２０１２年江苏高考题）设ａ为锐　角，若∞ｓ（　卜詈）一　４，则ｓｉｎ（２ａ＋　）的值　为——＿．．　文Ｆ１］指出是老师教学“变角”方法，学生　没有真正理解造成的，并提出通过换元方法　解决，形成“基本套路”，有其道理．类似的问　题若改为：“已知ａ为锐角，ｃｏｓ　ａ＝百１，求　ｓｉｎ（２ａ＋　）．”学生会自觉转化为ａ一号。若　“已知ａ为锐角，ＣＯＳ口一　－Ｔ　，求　ｓｉｎ（２ａ＋　）。”学生也会直接代入，而“ａ为　锐角，若∞ｓ　’卜詈）一善”，其道理不也是一　样吗？即ａ＋詈是已知角，只不过是以余弦　的形式存在而已，若有计算器完全可以求出　来，哪怕结构再复杂，其道理也是相同的．明　白这一点自然会把目标角２“十　转｝匕为已　知角ａ＋詈，即２（　一詈）＋　一号　２（ａ＋詈）一手．这样用已知角表示未知角再　自然不过，什么技巧也不是，是函数值与自变　量之间最基本的对应关系，三角函数只是一　般函数具体的载体而已，这就抓住方法的本　质了，理解问题的本质［２　．　２解题分析要体现对问题的整体把握　现在很多学生不会分析问题，看一下题　目要么会，要么不会，不会处理整体与局部关　系．面对新问题不知如何人手，主要是不能从　整体上把握问题，厘清已知与未知关系，看透　问题本质．同时对解题思维过程缺乏预测性，　走一步看一步，目标不明确。这就要求教师解　题教学中要分析给学生看，做好分析示范，引　导学生分析问题关键，从哪一点人手，如何从　整体上分析问题，学会整体把握问题，对问题　分析透彻后，解答上只要按步就班就可以了．　例３如图１，已知　圆　的半径为ｌ，ＰＡＬ，ＰＢ　为该圆的两条切线，Ａ，Ｂ　为两切点，那么一Ｐ—Ａ・葡　的最小值为（　）．　图１　（Ａ）一４＋　（Ｂｊ一３＋　（Ｃ）～４＋２　（Ｄ）一３十２　分析欲求赢・两的最小值。联想“函　第３２卷第１Ｏ期２０１３年１Ｏ月　数学教学研究　数”，关键是选择一个“合适”的量表示Ｐ　・　通法．教学中教师要借助对问题的分析，抓住　主要矛盾，在杂乱中理出头绪，扣住引起变化　商，得到关系式后，然后再用基本不等式或　导数求得最小值即可．分析发现，若ＰＡ的长　度给定，则ＬＡＰＢ的大小也随之确定，此时　的关键点（量），将相关的所有量分别表示出　来，这样就整体把握住问题，以不变应万变，　这也是解决问题的一般分析方法，在几何类　问题求解中特别需要这种能力．　３解题分析要体现数学思想方法的引领作用　商的值也随之确定，所以就用ＰＡ的　长度表示　・商，这就打通问题的已知与　・未知的前后联系，抓住主要矛盾，整体把握住　问题．设ＰＡ＝ｘ，则ｔａｎ　０ＰＢ一｛，进而有　ｃｏｓＬＡＰＢ　ＣＯＳ　２ＬＯＰＢ　１－－ｔａｎ２ＬＯＰＢ　—１　再　１＋ｔａｎｚ　ＯＰ　丽一—Ｂ　Ｘ　ｘ２－—－１‘　所以　商．商＝　．　一　＋１＋　一３≥一３＋２√２．　同样，￣ＬＯＰＢ一０，则ＰＡ＝＝＝石　，进而用　ｔａｎ　０表示出　・商．若用建系设点方法解　决，道理是一样的．因此教学此题，重要的不　是给学生介绍几种求解方法，关键是如何把　握问题，哪种方法的本质都是相同的。介绍一　种发现其它，教学变成一种创造过程．　例４已知ｘ＞Ｏ，ｙ＞Ｏ，　＋　一１，求证：　十　≥去．　分析已知是　＋　一１，要求证结论中　的　＋　与已知能联系上吗？只要将　＋　等价变为（ｚ。＋　。）。一２ｘ　Ｙ　一［（　＋３，）。　－２ｘｙ－］。一２（　）　，即可沟通已知与求证之　间联系．但多出的ｘｙ能与ｚ＋　相沟通吗？　可以，通过基本不等式ｚ＋　≥２　即将两　者联系在一起．等与不等都是联系的方法，通　过这样的分析，整体把握问题，学生学到的是　分析的方法，是思考问题的方式，培养的是解　题能力．　学生在解题学习中养成这样的思考习惯　非常重要，实际上也体现了解决问题的通性　数学思想方法是对数学的知识内容和所　使用方法的本质的认识，它是形成数学意识　和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数　学技能和数学方法鳃决有关问题的灵魂．数　学思想方法是解题思路的导航灯．然而有的　教师试图通过“题型教学”穷尽“题型”，幻想　通过“题型”的机械重复，强化训练，让学生掌　握对应的“特技”和“动作要领”而提高考试分　数．对具有普遍意义的，迁移能力强的“根本　大法”——数学思想方法的教学，却因其不能　“立竿见影”而不被重视［３］．数学思想方法不　是口头说的，也不是下课前的总结，更不是课　堂上的装点门面，而是存在于实实在在的分　析问题思维过程中．从思想方法角度分析问　题，也体现对问题的整体把握，抓住问题的实　质．　例５已知函数　’（ｚ）一Ｘ３－－Ｘ．　（工）求曲线ｙ－＝ｆ（ｘ）在点Ｍ［ｔ，，（　）］处　的切线方程；　（Ⅱ）设ａ＞Ｏ，如果过点（口，６）可作曲线Ｙ　一，（　）的３条切线，证明：一口＜６＜，（ｎ）．　分析（工）直接运用导数求解即可，即　３，＝（３ｔ。一１）ｚ一２ｊ｝３．　（Ⅱ）过点（ｎ，６）可作曲线　＝，（　）的３　条切线，若有３条切线，则必有３个切点．设　出３个切点坐标Ｅｔ１，ｆ（ｔ　）］，Ｅｔ２，ｆ（ｔ２）－１，Ｉ－ｔ，，　ｆ（ｔｓ）］，即得３条切线的方程是　３，一（３ｔ　一１）　一２　（　一１，２，３），　由于这３条直线同过点（口，６），所以有　６一（３ｔ｝一１）ｎ一２疗（　一１，２，３），　所以方程　１２　数学教学研究　第３２卷第１Ｏ期２０１３年１Ｏ月　２ｔ。一（３ｔ　一１）ａ十６＝＝＝０　有３个不同的实根ｔ１，ｔ２，ｔ。．　再考察函数问题，设　ｇ（￡）＝２ｔ。一（３ｔ　一１）ａ＋６，　根据三次函数图像特点，则ｇ（￡）必有２个极　值点．因为　ｇ　（￡）一６ｔ　－－６ａ￡一６￡（￡一日），　令ｇ　（　）一０，则ｔ－－０，　一口．所以ｇ（￡）先增后　减再增，故只需　ｇ（Ｏ）一口＋ｂ％Ｏ，ｇ（ｆ）＝６～，（ｎ）＞Ｏ，　即　一口＜６＜－厂（ｎ）。　上述对问题的求解分析由３条切线存在　转化为三次方程有３个实根，进而转化为考　察三次函数极值，导函数的零点，再通过极值　得方程的极小值小于０极大值大于０，在整　体过程中转化思想起核心作用，方程与函数　内在本质联系的转化为顺利解决提供保障．　数学思想方法的作用在本题得到淋漓尽致的　体现．　例６在＆ＡＢＣ中，已知ｎ一５，６—４，且　ｃｏｓ（Ａ－－Ｂ）一蔷，试求ＡＡＢＣ的面积．　分析１条件是既知道边，也知道角，而　ｃｏｓ（Ａ～Ｂ）＝　６１化边，有困难，故化边为角，由　一５，６—４得　一丢，从方程角度分析此　三角形是可解的．　简解由ｃｏｓ（Ａ－－Ｂ）一嚣，得　ＣＯＳ　Ａｃｏｓ　Ｂ－ｋ－ｓｉｎ　Ａｓｉｎ　Ｂ：＝＝　３１，　即（ｃｏｓ　Ａｃｏｓ　＝＝：（萎－－Ｓｉｎ　ｎ　Ｂ）。，　解之得　ｓ　一譬　ｎ　Ａ一　，　结合ｃｏｓ（Ａ—Ｂ）一　，得　ＣＯＳ　Ｂ　专，Ⅱ　ｃｏｓ　Ａ　素，ｌ　ｎ　　所　ｎ　ｃ一　柳　Ｂｃ的面积为　．　分析２若围绕ｃｏｓ（Ａ　０１　一Ｂ）一蒜怎么用，如图　２，可以过点Ａ作　ＤＡＢ　一　Ｂ，则　ＣＡＤ一　Ａ　一　一　Ｂ　设ＣＤ—ｚ．ＢＤ一　图２　ＡＤ＝５～ｚ，这样将分散的条件集ｃ扣到一一个　三角形中，再用余弦定理即可求得．７２的值　从而求得　（：的正弦值．　分析ｌ从方程的角度总揽全题，“看透”　问题本质，发现三角形可解，过程有点繁，更　多的是…种程序化操作，方程思想引导思路．　分析２主要从条件使用方面人手，通过辅助　线转化条件，转移线段的长度，分散条件筻　中，从而为余弦定理的使用创造条件，转他署．　想开拓思维。数学思想方法的使用提升了解　题境界，这样的数学教学才真正具有实效和　长效，真正提高人的数学素质．　４解题分析要体现思维的监控与调整过程　对于有一定难度的题目，解题过程往往　不可能一帆风顺，一路顺畅，即使整体把握的　很到位，看透问题本质，但在具体求解操作过　程中可能还会出现这样那样的问题，有条件　使用不恰当问题，有解题思维可行不可取问　题，有出现解题回路问题，有计算不下去问　题，有计算出错问题，有考虑疏漏问题等等．　遇到这些问题，需要解题者有良好的心理素　质，自觉对自己的思维过程进行“监控”，发现　问题及时调整思维方向，或重头再来。而一部　分学生恰恰是对解题思维过程不会监控，不　能有效发挥元认知的作用　不能及时调整思　路造成解题错误．　例７已知抛物线Ｃ：ｙ一（ｚ＋１）　与圆　Ｍ：（ｘ－－１）。＋（ｙ－－÷）厶　　一ｒｚ（ｒ＞Ｏ）有一个公　共点Ａ，且在Ａ处两曲线的切线为同一直线　第３２卷第１Ｏ期２０１３年１Ｏ月　数学教学研究　（Ｉ）求椭圆的方程．　１３　Ｚ．求ｒ的值．　分析求ｒ，需建立关于ｒ的方程，由于　（Ⅱ）设Ａ，Ｂ是椭圆上位于．２３轴上方的　两点，且直线ＡＦ１与直线ＢＦ２平行，ＡＦ２与　ＢＦ１交于点Ｐ．　（ｉ）￣ＡＦｘ—ＢＦ２一　，求直线ＡＦ１的　在Ａ处两曲线的切线为同一直线，故设切点　Ａ坐标为（Ｘｏ，（　ｏ＋１）　），即得切线Ｚ的斜率　忌＝２ｘｏ＋２，则切线ｚ的方程为　一（Ｘｏ＋１）　一（２Ｘｏ＋２）（　一勘），　化简得　（２Ｘｏ＋２）ｚ—　一　＋１一Ｏ，　又Ｚ为圆的切线，所以有　１　Ｉ２　＋２一告一瑶＋１厶　　ｆ　—————＝＝＝＝＝＝＝＝＝———＝　—一＝ｒ．　、／（２ｚ０＋２）　＋１　又切点Ａ在两条曲线上，故　１　（Ｘｏ一１）。＋（（　ｏ＋１）　一去）　＝ｒ２．　厶　思路清楚，方程也有了，理论上解之即　可，但如何求解ｒ呢？有困难，对思维及时监　控，反思后，需调整思路．反思条件还有其他　使用方法吗？能否更简捷使用条件？由于ｚ　也是圆的切线，不用点到直线距离，直接使用　垂直关系更好，故有　１　（　＋１）　一告　————　×（２Ｘｏ＋２）＝－－１，　Ｚ０　１　即Ｘ０（　＋３ｘ＋３）＝０，所以Ｘ０＝０，所以点　，己－　Ａ（０，１），代人圆方程得，．＝　．ｇ＝ａ　　两种处理思路理论上等价的，都可行，但　在具体实施过程中仍有一定差别，这也是解　析几何解决的一大难点．　例８如图３，在平　●　－．ｙ　面直角坐标系ｘＯｙ中，　一２　．．２　椭圆山＿一－　ｂｚ一１（ｎ＞６＞　＼　＼　０　Ｒ　ｊ　ａ．　０）的左、右焦点分别为　Ｆ１（一ｃ，Ｏ），Ｆ２（ｃ，Ｏ）．已　图３　知点（１，８）和（　，　）都在椭圆上，其已为椭圆　的离心率．　斜率　（ｉｉ）求证：ＰＦ１＋ＰＦ２是定值．　分析　（Ⅱ）中（１１），欲求ＰＦ１＋ＰＦ２是　定值，直觉思考点Ｐ在以Ｆ，，Ｆ２为焦点的椭　圆上，可以通过直线ＢＦ１，ＡＦ２的方程求得　点Ｐ轨迹，“看似容易，实质难”，具体过程很　困难，需调整思路，换个方向．．－Ｉ￣Ａ直接采取　求和，因为直线ＡＦ１与ＢＦｚ平行，比例线段　较多，选择哪条线段进行传递？因为ＡＦ１，　ＢＦｚ可以视为“已知量”，所以得篇＝豢，　于是　等　一　ＰＦｌ　ＡＦ　’，　故ＰＦ１＝　ＢＦ１．　由点Ｂ在椭圆上知ＢＦ　＋ＢＦ２＝２　，从而　ＰＦ１一　（２　一ＢＦ２）．　同理　ＰＦ２＝　（２　一ＡＦ１）．　ＰＦ１＋ＰＦ２＝　（２　一ＢＦ２）　＋　十　两　（２　一ＡＦｔ）ｚ　ｚ一　　一２　一　２ＡＦ　１＂雨ＢＦｚ．　由直线方程与椭圆方程联立可求得　ＡＦ１＋ＢＦ２一　，７ｒ—ｒ　，　ＡＦ１・ＢＦ２＝辅，　（下转第２５页）　第３２卷第１ｏ期２０１３年１ｏ月　数学教学研究　≥　２十（１一ｍ）Ｌｚ２一ｚ２，　一２５　ｇ（ｘ。）ｌ，求ｍ的取值范围．　解（工）略．　（１一ｍ）ｚ１＋　２　（Ⅱ）由题意知，ｇ　（ｚ）一ｈ（　）（　一２ｘ　＋１），其中ｈ（ｚ）＞０对于Ｖｚ∈（１，＋∞）都　成立，所以当ｘ＞ｌ时，ｇ　（Ｉｚ）一＾（　）（ｚ一１）　≤（１一ｍ）ｚ１＋ｒｅｘｌ—ｚ１，　于是由ａ＞ｌ，８＞１及ｇ（　）的单调性知ｇ（　）　≤ｇ（ｚ１）＜ｇ（　２）≤　ａ），所以ｌｇ（ａ）－－ｇ（８）ｌ　≥ｌｇ（ｘ　）－－ｇ（ｘ　）Ｉ与题设不符．　③当ｍ≥１时，同理可得ａ≤２１，　≥ｚｚ，　进而得Ｉｇ（ａ）－－ｇ（８）ｌ≥ｌｇ（ｘ１）－－ｇ（ｘ２）Ｉ与　题设不符．　点评上例中通过一个新的变换Ｔ：ａ一　撇１＋（１一ｍ）　２，　：＝（１一ｍ）　１＋ｍｘ２使原　＞０，从而ｇ（ｚ）在（】，＋∞）上单调递增．　①当ｍ∈（０，１）时，有　一７豫　－１—卜（１一一７　）　２　＞撇１＋（１一ｍ）－ｚ１一ｚ１，　＜ｒｅｘ２＋（１一ｍ）ｘ２＝ｚ２，　得ａ∈（ｚ１，ｚｚ）．同理可得　∈（　１，　ｚ），所以　由ｇ（ｚ）的单调性可知，ｇ（ａ），ｇ（　）∈　（ｇ（　１），ｇ（－ｚ２）），从而有ｌ　ｇ（ａ）一ｇ（　）ｌ＜　｛ｇ（ｘ　）－－ｇ（ｘｚ）Ｉ符合题设．　②当优≤Ｏ时，　ａ￣Ｉ１ＬＴ．】＋（卜一ｍ）　２　函数收敛于比原区间更小的区间，从而使函　数的收敛更好，这就是压缩映射思想原理的　应用的一个很好的例证．　（收稿日期：２０１３—０５—０２）　（上接第１３页）　所以　Ｆ＇Ａ－　ｎ　参考文献　Ｅ１］　阮伟强．立足“基本套路”才能让学生真正　，　懂——从一个司空见惯的解题案例说起口］．　中学数学教学参　考（上半月），２０１３，（１）：３７－　３８．　ＰＦ　＋ＰＦ２—２　一　一　厶　厶　因此，Ｐ　Ｆ１＋ＰＦ２是定值．　解题，解好题是一个复杂的心理思维过　程，对知识的恰当使用，对方法的灵活选择，　Ｅ２３　王弟成．把握本质落实思想理性思维～一　２０１２年高考数学江苏卷试题对高三复习的启　对原有经验的积累，对思维过程的实时监控，　都与学生的个人知识结构、方法系统、解题经　验等密切相关．解题分析还有很多方面需进　行细致分析，本文仅就以上４个方面进行分　析，感觉更有利于学生能力的迅速提升，也期　望引起教师的解题教学重视．　（上接第１６页）　示［Ｊ］．中学数学教学参考（上半月），２０１２，　（９）：３５－３８．　［３］章建跃．中学数学课改的十个论题［Ｊ］．中学数　学教学参考（上半月），２０１０，（４）：１４．　（收稿日期：２０１３－０６—０５）　任，则势必会提高高中数学教学质量，摆脱题　海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而　为提高高中学生的整体素质作出我们数学教　师应有的贡献。　参考文献　ＥＪ］．数学教学研究，２０１１，３ｏ（３）．　Ｅ２１鲍果．重视“小题：　做”，训练数学思维ＥＪ３．数　学教学研究，２０１０，２９（１）．　［３］范习昱．灵活运用基本不等式，全面破解高考　题ＥＪ］．数学教学研究，２０１３，３２（２）．　（收稿日期：２０１３—０６—１６；）　Ｅｌｉ王宁忠．借“题”发挥，培养学生数学思维能力