2021-2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习

向量第3讲平面向量练习

一、填空题

1.设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________. 解析 由|a＋b|＝10得|a＋b|2＝10， 即a2＋2a·b＋b2＝10，①

又|a－b|＝6，所以a2－2a·b＋b2＝6，② 由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1. 答案 1

→→→→→→

2.(xx·北京卷)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB→

＋yAC，则x＝__________；y＝__________. →→→1→1→解析 MN＝MC＋CN＝AC＋CB

321→1→→

＝AC＋(AB－AC) 32

1→1→11＝AB－AC，∴x＝，y＝－. 262611答案 －

26

→1→→→→

3.已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________.

2→1→→→→

解析 由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹

2角为90°. 实用文档

答案 90°

→

4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝→→→

OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).

→→→→→→→

解析 由已知，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，→→→

设△ABC中BC边的中点为D，知AB＋AC＝2AD，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.故填重心. 答案 重心

33

5.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为________.

2

33

，解得2

解析 因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－

a·b＝

3a·b3，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2|a||b|2

π. 6

π 6

答案

6.(xx·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，→→→→→→

CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________. →→→→1→

解析 由题图可得，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，

4

实用文档

→→→→3→→3→BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB.

44→→→1→→3→

∴AP·BP＝AD＋AB·AD－AB

44→21→→3→2

＝AD－AD·AB－AB＝2，

216

1→→3→→

故有2＝25－AD·AB－×64，解得AD·AB＝22.

216答案 22

→→

7.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).

→→

①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC. →

解析 ∵AB2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；

→→→→∵BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|b|＝2，故②错误； 1→→→11→→

∵b＝AC－AB，∴a·b＝AB·(AC－AB)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故

222③错误；

→

∵BC＝b，故④正确；

→→→→→2→2

∵(AB＋AC)·(AC－AB)＝AC－AB＝4－4＝0， →

∴(4a＋b)⊥BC，故⑤正确. 答案 ①④⑤

8.(xx·淮安月考)如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M实用文档

→→→→

满足BM＝2MA，则CM·CB＝________. 解析 法一 如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A(3，0)，B(0，3)， →→

设M(x，y)，由BM＝2MA，

x＝2（3－x），x＝2，得解得 y－3＝－2y，y＝1，

即M点坐标为(2，1)，

→→

所以CM·CB＝(2，1)·(0，3)＝3.

→→→→→→→2→→2→→→法二 CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB2＋CB·BA＝CB2＋CB·(CA－CB)

331→

＝CB2＝3. 3答案 3 二、解答题

3x3xxxπ

9.已知向量a＝cos ，sin ，b＝cos ，－sin ，且x∈0，.

22222(1)求a·b及|a＋b|；

3

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.

23xx3xx解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，

2222

|a＋b|＝

cos 3x＋cos x2sin 3x－sin x2

＋

2222

＝2＋2cos 2x＝2cos2x， 实用文档

π

因为x∈0，，所以cos x≥0，

2

所以|a＋b|＝2cos x.

(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x， 即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.

π

因为x∈0，，所以0≤cos x≤1.

2

①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ，由已知得－1312

－2λ＝－，解得λ＝；

22

③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝351

－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝. 282

2

π10.设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，.

2

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.

1ππ又x∈0，，从而sin x＝，所以x＝.

226实用文档

(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin2x π1311

sin 2x－cos 2x＋＝sin2x－＋，

62222

＝

πππ

当x＝∈0，时，sin2x－取最大值1.

2633

所以f(x)的最大值为.

2

11.(xx·南师附中调研)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3

b)与n＝(cos A，sin B)平行.

(1)求A；

(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.

解 (1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝3， π由于0＜A＜π，所以A＝.

3

(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， π2

而a＝7，b＝2，A＝，得7＝4＋c－2c，

3即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3， 133

故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.

22

实用文档

72

法二 由正弦定理，得＝，

πsin Bsin

3

21

，又由a＞b，知A＞B， 7

从而sin B＝

27π所以cos B＝，故sin C＝sin(A＋B)＝sinB＋

7＝sin Bcos ππ321

3＋cos Bsin 3＝14.

所以△ABC的面积为S＝133

2absin C＝2

.

实用文档

3