高等数学试卷和答案新编

一、填空题（每空3分，共15分）

11zxyxy的定义域为

（1）函数

（2）已知函数

zarctanyzx，则x

2yy2（3）交换积分次序，

20dyf(x,y)dx＝

（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

(xy)ds

L（5）已知微分方程y2y3y0，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

x3y2z10（1）设直线L为2xy10z30，平面为4x2yz20，则（） A.L平行于B.L在上C.L垂直于D.L与斜交

222xyzxyz2确定，则在点(1,0,1)处的dz（） （2）设是由方程

dxdydx2dy2dx2dydx2dy（3）已知是由曲面4z225(x2y2)及平面z5所围成的闭区域，将

(x2y2)dv在柱面坐标系下化成三次积分为（）

4350020drdrdz0023502r235.

20drdrdz22500

20drdr5dz.

0dr2drdz（4）已知幂级数，则其收敛半径（）

1212x2（5）微分方程y3y2y3x2e的特解y的形式为y（）

(axb)xex(axb)cex(axb)cxex

得分 三、计算题（每题8分，共48分）

阅卷人 x1y2z3x2y1zLL01且平行于直线2：211的1、 求过直线1:1平面方程

zz22zf(xy,xy)，求x，y 2、 已知

22D{(x,y)xy4}，利用极坐标求

3、 设

2x2f(x,y)e(xy2y)的极值 4、 求函数

2xdxdyD

xtsint(2xy3sinx)dx(x2ey)dy5、计算曲线积分L，其中L为摆线y1cost从点O(0,0)到

A(,2)的一段弧

6、求微分方程xyyxe满足四.解答题（共22分） 1、利用高斯公式计算

xyx11的特解

22zxy，其中由圆锥面与上半球面

22xzdydzyzdzdxzdxdyz2x2y2所围成的立体表面的外侧(10) n1n(1)n13n12、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6）

（2）在x(1,1)求幂级数

nxn1n的和函数（6）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

4xy2zln(1x2y2)的定义域为； （1）函数

（2）已知函数ze，则在(2,1)处的全微分dz；

xy（3）交换积分次序，

e1dxlnx0f(x,y)dy＝；

2ydsyxL（4）已知是抛物线上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，则L；

（5）已知微分方程y2yy0，则其通解为.

二．选择题（每空3分，共15分）

xy3z0（1）设直线L为xyz0，平面为xyz10，则L与的夹角为（）； z33z3xyza0234（2）设x是由方程确定，则（）；

yzyzxzxyxyz2z2xyxyz2z2xy（3）微分方程y5y6yxe2x的特解y的形式为y（）； (axb)e2x(axb)xe2x(axb)ce2x(axb)cxe2x（4）已知是由球面x2y2z2a2所

围成的闭区域,将在球面坐标系下化成

三次积分为（）；

dvA

0200d2sindrdr0a2B.

200d2drdr0a0a

2ddrdr00a.

20dsindr2dr0

2n1nxn2（5）已知幂级数n1，则其收敛半径

得分 （）.

阅卷人 程.

12122

三．计算题（每题8分，共48分）

:x2z1和2:y3z2平行的直线方

5、 求过A(0,2,4)且与两平面1zzxy6、 已知zf(sinxcosy,e)，求x，y.

22D{(x,y)xy1,0yx}，利用极坐标计算

7、 设

arctanDydxdyx.

得分 22f(x,y)x5y6x10y6的极值. 8、 求函数

(e9、 利用格林公式计算Lxsiny2y)dx(excosy2)dy，其中L为沿上

222(xa)ya,y0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. 半圆周

3yy(x1)2x18、求微分方程的通解.

四．解答题（共22分）

n1n(1)2sinn3n161、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；

xn(1,1)（2）（4）在区间内求幂级数n1n的和函数.

(12)2、利用高斯公式计算2xdydzydzdxzdxdy22zxy(0z1)的下侧 ，为抛物面

高等数学（下）模拟试卷三

一．填空题（每空3分，共15分）

1、函数yarcsin(x3)的定义域为.

(n2)2lim22、n3n3n2=.

2yln(1x)，在x1处的微分dy. 3、已知

4、定积分

11(x2006sinxx2)dx57.

dyy2yx3x0dx5、求由方程所确定的隐函数的导数.

二．选择题（每空3分，共15分）

x21y2x2x3x2的间断点 1、是函数

（A）可去（B）跳跃 （C）无穷（D）振荡

(A)(B)

(C)0(D)1

2、积分

10x1x2dx=.

xyex1在(,0]内的单调性是。 3、函数

（A）单调增加；（B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。 4、

1xsintdt的一阶导数为.

（A）sinx（B）sinx （C）cosx（D）cosx

5、向量a{1,1,k}与b{2,2,1}相互垂直则k（A）3（B）-1（C）4（D）2

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

.

2x3x1)x2x11、求极限

xsinxlimx32、求极限x0

dyx3、已知ylncose，求dx

lim(四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

t2x2d2yy1t21、已知，求dx

x2、计算积分2cosxdx

3、计算积分

10arctanxdx24、计算积分0

五．觧答题（3小题，共28分）

42y3x4x1的凹凸区间及拐点。 (8)1、求函数

2x2dx1x01xf(x)21x0f(x1)dx 1ex12、(8)设求022yxyx所围图形的面积；(6) 3、（1）求由及

（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6)

高等数学（下）模拟试卷四

一．填空题（每空3分，共15分）

y1、函数2、

11x2x的定义域为.

=.

0eaxdx,a03、已知ysin(2x1)，在x0.5处的微分dy.

sinxdx11x24、定积分=.

143y3x4x1的凸区间是. 5、函数

二．选择题（每空3分，共15分）

x21yx1的间断点 x11、是函数

（A）可去（B）跳跃

（C）无穷（D）振荡

a0,f(0)0,f(0)1,lim2、若(A)1(B)a

(C)-1(D)a

x0f(ax)x=

3、在[0,2]内函数yxsinx是。

（A）单调增加；（B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。 4、已知向量a{4,3,4}与向量b{2,2,1}则ab为. （A）6（B）-6 （C）1（D）-3

f(x0)为极值，ye5、已知函数f(x)可导，且

0（C）0（D）（A）e（B）

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

f(x0)f(x)，则

dydxxx0.

f(x)f(x0)

1、求极限

lim(1-kx)x01kx

lim2、求极限

x01cosx2sint2dt

1xxsinx3、已知

四．计算题（每题6分，共24分）

yeylnsindy，求dx

dy1、设exy10所确定的隐函数yf(x)的导数dx2、计算积分

x0。

arcsinxdx

3、计算积分

03a0sin3xsin5xdxx22

3ax4、计算积分

五．觧答题（3小题，共28分）

dx,a0

3atx1t22y3at1t2，求在t2处的切线方程和法线方程。 1、(8)已知1lnalnb1(8)abb 2、求证当ab0时，a3yx3、（1）求由及y0,x2所围图形的面积；(6)

（2）求所围图形绕

y轴旋转一周所得的体积。(6)

高等数学（下）模拟试卷五

ln(xy)一．填空题z（每空3分，共21分）

y1．函数的定义域为。

x2．已知函数ze2y2，则dz(1,0)。

z3．已知zexy，则x。

2ds22xy11,01,0L4．设L为上点到的上半弧段，则。

5．交换积分顺序1edxlnx0f(x,y)dy。

(1)n6.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛？。

7．微分方程ysinx的通解为。 二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数zfx,y在点x0,y0的全微分存在是fx,y在该点连续的（）条件。

A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分，也非必要

2．平面1:x2yz10与2:2xyz20的夹角为（）。 A．6B．4C．2D．3 (x5)nn3．幂级数n1的收敛域为（）。

A．

4,6B．4,6C．4,6D．4,6

y1(x)4．设y1(x),y2(x)是微分方程yp(x)yq(x)y0的两特解且y2(x)常数，则下列（）是其通解（c1,c2为任意常数）。

A．yC．yc1y1(x)y2(x)B．yy1(x)c2y2(x)

y1(x)y2(x)D．yc1y1(x)c2y2(x)

5．

在直角坐标系下化为三次积分为（），其中为x3,x0,y3,y0，z0,z3所围的闭区域。

zdv03A．

dxdyzdz0033B．

30dxdyzdz0033C．

30dxdyzdz3003D．

30dxdyzdz0330

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

zz,zlnzexy01、已知，求xy。

x1y2z(1,0,2)123的直线方程。 2、求过点且平行直线

22(xy)d22xy4、y0及yx所围的在第一象限的D3、利用极坐标计算，其中D为由

区域。

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

(y2ex)dx(2xy5xsin2y)dy1、利用格林公式计算曲线积分L，其中L为圆域D：

x2y24的边界曲线，取逆时针方向。

2、判别下列级数的敛散性：

五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1f(x,y)x3y23x3y121、求函数的极值。

dyyexy2的特解。

2、求方程dx满足x0x3、求方程y2y8y2e的通解。

高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.） 1．函数zarccos(yx)的定义域为。

z2．已知函数zln(xy)，则x2,1。

3．已知

zsinx2y2，则dz。

4．设L为yx1上点(1,0)到0,1的直线段，则L2ds。

5．将10dx1x20f(x2y2)dy化为极坐标系下的二重积分。

(1)n26.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛？。

7．微分方程y2x的通解为。

二、选择题：（每题

3分,共15分.）

1．函数zfx,y的偏导数在点x0,y0连续是其全微分存在的（）条件。

A．必要非充分，B．充分，C．充分必要，D．既非充分，也非必要，

xy2z210与平面:x2yz3的夹角为（）。 2．直线1A．6B．3C．2D．4

l:xnn23．幂级数n13n的收敛域为（）。

A．(3,3)B．[3,3]C．(3,3]D．[3,3)

*y4.设(x)是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解，y(x)是方程yp(x)yq(x)y 0的通解，则下列（）是方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解。

***y(x)y(x)y(x)yy(x)A．B．C．D．(x)y(x)

5．

zdv22222xyzR在柱面坐标系下化为三次积分为（），其中为的上半球体。

A．

C．

20drdrzdz00RR2r2020RR2B．

D．

20drdrz2dz00Rr

20ddrzdz20drdr0RR2r20z2dz

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

zz,31、已知z3xyz5，求xy

2、求过点(1,0,2)且平行于平面2xy3z5的平面方程。

3、计算

22(xy)dxdyD，其中D为

yx、y0及x1所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

2(xy)dx(xsiny)dy2L1、计算曲线积分，其中L为圆周y2xx上点(0,0)到(1,1)的一

段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

围区域的整个表面的外侧。

xdydzydzdxzdxdy22z0,z3,xy1所，其中是由

3、判别下列级数的敛散性：

五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1f(x,y)3x26xy32y2131、求函数的极值。

dyyexy1的特解。

2、求方程dx满足x03、求方程y5y6y(x1)e的通解。

x高等数学（下）模拟试卷七

一．填空题（每空3分，共24分）

1z2222(xy)25xy1．二元函数的定义域为

21yt1yt35的通解为 2．一阶差分方程

3．

zxy的全微分dz_ zarctan4．ydxxdy0的通解为________________

zyxx5．设，则______________________

6．微分方程y2y5y0的通解为

22D(x,y)|xy47．若区域，则D1n2n08．级数的和s=

2dxdy

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．fx,y在点a,b处两个偏导数存在是fx,y在点a,b处连续的条件

（A）充分而非必要（B）必要而非充分 （C）充分必要（D）既非充分也非必要

2．累次积分

(A)

（C）

1010dx10x0f(x,y)dy改变积分次序为

10dyf(x,y)dx10（B）

dyx0f(x,y)dx1

dyy20f(x,y)dx（D）

10dy2f(x,y)dxy3x3．下列函数中，是微分方程y5y6yxe23x3xyx(axb)eyae（C）（D）

的特解形式(a、b为常数)

3x3xy(axb)eyx(axb)e（A）（B）

4．下列级数中，收敛的级数是

（A）

n1(3)n(1)nnn2n1（B）n12n1（C）n12（D）n1n1

阅卷人 zxyz4zx5．设，则 xxxx(A)z(B)2z(C)z2(D)z

三、求解下列各题（每题7分，共21分）

得分 xzzzu2lnv,而u,v3x4y,y 1.设，求xy

2223nnn2n12.判断级数

的收敛性 3.计算

xeD2y2dxdy，其中D为

x2y21所围区域

四、计算下列各题（每题10分，共40分）

1yylnxx1.求微分方程的通解.

2.计算二重积分

IxydxdyD，其中D是由直线

yx,x1及x轴围成的平面区域.

32f(x,y)yx6x12y5的极值. 3.求函数

xn2nn4n14.求幂级数

的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

4xydx1f(x,y)dy220x{(x,y)|xy0,xy0}xy21、2、3、

x3xyCeCe1224、5、 二、选择题：（每空3分，共15分）1.C2.D3.C4A5.D 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解：

A(1,2,3)s1{1,0,1}s2{2,1,1}2

平面方程为x3yz208

2vx2y2

0r2，3 3、解：D:022、解：令uxy2x2fx(x,y)e(2x2y4y1)012x(,1)fy(x,y)e(2y2)04 4．解：得驻点211f(,1)e22A2e0,ACB4e0极小值为2285．解：

PQ2x,P2xy3sinx,Qx2ey，有yx

曲线积分与路径无关2

L1:y0,x从0，L2:x,y从024 11yyexP,Qexxx2 6．解：

积分路线选择：

dxdxP(x)dxxxx[Q(x)edxC]e[eedxC]通解为4

1xy[(x1)e1]y18 x代入x1，得C1，特解为

yeP(x)dx11四、解答题

1、解：

2xzdydzyzdzdxzdxdy(2zz2z)dvzdv24

方法一：原式＝

20d4cossind020r3dr1210

方法二：原式＝

20drdr0n112r2rzdz2r(1r2)dr02、解：（1）令

un(1)nlimun1nun3n1210

n13n11nlimn1n1n3n3n13收敛，4

(1)n1n1n3n1绝对收敛。6

nn1n1（2）令

s(x)nxxnxn1xs1(x)2

高等数学（下）模拟试卷二参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、{(x,y)|y4x,0xy1}2、edx2edy3、

2222210dyyf(x,y)dxee

1(551)xy(CCx)e124、125、

二、选择题：（每空3分，共15分）1. A 2.B3.BD.A 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解：

A(0,2,4)n1{1,0,2}n2{0,1,3}2

xy2z4318 直线方程为2xy2 2、解：令usinxcosyve3、解：

D:040r1，3

fx(x,y)2x60fy(x,y)10y100得驻点(3,1)4 4．解：A20,ACB2200极小值为f(3,1)88

xPesiny2y,5．解：Qexcosy2，

Qexcosy,x2

Pexcosy2,有y取A(2a,0),OA:y0,x从02a4

PdxQdy222原式＝a－OA＝a0a8

31P,Q(x1)2x12 6．解：通解为

yeP(x)dxdxdxP(x)dx[Q(x)edxC]ex1[(x1)2ex1dxC]4

131四、解答题

n1un123limlim1nnun3un(1)n12nsinn2nsinn331、解：（1）令

n2sinn(1)n12nsinn3收敛，n13绝对收敛6 n12n1sin4

xns(x)n1n（2）令



nx1s(x)xn11x，2 n1nn1:z1,上侧

2、解：构造曲面1高等数学（下）模拟试卷三参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

2210,0,X1且x01.；2.a；3.2dx；；5.3或3

二．选择题：（每空3分，共15分）1.A;2.D;3.A;4.A;5.C.

三．计算题：

1.

lim1kxx01cosx1(k)kx1kxk4ek2

22.

limx0sint2dtx32(sincos2x)(sinx)limx03x2422

1lnsindy111excos21dxxxsinx3.

四．计算题：

1lnsin112excotxx

eyyyxy02;x0,y01;1.

2.原式

dydxx0yeyx03x0xarcsinxx32211x20dx2xarcsinx32； 121x232d(1x2)2

415

3.原式

(sinx)cosxdx2(sinx)dsinx(sinx)dsinx302023a2x24.原式

五．解答题: 1．

213ad(3a2x2)33a2x203a23a3a23a1。

2t46a12a11y,t2,k,x,y,切线:4x3y12a0,法线：3x-4y+6a=01t235521lnalnb1221设f(x)lnx,xb,a,ab0,lnalnb(ab),ba,aabb.

1（1）

S20x432xdx4082242

82253642Vy4y3dy4yy320505（2）、

高等数学（下）模拟试卷四参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

121x612425y2x4dx331.；2.；3.；4.；5.。

二．选择题：（每空3分，共15分）

1.C；2.D；3.B；4.B；5.C。

三．1.

312xlimx112xx331152x2x23lime2x(2)x11112x2x32x332

1cosx212lim2x03x262.x03xdy1xx3xx(sine)eecotex3.dxcose四． lim2sin2x22

3

1221dyt2y,2tdxt1.

22t322；

22.

xdsinxxsinxsinx2xdx101xsinx2xcosx2sinxc12024

1ln(1x2)2xarctanxxdx201x423.

242ln222

14.

五．解答题

y12x312x2,y36x224x,2x2sint,120sin2t22cost2costdtt22。 022x10,x2为拐点，32240、，为凹区间，，0， 为331. 凸区间

1,x11211xxf(x1),(2)dxdx(2)lne1x01ex1,x1x1e2.

3.（1）、

1102ln(1ex)1lnx01(2)

1003x32422xxdxx303121322

（2）、

Vxxx4dxx2x5425013102

高等数学（下）模拟试卷五参考答案

一、填空题：（每空3分，共21分）

x2y2x2y2(x,y)xy,y0dx2yedy22xe1、

，、

，3、0,4、2，

5、01dyeeyf(x,y)dx，6、条件收敛，7、ycosxc（c为常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、B

z三、解：1、令F(x,y,z)lnzexy1

1,2,32 2、所求直线方程的方向向量可取为x1yz2237 则直线方程为：13、原式

dr3dr40024

四、解：1、令

P(x,y)y2ex,Q(x,y)2xy5xsin2y,PQ2y,2y5yx3

原式

(DQP)dxdyxy6

2、(1)此级数为交错级数1 111lim0nnn1(n1,2,)4 因，n故原级数收敛6

(2)此级数为正项级数1

(n1)2n113lim1n3n23n4故原级数收敛6 因

2f(x,y)3x30，fy(x,y)3y0得驻点(1,3),(1,3)2 x五、解：1、由

在(1,3)处

Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)12

因ACB0,，所以在此处无极值5 在(1,3)处

2Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)1

因ACB0,A0，所以有极大值

f(1,3)1528

2、通解

y[exedxc]edx1dx3

xy(x2)e8 特解为

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为r22r80

有两不相等的实根r12,r24

2x4xycece12所以对应的齐次方程的通解为（c1,c2为常数）

3

2)设其特解y*(x)aex

5aex2ex,a将其代入原方程得

25

2y*(x)ex56 故特解

3)原方程的通解为yc1ec2e2x4x2

ex5

7

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、 填空题：（每空3分，共21分）

12222(x,y)x1yx12xcos(xy)dx2ycos(xy)dy, 321、，2、，、

20204、22，5、，6、绝对收敛，7、yxc（c为常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D 三、解：

31、令F(x,y,z)z3xyz52

df(r2)rdr12、所求平面方程的法向量可取为2,1,32

则平面方程为：2(x1)y3(z2)06

3、原式

dx(x2y2)dy001x4

PQ1yx3

四、解：1、令

1P(x,y)x2y,Q(x,y)(xsiny),1原式

(x20)dx(1siny)dy006

2、令Px,Qy,Rz2

PQR()dvxyz5 原式

3、(1)此级数为交错级数1 111lim0nlnn因，lnnln(n1)(n2,3)4

故原级数收敛5

(2)此级数为正项级数1

n143lim1n34nsinn34故原级数发散5 因

2f(x,y)4yy0f(x,y)6x60五、解：1、由x，y得驻点(1,0),(1,4)3

4n1sin在(1,0)处

Afxx(1,0)6,Bfxy(1,0)0,Cfyy(1,0)4

2ACB0,A0，所以有极小值f(1,0)25 因

在(1,4)处

Afxx(1,4)6,Bfxy(1,4)0,Cfyy(1,4)4

2ACB0,，所以在此处无极值7 因

2、通解

y[exe1dxdxc]e3

dxxy(x1)e7 特解为

3、1)对应的齐次方程的特征方程为r25r60,有两不相等的实根r12,r23

2x3xycece3 12所以对应的齐次方程的通解为（c1,c2为常数）

2)设其特解y*(x)(axb)ex

152ax3a2bx1,a,b24 将其代入原方程得

15y*(x)(x)ex6 24故特解

15x2x3x(x)e3)原方程的通解为yc1ec2e247

高等数学（下）模拟试卷七参考答案

一．填空题：（每空3分，共24分）

y2t322(x,y)|0xy25ytC(3)5yxy1dxxylnxdyyCx1x2y2yex(C1cos2xC2sin2x)8二．选择题：（每题3分，共15分） 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

zzuzv2x3x22ln(3x4y)y(3x4y)y2………(4分) 1.解：xuxvxzzuzv2x24x23ln(3x4y)yuyvyy(3x4y)y2………(7分)

四．计算下列各题（每题10分，共40分）