2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题

数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页，满分150分.考试时刻120分钟. 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦洁净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3．考试终止，监考人将本试卷和答题卡一并收回.

第一部分 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 3x2lg(3x1)的定义域是 1、函数f(x)1x11332、若复数z满足方程z220，则z3

A.(,) B. (,1) C. (,) D. (,)

113313A.22 B. 22 C. 22i D. 22i 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A.yx3 ,xR B. ysinx ,xR C. yx ,xR D. y()x ,xR 4、如图1所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD A.BC12A

11D BA B. BCBA 2211C B C. BCBA D. BCBA 图1 225、给出以下四个命题：

①假如一条直线和一个平面平行，通过这条直线的平面和那个平面相交，那么这条直线和交线平行，

②假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于那个平面 ③假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，

④假如一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是

A.4 B. 3 C. 2 D. 1

6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

A.5 B.4 C. 3 D. 2

7、函数yf(x)的反函数yf1(x)的图像与y轴交于点

y 4 2 yf1(x) P(0,2)（如图2所示），则方程f(x)0在[1,4]上的根是x

A.4 B.3 C. 2 D.1

8、已知双曲线3x2y29，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 A.2 B.

1 O 图2 3 x 22 C. 2 D. 4 3x0y09、在约束条件下，当3x5时，目标函数

yxsy2x4z3x2y的最大值的变化范畴是

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 10、关于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，

y y2x4 xys O 图3 x 当且仅当ac,bd；运算“”为：

(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设p,qR，若(1,2)(p,q)(5,0)，则(1,2)(p,q)

A.(4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,4)

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

41)________.

x24x22x12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.

213、在(x)11的展开式中，x5的系数为________.

x14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓… 球总数，则f(3)_____；f(n)_____（答

11、lim(案用n表示）.

图4

三解答题：本大题共6小题，共80分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题14分)已知函数f(x)sinxsin(x(I)求f(x)的最小正周期；

2),xR.

(II)求f(x)的的最大值和最小值； (III)若f()3，求sin2的值. 4

16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X的分布如下：

0.2 0.3 0.3 0.2 0

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.

(I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求的分布列

(III) 求的数学期望E.

17、(本题14分)如图5所示，AF、DE分别世O、

X

P

06

7 8 9 10

O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，

D O1 E O的AD8.BC是

ABAC6,OE//AD.

(I)求二面角BADF的大小； (II)求直线BD与EF所成的角.

直径，

C A B O 图5

F

18、(本题14分)设函数f(x)x33x2分别在

、，该x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）平面上动点P满足PA•PB4,点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点.求 (I)求点A、B的坐标；

(II)求动点Q的轨迹方程.

19、(本题14分)已知公比为q(0q1)的无穷等比数列an各项的和为9，无穷等比数列. a各项的和为8152n(I)求数列an的首项a1和公比q； (II)对给定的k(k1,2,3,10项之和；

,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak1的等差数列，求T(2)的前

Snb1b2(III)设bi为数列T(k)的第i项，bn，求Sn，并求正整数m(m1)，使得limSnnnm存在且不等于零.

（注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）

20、(本题12分)A是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：①对任意的

x[1,2]，都有(2x)(1,2)；②存在常数L(0L1)，使得对任意的x1,x2[1,2]，都有|(2x1)(2x2)|L|x1x2|.

(I)设(2x)31x,x[2,4] ，证明：(x)A

(II)设(x)A，假如存在x0(1,2)，使得x0(2x0)，那么如此的x0是唯独的； (III) 设(x)A，任取x1(1,2)，令xn1(2xn)，n1,2,任意的正整数p，成立不等式|xkp

，证明：给定正整数k，对

Lk1xk||x2x1|

1L