量子力学连续性方程的矩阵表示

杨秀会

【摘 要】首先指出处在任意势场中粒子的任意状态的几率密度只有在坐标表象中才普遍满足连续性方程,然后根据所构造的坐标表象中的几率密度矩阵、微分算符矩阵和几率流密度矢量矩阵,写出几率密度连续性方程的矩阵表示,并作一些讨论. 【期刊名称】《广西民族大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2008(014)002 【总页数】3页(P76-77,83)

【关键词】连续性方程;几率密度;矩阵表示 【作 者】杨秀会

【作者单位】玉林师范学院,物理与信息科学系,广西,玉林,537000 【正文语种】中 文 【中图分类】O413.1

在一般的量子力学教材中，都推导空间几率密度所满足的连续性方程.根笔者所知，对于连续性方程的矩阵表示问题，在文献和教材中未作过讨论，只出现在少数教材的习题中，如文献[1].在文献[2]中作者对文献[1]中的这道习题作了解答，结果为：(Ψ +Ψ)= 0 ，其中Ψ为粒子的波函数在任意力学量表象中的矩阵，解答过程虽无错误，但这个结果显然不是连续性方程的矩阵表示，实际上只相当于波函数的归一化，即Ψ+Ψ=1.而在笔者所了解到的一本量子力学学习辅导书中[3]，对连续性方

程矩阵表示问题的解答存在一些本质上的错误.因此本文试图对这个问题作一分析. 首先来看在任意力学量的表象中几率密度是否也满足连续性方程.设算符具有连续的本征值，对应于本征值q的本征函数为|q〉，在Q表象中，态矢量|Ψ〉满足方程

iћΨ′〉〈q′|Ψ〉dq′)〈Ψ|q〉-〈q|Ψ〉〈Ψ|q′〉〈q′′ (1)

其中|〈q|Ψ〉|2即Q表象中的几率密度，′〉为哈密顿算符在Q表象中的矩阵元.哈密顿算符为，若不指定具体的表象，哈密顿算符的矩阵元′〉是无法具体表出的，式(1)也就无法化成连续性方程的形式.

若指定具体的表象，式(1)是否就可以化成连续性方程的形式？这里以动量几率密度为例进行说明.在动量表象中，波函数满足方程[4] ,t)U(iћ,,t)U*(iћ,t)] (2)

其中,,t)|2为动量几率密度.由于势能的具体形式未知,(2)式一般不能化成连续性方程的形式.例如，对于线性势能，在动量表象中，ћ ，是对动量的一次偏导数，把它代入式(2)，无法化成连续性方程的形式.而对于谐振子势μ，在动量表象中，μω2ћ，是对动量的二次偏导数，把它代入式(2)，可以化成连续性方程的形式，推导过程与坐标表象中的情形类似，有 ·,t)=0 (3)

,μω2ћ,,t)-c*,,t)] (4)

由此可见，对于处在任意势场中的粒子,除了在坐标表象中几率密度满足连续性方程外，在其他力学量表象中几率密度并不普遍满足连续性方程.

既然几率密度只有在坐标表象中才普遍满足连续性方程，在讨论几率密度所满足的连续性方程的矩阵表示时，不应在任意表象中进行讨论，只能限制在坐标表象.在坐标表象中，波函数Ψ,t)其实就是状态矩阵Ψ的矩阵元，只是这时矩阵元的序号是连续的或不可数的 [1,4].记，几率流密度矢量可写成下列的形式： ,ΨΨ′′′′′|Ψ′)〈Ψ (5)

现在构造下列矩阵： ①波函数矩阵Ψ ②微分算符矩阵 ③几率流密度矢量矩阵 ④几率密度矩

其中′′′′〉.显然，式(5)右边的矩阵元并不满足矩阵乘法法则.因此，矩阵无法通过矩阵和Ψ的运算构成.同样，矩阵W也无法由矩阵Ψ及其共轭矩阵构成.由矩阵W、和可构造连续性方程的矩阵表示： · (6)

现在讨论本文开始所提到的习题解答.在文献[3]中，作者首先写出连续性方程及几率流密度矢量的表达式： · (7)

(|Ψ〉〈Ψ|-|Ψ〉〈Ψ|) (8)

然后根据式(7)和(8)得出任意表象中连续性方程的矩阵表示.这种解法本质上是错误的，式(7)和(8)不依赖于任何表象，其中的算符 并没有具体的意义，实际上这两式

是无法推导出来的，写出这两式对应的任意表象中的矩阵元也就没有意义. 从本文的讨论可知，尽管连续性方程的矩阵表示写成与教材中的公式相似的形式，但其中的几率密度矩阵无法由波函数矩阵构成，几率流密度矢量矩阵也无法由波函数及微分算符矩阵构成.由此可见连续性方程与平均值公式、本征方程、薛定谔方程有很大的不同，后者即使在任意的表象中，都可由波函数及算符矩阵表达出来. [参 考 文 献]

【相关文献】

[1]周世勋.量子力学教程[M].北京:高等教育出版社,2006:130;29-30;106.

[2]熊钰庆,等.量子力学提要与题析[M].广州：华南理工大学出版社,1994:176-178. [3]张宏宝.量子力学教程学习辅导书[M]. 北京：高等教育出版社,2005：60-61. [4]曾谨言.量子力学卷I(第三版)[M].北京：科学出版社,2001,233;214. [5]曾谨言.量子力学卷II(第三版)[M].北京：科学出版社,2001：20.