三角形的证明测试卷(源于中考的试题)

参与试题解析

一．选择题（共9小题） 1．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）

25° 30° 35° A．B． C． 解答： 解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°﹣25°=65°， ∵△CDB′由△CDB反折而成， ∴∠CB′D=∠B=65°， ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故选D． 40° D． 2．（2012•潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．

A．25 B． 25 50 C． 25 D． 解答： 解：根据题意， ∠1=∠2=30°， ∵∠ACD=60°， ∴∠ACB=30°+60°=90°， ∴∠CBA=75°﹣30°=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵BC=50×0.5=25， ∴AC=BC=25（海里）． 故选D． 3．（2011•贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）

3.5 4.2 5.8 7 A．B． C． D． 解答： 解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3； ∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°， ∴AB=6， ∴AP的长不能大于6． 故选D． 4．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）

6 7 8 9 A．B． C． D． 考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 分析： 由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论． 解答： 解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN． ∵BM+CN=9 ∴MN=9， 故选D． 5．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）

11 5.5 7 3.5 A．B． C． D． 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求． 解答： 解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵DE=DG，DM=DE， ∴DM=DG， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， 在Rt△DEF和Rt△DMN中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF=S△MDG=故选B． =5.5 点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求． 6．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ） A．B． C． D． 解答： 解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：AB==15， 过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴CD===， ． 故选A 则点C到AB的距离是7．（2007•芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（ ）

1 2 3 A．B． C． 解答： 解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEH=∠ADB=90°； ∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°， ∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等）， ∴∠EAH=∠DCH（等量代换）； ∵在△BCE和△HAE中 ， ∴△AEH≌△CEB（AAS）； ∴AE=CE； ∵EH=EB=3，AE=4， ∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1． 故选A． 8．（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）

4 D．

A． B． C． 6 D． 解答： 解：∵△CEO是△CEB翻折而成， ∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°， ∴EO⊥AC， ∵O是矩形ABCD的中心， ∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6， ∴AE=CE， 222222在Rt△ABC中，AC=AB+BC，即6=AB+3，解得AB=3在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x， 222222AE=AO+OE，即（3﹣x）=3+x，解得x=， ∴AE=EC=3﹣=2． 故选A． ， 9．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（ ）

6 12 A．B． 解答： 解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°， ∴∠2=120°， ∵∠MON=30°， ∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°， 又∵∠3=60°， ∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°， ∵∠MON=∠1=30°， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， ∴A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， 32 C． D． A5B5=16B1A2=16， 以此类推：A6B6=32B1A2=32． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 10．（2011•怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 4 ．

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质． 分析： 首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长． 解答： 解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC， 在Rt△ABD中， ∵AD+BD=AB， ∴AD==4， 222故答案为：4． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形． 11．（2011•衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 7 ．

考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理． 专题： 压轴题；探究型． 分析： 先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长． 解答： 解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC===4， ∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE， ∴AE+BE=BC=4， ∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7． 故答案为：7． 点评： 本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 12．（2010•滨州）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为 ．

考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理． 专题： 压轴题；动点型． 分析： 要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解． 解答： 解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值． 取CE中点F，连接DF． ∵等边△ABC的边长为6，AE=2， ∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4， ∴CF=EF=AE=2， 又∵AD是BC边上的中线， ∴DF是△BCE的中位线， ∴BE=2DF，BE∥DF， 又∵E为AF的中点， ∴M为AD的中点， ∴ME是△ADF的中位线， ∴DF=2ME， ∴BE=2DF=4ME， ∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME， ∴BE=BM． 在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=∴BM=∴BE=∵EM+CM=BE ∴EM+CM的最小值为． =． ， ， 点评： 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用． 13．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 2 ．

考点： 含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度． 解答： 解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB， ∴∠ACB=∠FDB=90°， ∵∠F=30°， ∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）． 又AB的垂直平分线DE交AC于E， ∴∠EBA=∠A=30°， ∴直角△DBE中，BE=2DE=2． 故答案是：2． 点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°． 14．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．

考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数． 解答： 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案为：15． 点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中． 15．（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 5 cm．

考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 专题： 压轴题． 分析： 分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm． 解答： 解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE， ∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE， ∴BD=PD，CE=PE， ∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm． 答：△PDE的周长是5cm． 点评： 此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长． 16．（2008•陕西）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为

边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是 S2=S1+S3 ．

考点： 勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： 过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边． 解答： 解：过点A作AE∥BC交CD于点E， ∵AB∥DC， ∴四边形AECB是平行四边形， ∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED， ∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB， ∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°， 222∴∠DAE=90°，那么AD+AE=DE， 22222∵S1=AD，S2=AB=DE，S3=BC=AE ∴S2=S1+S3． 点评： 本题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题． 17．（2005•十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为 ．

考点： 勾股定理． 专题： 规律型． 分析： 根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答． 解答： 解：根据勾股定理： 2第一个三角形中：OA1=1+1，S1=1×1÷2； 22第二个三角形中：OA2=OA1+1=1+1+1，S2=OA1×1÷2=×1÷2； 22第三个三角形中：OA3=OA2+1=1+1+1+1，S3=OA2×1÷2=×1÷2； … 第n个三角形中：Sn=×1÷2=． 点评： 本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律． 三．解答题（共5小题） 18．（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 分析： （1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可； （2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 解答： （1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°， ∵在Rt△ACD和Rt△AED中 ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）； （2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=2． 点评： 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 19．（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；

（2）若CD=，求AD的长．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证； （2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解． 解答： （1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD=BD， ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠CAD+∠ACD=90°， ∠CBE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠CBE， 在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF=AC， ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴AC=2AE， ∴BF=2AE； （2）解：∵△ADC≌△BDF， ∴DF=CD=， 在Rt△CDF中，CF=∵BE⊥AC，AE=EC， ∴AF=CF=2， ∴AD=AF+DF=2+． =， =2， 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 20．（2007•福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

考平行线的性质；角平分线的性质． 点： 专动点型；探究型． 题： 分（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知析∠APB=∠PAC+∠PBD； ： （2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答； （3）根据P的不同位置，分三种情况讨论． 解解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E． 答∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD． ： ∵∠APB=∠PAE+∠PEA， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD； 解法二：如图2 过点P作FP∥AC， ∴∠PAC=∠APF． ∵AC∥BD，∴FP∥BD． ∴∠FPB=∠PBD． ∴∠APB=∠APF+∠FPB =∠PAC+∠PBD； 解法三：如图3， ∵AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°． 又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD． （2）不成立． （3）（a） 当动点P在射线BA的右侧时，结论是 ∠PBD=∠PAC+∠APB． （b）当动点P在射线BA上， 结论是∠PBD=∠PAC+∠APB． 或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°， ∠PAC=∠PBD（任写一个即可）． （c）当动点P在射线BA的左侧时， 结论是∠PAC=∠APB+∠PBD． 选择（a）证明： 如图4，连接PA，连接PB交AC于M． ∵AC∥BD， ∴∠PMC=∠PBD． 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠PBD=∠PAC+∠APB． 选择（b）证明：如图5 ∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度． ∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC． ∴∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD． 选择（c）证明： 如图6，连接PA，连接PB交AC于F ∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD． ∵∠PAC=∠APF+∠PFA， ∴∠PAC=∠APB+∠PBD． 点此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分评线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路． ： 21．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）如图1，DE与BC的数量关系是 DE=

BC ；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 分析： （1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC； （2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE； （3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE． 解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵点D是AB的中点， ∴DB=DC， ∴△DCB为等边三角形， ∵DE⊥BC， ∴DE=BC； BC． 故答案为DE= （2）BF+BP=DE．理由如下： ∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF， ∴∠PDF=60°，DP=DF， 而∠CDB=60°， ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB， ∴∠CDP=∠BDF， 在△DCP和△DBF中 ， ∴△DCP≌△DBF（SAS）， ∴CP=BF， 而CP=BC﹣BP， ∴BF+BP=BC， ∵DE=∴BC=∴BF+BP=BC， DE， DE； （3）如图， 与（2）一样可证明△DCP≌△DBF， ∴CP=BF， 而CP=BC+BP， ∴BF﹣BP=BC， ∴BF﹣BP=DE． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

22．（2013•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 证明题． 分析： 求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可． 解答： 证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ∴AD=AE，AB=AC， 又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中 ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴BD=CE． 点评： 本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ADB≌△AEC．