初中三角函数知识点总结及典型习题共5页

初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a2b2c2 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 A的对边正0sinA1 a sinA sinAc斜边弦 (∠A为锐角) A的邻边余0cosA1 b cosA cosAc(∠A为锐角) 斜边弦 A的对边tanA0 正a tanA tanAb(∠A为锐角) A的邻边切 sinAcosB cosAsinB sin2Acos2A1 B 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 sinAcosBcosAsinB

由AB90 得B90A sinAcos(90A)cosAsin(90A) A 斜边 c 对a 边C b 邻边

5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 sin cos 30° 1245° 222260° 3212 32 tan 331 3 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 7、正切、的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增大而增大，

正弦定理、余弦定理

【基础知识点】

1. 三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝

111ab sin C＝bc sin A＝＝ca sin B； 2222．三角形中的边角不等关系: A>Ba>b,a+b>c,a-babc＝＝＝2R（外接圆直径）； sinAsinBsinC- 1 -

a2RsinA正弦定理的变式：b2RsinB；

c2RsinC4．正弦定理应用范围：

①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．

③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A为锐角

CCCbabaabaa∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．

ABAB2B1AB

a=bsinA bsinA(2)A为锐角或钝角 当a>b时有一解. 5．【余弦定理】

a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．

若用三边表示角，余弦定理可以写为

、

6．余弦定理应用范围：

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：a2b2c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

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铅垂线仰角俯角视线水平线视线

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i形式，如i1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么ihtan。 lh。坡度一般写成1:m的l αl

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

hih:l

3例1：已知在Rt△ABC中，C90°，sinA，则tanB的值为（ ）

453A． B． C． D．

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例2：4cos30sin60(2)1(20092008)0=______．

1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）

A．8米

B．83米

C．83米 3D．43米 3

2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ）

55A．5sin40° B．5cos40° C． D．

tan40°cos40°3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平

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线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A．83m B．4 m 31A B

BC h D

C．43m D．8 m

4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）

A．53 米 B． 10米 C．15米 D．103米

CA

5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（ ） A．3 B．5 C．52 D．

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6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为 米（精确到0.1）.（参考数据：2≈1.414 3≈1.732）

7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯 角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.

B

C

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8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．

（参考数据：21.141，31.732，62.449，以上结果均保留到小数点后两位．）

1 9．求值|32|20090133tan30°

02sin60°3tan30°1(1)200910. 计算：

3- 5 -