1、论文(定稿)(刘娟)(1)1

题目：单摆法测重力加速度分析与讨论学生姓名：学专号：业：指导教师：刘娟200807210120蒙占海物理学院（系）：物理与信息技术学院论文提交日期：2012-5-22宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)摘要

单摆法是测量重力加速度常用方法之一，但通常在力热实验当中，更多考虑了周期和摆长与重力加速度的关系，而忽略了周期数、摆球的线度及摆角等因素对重力加速度的影响。所以本论文将在考虑已学的两种因素的基础上着重系统的讨论周期数、摆球的线度及摆角等因素对重力加速度产生的影响。关键词：线度；摆角；重力加速度

I宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)Abstract

Bysinglependulummeasureaccelerationofgravityisoneofthemostcommonlyusedmethodsformeasuringtheaccelerationofgravity,butusuallyintheheatexperiment,moreconsiderationofthecycleandthelengthofpendulumandthegravityaccelerationrelationship,whileignoringthenumberofcycles,balllineandswingangleandotherfactorsontheeffectsofgravityacceleration.Sothispaperwillconsiderthetwofactorshavebeenstudiedonthebasisofsystematicdiscussionofcyclenumber,thelineballandswingangleandotherfactorsontheimpactofgravityacceleration.

Keywords：Thelineoftheball;swingangle;AccelerationofgravityII宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)目

摘

录

要....................................................................................................................................................IAbstract..............................................................................................................................................II0前言...................................................................................................................................................11单摆法测重力加速度原理..........................................................................................................12单摆法测重力加速度实验误差分析.......................................................................................23影响重力加速度测定的因素及分析.......................................................................................33.1周期数与重力加速度的关系........................................................................................33.2摆球的线度与重力加速度的关系...............................................................................43.3摆角与重力加速度的关系.............................................................................................74测当地重力加速度.......................................................................................................................95结束语.............................................................................................................................................10参考文献：........................................................................................................................................10谢

词.................................................................................................................................................11III宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)0前言

重力是地球对物体万有引力的一个分力，则物体在重力作用下产生的加速度称为重力加速度。重力加速度的大小与地理纬度、相对海平面的高度有关，一般来说，在赤道附近的重力加速最小，越靠近两极,重力加速度越大[1]。普通物理学中用单摆法测量重力加速度，装置简单，测量手法便捷。但用此种方法测量，测量结果的精确性直接受到周期、摆长、周期数、摆球的线度、摆角以及周边环境等因素的影响，不同的测量条件将对重力加速度的测量产生不同的误差。本论文着重分析研究周期数、摆球的线度及摆角对重力加速度的测量产生的影响。并最终确定一组适合本地重力加速度的最佳测量条件，测出本地的重力加速度。

1单摆法测重力加速度原理

用一根不可伸长的细线，上端固定，下端挂一小球就构成了单摆（如图1）。将小球拉开一定夹角，松开手（忽略空气阻力和浮力），小球将在重力和张力的作用下做往复运动。

设线长为L,小球的质量为m，直径为d，任意时刻t绳与竖直方向的夹角为。

则经受力分析得小球所受合力的切向分量为

ptmgsin2n135nptmg1

2n1!3!5!

(1.1.1)

负号表示Pt与弧位移s的指向相反，利用级数将sin展开得

（1.1.2）

若很小（一般要求5）得

ptmg（1.1.3）

若忽略小球的线度，根据

ptmg

d2s

又根据Ptmat,at2则

dts

（忽略小球的大小）得LsL

d2ss

g

Ldt2d2x

根据简谐振动方程22x,得

dt2

即

g2,LT1宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)42Lg

T2（1.1.4）

2单摆法测重力加速度实验误差分析

单摆法测重力加速度实验误差主要来源于系统误差和随机误差。系统误差我们将在下一个问题中进行分析，本节着重对随机误差进行分析。

如下表1，是设计的以摆长L1m，摆角5的一组数据，T是50次全振动的时间t50T，d为摆球直径。

表1

次测量数用单摆L1m，5，t50T测g的数据

2345平均值1dicmLicmtis2.364100.14100.972.368100.15100.992.364100.14100.962.366100.15100.942.366100.14100.982.3656100.144100.968则根据不确定度UUAUB22（2.1.1）

为标准，仪是仪器误差，一般按仪器最小

其中UA

x

nn1ix2,UB

仪3分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算，也可按仪器级别计算或查表。

则

UAd0.75103cm,UAL0.25102cm,UAt0.86102又根据

d仪0.002cm,L仪0.05cm,t仪0.01s

所以得

UBd0.12102cm,UBL0.29102cm,UBt0.58102s

则

Ud0.0014cm0.002cmUL0.0039cm0.004cmUt0.012s0.02s

即

d2.3660.002cmL100.1440.004cmt100.970.02s

2宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)又因为

d4L

242n2g2tn

2dL2

2t

(2.1.2)

则n50

g9.738ms2g

g得

2Ld2Ld224L

2d2

4t2t2(2.1.3)

g0.004ms2即

g9.7380.004ms2在这个计算过程中，学生能够体会到不确定度在数据中的意义，并能很好的掌握不确定度在实验当中的应用。

3影响重力加速度测定的因素及分析

根据原理，由于忽略了空气浮力和阻力，并设角很小，可以看出影响重力加速度不仅与周期、摆长有关，还与周期数、摆球的线度、空气浮力和阻力及摆角等因素有关。

实验仪器：使用北京青锋仪器厂出厂的单摆仪器。

3.1周期数与重力加速度的关系

在温度为15C的条件下，去摆角4，线长51.8cm，摆球的直径为2.398cm则摆长为50.601cm，改变周期数6次，测出相应的周期。

表2对不同周期数的测量数据及处理

周N30期4050607080123456平均值42.87542．87642.87842.87342.87242.87542.875057.09357.09157.08857.09157.08557.08757.089171.29471.29171.29071.28971.29971.29071.2922385.45185.45085.45785.45085.45685.45385.454199.76299.75899.76499.76099.76399.76199.7616114.058114.059114.055114.062114.061114.065114.0583宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)不确定度0.00110.00140.00160.00150.00240.0013

根据

42Lg

T2gg

处理得表3

2Ld2Ld224L

2d2

4t2t2表3对不同周期数测得的重力加速度值

周期数

309.67270.0095409.74000.0085509.75580.0078609.78820.0089709.76530.011809.75760.0094gmsgms22根据表3结果得出重力加速度与周期数的关系

图2周期数与重力加速度的关系

我们知道，我们宁夏的重力加速度值约为9.7400ms2，在空气浮力和阻力以及电子表等产生误差的情况下，根据图2可以看出，在实验里测重力加速度周期数一般可选取40次。

3.2摆球的线度与重力加速度的关系

用单摆测重力加速度。使用公式T2处理。

⑴摆角很小，可认为sin。⑵忽略空气浮力和阻力。

⑶认为摆线质量为0，并不可伸长。

4L，在推导这个公式时做了四个近似g宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)⑷摆球看成一个质点。由此看出，适合T2L的单摆是满足以上四个条件的，那在实验室里采gL测重力加速度会造成多大的影响呢？g用的单摆，其摆球的大小对使用T2前三个近似处理我们任然使用，根据（1.1.3）式则知切向力对转动轴O′的转动力矩M为：

MPtLmgL

L为摆球重心O到转轴O的距离，即LLR

(3.2.1)

在这个力矩作用下，单摆得到角加速度

d22dt(3.2.2)

又因为

M2

,ImR2mL2,所以I5



mgL

2I22R5gL(3.2.3)

即

T2L2

(3.2.4)

由此得

42g2T2R2L5L

(3.2.5)

L导出的g上式就是考虑了摆球大小后的重力加速度公式，则它与由T242Lg相比较的

T282R2g5T2L(3.2.6)

从上式可以看出，g与摆球半径的平方成正比，那摆球大小与重力加速度还有什么关系呢？我将进一步分析

令单位体积空气浮力为0，小球体积为V、密度为1，则浮力为f0gV。浮力做功只与高度有关，是保守力，所以摆球在浮力和重力的共同作用下，机械能是守恒的，机械能的大小是2EEXEP

1

m2mgfy2

5宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)1dEmL2mgfL1cos2dt

2(3.2.7)

摆球达到最大偏角0时,

d00所以dtEmgfL1cos0(3.2.8)

则能量方程变为

12dmLmgfL1cosmgfL1cos02dt

2(3.2.9)

得

d2mgfcoscos0dtmL

12coscos0d由cos12sin2122mgfdtmL

12则2



coscos02sin20sin2

22

（3.2.9）式可写为

202mgf22sinsind22mL

1212dt

(3.2.10)

令Ksin

0,sin2sin

2

0则sin

2121K

2sin22mgfmL

12dt

上式中t的积分限为0~

时，的积分限为0~，则4212mLT4mgf

mL=4mgf

121K

202sin2d12

01223441Ksin14Ksin

22

12mL2mgf



1219401sinsin

42642

(3.2.11)

若0很小时，忽略了括号中第二项及后面各项，则得

6宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)12mLT2mgf



(3.2.12)

将f0gV，1

m

代入上式得V

42L1g

T210

1

(3.2.13)

由（3.2.13）定的影响

式可以看出，摆球密度和周边环境对重力加速度的测量有一

3.3摆角与重力加速度的关系

对图1的受力分析还可以表示为

d2mgsinmL2dt则震动周期为

L12123220T212sin22sin40

g22242忽略二阶以上小项后，重力加速度的表达式为

42L120g1sin2T22(3.3.1)

(3.3.2)

而在很小时，可忽略0的影响，如（1.1.4）式，角振幅0究竟多小时才算是最合理的呢？

由于忽略0项，则g引入的相对误差为

Er

g120sing22(3.3.3)

则根据（3.3.3）式取几组0所引起的相对误差Er（如表4）。

表4

0Er%30.034340.006150.0591100.3798150.8519由表4可以看出04时，其引起的相对误差Er最小。我们还可以用实验来验证。

在温度为15C的条件下，其摆长L0.50101m,摆球直径为d2.364cm,取单摆周期数40次，改变5次摆角测出周期t及数据处理（表5，表6，图3）。

L0.50100.0005m

表5不同摆角下的测量数据及处理

7宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)t(s)N摆角3°4°5°10°15°123456平均值不确定度由(1.1.4)式和56.95356.94556.95156.95056.94456.94656.94820.003856.78756.78556.78056.79456.79556.78356.78730.006156.87056.86656.87256.87756.86156.86956.86850.005657.00657.00957.00557.02057.01757.00857.01080.006357.23057.23657.24157.23857.23457.23057.23480.0045ErTl

gg得

表6对不同摆角测得的重力加速度值

摆角

gm/s2ErTl3°4°9.73350.01235°9.70560.012510°9.67680.014815°9.64080.01709.68820.00197根据表5测量的结果和表6的数据可得重力加速度与摆角的关系变化（如图3）。

图3重力加速度与摆角的关系

1

按微小误差准则，应当是由于忽略0项引入的误差小于其它项误差的才可

3以，则由表4和表6相比较，可看出在04时，Er

81

ErTl[3]。但又根据图3，3宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)则知不是摆角越小测量值越精确，当摆角很小时，操作引入的误差增长更快，当摆角振幅增大时，单摆的运动和简谐运动的差异增大，对测重力加速度产生的误差增大，并且可以根据本地重力加速度的理论计算可知，摆角一般在4左右。

4测当地重力加速度

根据力热实验中周期和摆长与重力加速度的关系和前面的分析，将选择如下实验装置。

在温度15的条件下，取摆长约为50cm，摆角4，周期数为40次的单摆进行试验，其摆线长为L，摆球直径为d，40次全振动所需时间t40T

数据记录如表7

表7测当地重力加速度的数据记录

测量次数项dicmLcmticm123456平均值则根据（2.1.1）式得2.3722.3702.3722.3742.3722.3742.372350.2250.2150.2250.2250.2150.2350.218357.53257.53857.52757.53057.53157.53257.5317d2.37230.0018cmL50.2180.051cmt57.53170.0038cm

又根据（2.1.2）式得

d4L

29.741mg2s2t40

2根据（2.1.3）式得

g0.013m即

s2s2综上可以看出在学生单摆实验中，选择摆长为1m，摆角小于5及周期数选择50次还是比较合理的

9g9.740.02m宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)5结束语

在学生单摆实验中，一般选择摆长为1m，摆角小于5及周期数为50次，而本论文经分析、实验得出最合理的单摆测重力加速度其摆长为50cm，摆角为4，周期数选择40次。整体来看，学生实验的设计还是比较合理。

参考文献：

[1]杨述武.普通物理实验（力热部分）第三版M.北京：高等教育出版社，2005：69-111.

[2]张小平.对《用单摆测当地重力加速度》实验误差分析J.湖北中小学实验室:2001年04期.

[3]郭文香.单摆测重力加速度误差分析J.张家口师专学报:2000年02期.

10宁夏师范学院2012届本科毕业论文(设计)谢词

本篇论文是在老师的精心指导下完成的，从选题到论文内容都给予了我精心的指导和严格的教诲，无论从学术水平还是学术造诣上都使我受益非浅,在这里我衷心的感谢我的指导老师蒙占海对我的指导和启发。没有他的指导和帮助，我是不可能顺利圆满地完成论文的工作。

11