人教数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．

（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明； ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．

（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=

1，求BE2+DG2的值． 2【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25． 【解析】

分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；

②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；

（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；

（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和． 详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；

②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG≌△DCE， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE， 又∵∠CBG+∠BHC=90°， ∴∠CDE+∠DHG=90°， ∴BG⊥DE．

（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，

BCCGb， DCCEa又∵∠BCG=∠DCE， ∴△BCG∽△DCE， ∴∠CBG=∠CDE，

∴

又∵∠CBG+∠BHC=90°， ∴∠CDE+∠DHG=90°， ∴BG⊥DE． （3）连接BE、DG．

根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1， ∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°

∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．

点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．

2．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H． （1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；

（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°． 【解析】

试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，

∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；

（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；

（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．

试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCG； ②AG⊥BE．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°， 在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE=∠DCF， ∵∠DAG=∠DCG， ∴∠DAG=∠ABE， ∵∠DAG+∠BAG=90°， ∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°， ∴AG⊥BE；

（2）由（1）可知AG⊥BE．

如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．

∴∠MON=90°， 又∵OA⊥OB， ∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°， ∴∠OAN=∠OBM． 在△AON与△BOM中，

∴△AON≌△BOM（AAS）． ∴OM=ON，

∴矩形OMHN为正方形， ∴HO平分∠BHG．

（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．

与（1）同理，可以证明AG⊥BE．

过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N， 与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM， 可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG， ∴∠BHO=45°．

考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质

3．如图①，在等腰RtABC中，BAC90，点E在AC上(且不与点A、C重合)，在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使CED90，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

1请直接写出线段AF，AE的数量关系；

2①将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断

线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

②若AB25，CE2，在图②的基础上将CED绕点C继续逆时针旋转一周的过

程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）①AF【解析】 【分析】

2AE②42或22.

1如图①中，结论：AF2AE，只要证明AEF是等腰直角三角形即可； 2①如图②中，结论：AF2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明

EKF≌

EDA再证明AEF是等腰直角三角形即可；

②分两种情形a、如图③中，当ADAC时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当

ADAC时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可. 【详解】

1如图①中，结论：AF2AE．

理由：四边形ABFD是平行四边形，

ABDF，

ABAC， ACDF， DEEC， AEEF，

DECAEF90， AEF是等腰直角三角形， AF2AE．

故答案为AF2AE．

2AE．

2①如图②中，结论：AF

理由：连接EF，DF交BC于K． 四边形ABFD是平行四边形，

AB//DF，

DKEABC45，

EKF180DKE135，EKED，

ADE180EDC18045135， EKFADE， DKCC， DKDC，

DFABAC， KFAD，

在EKF和EDA中， EKEDEKFADE， KFADEKF≌EDA，

EFEA，KEFAED，

FEABED90，

AEF是等腰直角三角形，

AF2AE．

②如图③中，当ADAC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知

EHDHCH2，AH(25)2(2)232，AEAHEH42，

如图④中当ADAC时，四边形ABFD是菱形，易知

AEAHEH32222，

综上所述，满足条件的AE的长为42或22． 【点睛】

本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．

4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=【解析】 【分析】

（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论. 【详解】

解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

15或12. 211AC=×60=30cm， 22∵CD=4t，AE=2t，

∴AB=

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，

1CD=2t，∴DF=AE； 2（2）能，

∵DF∥AB，DF=AE，

∴DF=

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10， ∴当t=10时，AEFD是菱形；

（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况： ①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

15， 2

则AE=2AD，即2t2(604t)，解得：t=12， 综上所述，当t=

15或12时，△DEF为直角三角形. 2

5．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C处，若∠ADB42，则DBE的度数为______.

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB4，AD9.

（画一画）如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕

MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

（算一算）如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A,B分别落在点A，B处，若AG7，求BD的长. 3

【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：BD3 【解析】 【分析】

（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；

（2）【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作∠BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求； 【算一算】首先求出GD=9-

720，由矩形的性质得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行线的33性质得出∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，证出∠DFG=∠DGF，由等腰三

20，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，3可知FB′=FB，由此即可解决问题． 【详解】

角形的判定定理证出DF=DG=

（1）如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC=42°，

由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=故答案为21．

（2）【画一画】如图所示：

1∠DBC=21°， 2

【算一算】 如3所示：

∵AG=

7，AD=9， 3720， 33∴GD=9-

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，BC=AD=9， ∴∠DGF=∠BFG，

由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG， ∴∠DFG=∠DGF， ∴DF=DG=

20， 32∵CD=AB=4，∠C=90°，

16202∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=DFCD， 43322∴BF=BC-CF=91611， 3311， 3由翻折不变性可知，FB=FB′=∴B′D=DF-FB′=【点睛】

20113. 33四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．

6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．

（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；

（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，证明：PE=2PF．

【答案】（1）①证明见解析，②22；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；

②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；

（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系． 【详解】

（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°， ∴∠AOE+∠DOE=90°， ∵∠EPF=90°， ∴∠AOF+∠AOE=90°， ∴∠DOE=∠AOF， 在△AOF和△DOE中，

OAF＝ODE， OA＝ODAOF＝DOE∴△AOF≌△DOE， ∴AF=DE；

②解：过点O作OG⊥AB于G，

∵正方形的边长为23， ∴OG=

1BC=3， 2∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE， ∴∠AOF=15°， ∴∠FOG=45°-15°=30°， ∴OF=

OG=2，

cosDOG∴EF=OF2OE2=22；

（2）证明：如图2，过点P作HP⊥BD交AB于点H，

则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°， ∴HP=BP， ∵BD=3BP， ∴PD=2BP， ∴PD=2HP，

又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°， ∴∠HPF=∠DPE， 又∵∠BHP=∠EDP=45°， ∴△PHF∽△PDE，

PFPH1， PEPD2∴PE=2PF． 【点睛】

∴

此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

7．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α： （1）如图①，当α＝45°时，求BC与A′B′的交点D的坐标； （2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；

（3）若P为线段BC′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1）(662,6)；（2）(333,333)；（3）323AP323. 【解析】 【分析】

（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45°，A′B＝626，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；

（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标； （3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝

1OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围． 2【详解】

解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0）， ∴四边形OABC是边长为6的正方形， 当α＝45°时，

如图①，延长OA′经过点B，

∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°， ∴A′B＝626，

∴BD＝（626）×21262， ∴CD＝6﹣（1262）=626，

∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662，6）；

（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，

∵∠OC′B′＝90°，

∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N， ∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°， ∴△OMC′≌△C′NB′（AAS）， 当α＝60°时，

∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6， ∴∠C′OM＝30°，

∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3， ∴点B′的坐标为333,333；

（3）如图③，连接OB，AC相交于点K， 则K是OB的中点， ∵P为线段BC′的中点， ∴PK＝

12OC′＝3， ∴P在以K为圆心，3为半径的圆上运动， ∵AK＝32，

∴AP最大值为323，AP的最小值为323， ∴AP长的取值范围为323AP323.

【点睛】

本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（利用中位线定理得出点P的轨迹．

3）问解题的关键是8．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．

（1）求证：△AED≌△CEB′；

（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；

（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形． 【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D ∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠 ∴BC＝B'C，∠B＝∠B'

∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC ∴△ADE≌△B'EC （2）四边形AECF是菱形 ∵△ADE≌△B'EC ∴AE＝CE ∵AE＝CE，EF⊥AC

∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF ∴AF＝CF ∵CD∥AB

∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF ∴∠AEF＝∠EFA ∴AF＝AE ∴AF＝AE＝CE＝CF ∴四边形AECF是菱形 【点睛】

本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．

9．（问题发现）

（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为 ； （拓展探究）

（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； （解决问题）

（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2

，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转

60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．

【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8【解析】 【分析】

（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；

（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；

（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论． 【详解】

（1）∵AB=AD，CB=CD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD， 故答案为：AC垂直平分BD； （2）四边形FMAN是矩形．理由： 如图2，连接AF，

∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点， ∴AF=CF=BF，

又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE， ∴AD=DB，AE=CE，

∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC， 又∵∠BAC=90°，

∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°， ∴四边形AMFN是矩形； （3）BD′的平方为16+8分两种情况：

①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°， 如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，

或16﹣8

．

由旋转可得，∠DAD'=60°， ∴∠EAD'=30°， ∵AB=2

=AD'，

，AE=，

）2+（2

+

）2=16+8

，

∴D'E=AD'=∴BE=2

+

∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（如图所示：过B作BF⊥AD'于F，

②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，

旋转可得，∠DAD'=60°， ∴∠BAD'=30°， ∵AB=2

=AD'，

，AF=，

）2+（2或16﹣8

-）2=16﹣8．

，

∴BF=AB=∴D'F=2

﹣

∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（综上所述，BD′平方的长度为16+8【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．

10．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=

BC；

（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；

（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．

【答案】（1）见解析； （2）EF⊥BC仍然成立； （3）EF=【解析】

BC

试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=

BC，即可；

（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=

BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；

（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=试题解析：（1）连接AH，如图1，

BC，即可．

∵四边形OBFC是平行四边形， ∴BH=HC=BC，OH=HF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，AH⊥BC，

在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，

BC，

∴AH=

∵OA=AE，OH=HF，

=

∴AH是△OEF的中位线， ∴AH=EF，AH∥EF， ∴EF⊥BC，

BC=EF， BC；

∴EF⊥BC，EF=

（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，

∵四边形OBFC是平行四边形， ∴BH=HC=BC，OH=HF， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB=

BC，AH⊥BC，

BH）2﹣BH2=BH2，

在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（∴AH=BH=BC， ∵OA=AE，OH=HF， ∴AH是△OEF的中位线， ∴AH=EF，AH∥EF， ∴EF⊥BC，BC=EF， ∴EF⊥BC，EF=BC； （3）如图3，

∵四边形OBFC是平行四边形， ∴BH=HC=BC，OH=HF， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB=kBC，AH⊥BC，

在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC2=（k2-）BC2，

）

∴AH=BH=

BC，

∵OA=AE，OH=HF， ∴AH是△OEF的中位线， ∴AH=EF，AH∥EF， ∴EF⊥BC，∴EF=

BC．

BC=EF，

考点：四边形综合题．