分数乘除法讲义
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一、教学目标:
1、理解分数与分数相乘的意义，掌握分数与分数相乘的计算方法，能够正确进行计算；使学生知道分数乘分数的计算法则也适用于整数和分数相乘，把分数乘法统一成一个法则，进一步巩固分数乘法的计算法则；能够用分数与分数相乘的方法解决一些简单的实际问题。
2、理解倒数的意义，会判断两个数是否互为倒数；掌握求倒数的方法，能熟练得求一个数（0除外）的倒数。
3、使学生经历解决问题的探索过程，进一步培养观察、比较、分析、推理的能力，体验数学学习的乐趣。
二、教学重难点
准确计算，提高计算能力。
三、教学内容：
考点分析：
1、分数和分数相乘，表示求一个数的几分之几相加的和，分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。
2、因为整数可以看成分母是1的假分数，所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整数相乘。
3、三个数相乘，先把前两个数相乘，得出的积再和第三个数相乘。但为了简便，可以先把所有分数的分子和分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。
4、一个数和真分数相乘，所得的积小于这个数；一个数和假分数相乘，所得的积大于这个数。
5、解答分数乘法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。数量关系式是：单位“1” ×分率 = 分率对应的量。
6、乘积为1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。
7、1的倒数是1，0没有倒数，真分数的倒数都大于1，自然数的倒数都是分子为1的真分数，假分数的倒数小于或等于1。 一、分数乘法的算法：
1、分数与整数相乘，分子与整数相乘的积做 ，分母不变。
2、分数与分数相乘，用分子相乘的积做 ，分母相乘的积做 。 3、分数的化简：分子、分母同时除以它们的 。
2
4、关于分数乘法的计算：可在乘的过程中约分，也可将积的分子分母约分，提倡在计算过程中约分，这样简便。
3
5、约分的书写格式：把两个可以约分的数先划去，分别在它们的上下方写出约分后的数。
6、分数的基本性质： 。 二、分数除法
1、分数除法是分数乘法的逆运算，就是已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。除以一个数是乘以这个数的 ，除以几就是乘以这个数的几分之一。
2、比：两个数相除也叫两个数的比。比表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示，但仍读几比几。注：10/2=5/1，表示比，读做5比1，10：2=5，5是比值，比值是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 1、直接写出得数。
492999236001510007332 21350%268 54
25531212
829912×= ÷12= 18÷= ×3=
9320113441555×= ×= ÷10= 7× = 209151661413929×= 12÷= ÷3= 27÷=
5540320113634= 6= 2= = 53511432、脱式计算。能简算的要简算。
815297111171213713 9898 62424
11431111244()[1()]245 3625 510
3
5151557119() 75% [()] 6261668246
35314312×（＋） 15× ＋×
9446146
（-）÷
55783153131 24×（+） （+-）÷
8432462424（-）×4×9
分数应用题：
114915612÷9＋× 42÷（÷） 1111969一、基础理论
（一）分数应用题的构建
1、分数应用题是小学数学教学中的重点和难点。它大体可以分成两种： （1）基本数量关系与整数应用题基本相同，只是把整数应用题 中的已知数换成分数，解答方法与整数应用题基本相同。
（2）根据分数乘除法的意义而产生的具有独特解法的分数应用 题，这就是我们通常说的分数应用题。
2、分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：
4
（1）分率：表示一个数是另一个数的几分之几，这几分之几通 常称为分率。
（2）标准量：解答分数应用题时，通常把题目中作为单位“1”的那个数，称为标准量。
（3）比较量：解答分数应用题时，通常把题目中同标准量比较的那 个数，称为比较量。
（二）分数应用题的分类
1、 求一个数的几分之几是多少。这类问题特点是已知一个看作单
位“1”的数，求它的几分之几是多少，解这类应用题用乘法。即反映的是整体与部分之间关系的应用题，基本的数量关系是：整体量×分率=分率的对应的部分量；或已知一个看作单位“1”的数，另一个数占它的几分之几，求另一个数，即反映的是甲乙两数之间关系的应用题，基本的数量关系是：标准量×分率=分率的对应的比较量。
几
（1）求一个数的几分之几是多少：标准量× （分率）=是多少（分率对应
几
的比较量）。
几
（2）求比一个数多几分之几多多少：标准量× （分率）=多多少（分率对应
几
的比较量）。
几
（3）求比一个数多几分之几是多少：标准量×（1 + ）（分率）=是多少
几
（分率对应的比较量）。
几
（4）求比一个数少几分之几少多少：标准量× （分率）=少多少（分率对应
几
的比较量）。
几
（5）求比一个数少几分之几是多少：标准量×（1 - ）（分率）=是多少
几
（分率对应的比较量）。
2、 求一个数是另一个数的几分之几。这类问题特点是已知两个数
量，比较它们之间的倍数关系，解这类应用题用除法。基本的数量关系是：比较量÷标准量=分率。
（1）求一个数是另一个数的几分之几: 比较量÷标准量=分率（几分之几）。 （2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量=分率（多几分之几）。
（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量=分率（少几分之几）。
3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。这类问题特点是已知
一个数的几分之几是多少的数量，求单位“1”的量，解这类应用题用除法。基本的数量关系是：分率对应的比较量÷分率=标准量。
（1）已知一个数的几分之几是多少，求这个数: 是多少（分率对应的比较
几
量）÷ （分率）=标准量。
几
5
（2）已知一个数比另一个数多几分之几多多少，求这个数：多多少（分率对
几
应的比较量）÷ （分率）=标准量。
几
6
（3）已知一个数比另一个数多几分之几是多少，求这个数：是多少（分率对
几
应的比较量）÷（1 + ）（分率）=标准量。
几
（4）已知一个数比另一个数少几分之几少多少，求这个数：少多少（分率对
几
应的比较量）÷ （分率）=标准量。
几
（5）已知一个数比另一个数少几分之几是多少，求这个数：是多少（分率对
几
应的比较量）÷（1 – ）（分率）=标准量。
几
（三）分数应用题的基本训练 1、正确审题能力训练
正确审题是正确解题的前提。这里所说的审题能力，首先是根据题中的分率句，能准确分清比较量和标准量（看分率是谁的几分之几，谁就是标准量），且判断标准量已知（用乘法）或未知（用除法），为确定解题方法奠定基础；其次会把“比”字句转化成“是”字句；第三是能将省略式的分率句换说成比较详细的句子的能力。 2、画线段图的训练
线段图有直观、形象等特点。按题中的数量比例，恰当选用实线或虚线把已知条件和问题表示出来，数形结合，有利于确定解题思路。 3、量、率对应关系训练
量、率对应关系的训练是解较复杂分数应用题的重要环节。通过训练，能根据应用题的已知条件发挥联想，找出各种量、率间接对应关系，为正确解题铺
11
平道路。如：一批货物，第一次运走总数的5 ，第二次运走总数的4 ，还剩下143吨。量、率对应关系有：
1货物的总重量 “1” 第一次运走的重量 5 111
第二次运走的重量 4 两次工运走的重量 5 + 4
11
第一次比第二次少运的重量 4 — 5
1
第一次运走后剩下的重量 1—5
11
143吨 1— 5 — 4 3、 转化分率训练
在解较复杂的分数应用题时，常需要将间接分率转化为直接运用于解题的分
553
率。（1）已修总长的8 ，则未修是总长的1 — 8 = 8 ；（2）甲班人数是乙班的891
9 ，则乙班人数是甲班的8 ；（3）今年比去年增产5 ，则今年产量是去年的1 + 115 = 15
6
11
；（4）第一次运走总数的4 ，第二次运走剩下的5 ，则第二次运走的是总数的 113
[(1 — 4 ) × 5 ] = 20 等。
2、 由分率句到数量关系式训练
“分率句 数量关系式”的训练，是确保正确列式解题的训练。如：由1
“男生比女生少4 ”可列数量关系式：
1
女生人数 ×（1 — 4 ）= 男生人数；
1
女生人数×4 = 男生比女生少的人数；
1
男生人数 ÷（1 — 4 ）= 女生人数；
1
男生比女生少的人数÷4 =女生人数。 二、分析解答
1、求一个数的几分之几是多少。
几
（1） 求一个数的几分之几是多少： 标准量× （分率）=是多少（分
几
率对应的比较量）。
4
例1：学校买来100千克白菜，吃了5 ，吃了多少千克（反映整体 与部分之间的关系。）
4
白菜的总重量×5 = 吃了的重量
4
100 ×5 = 80 （千克） 答：吃了80千克。
5
例2：一个排球定价60元，篮球的价格是排球的6 。篮球的价格是多少元（反映甲乙两数之间的关系。）
5
排球的价格×6 = 篮球的价格 5
60 ×6 = 50 （元）
答：篮球的价格是50元。
例3：小红体重42千克，小云体重40千克，小新体重相当于小红和小云
1
体重总和的2 。小新体重是多少千克（两个数量的和做为标准量。）
1
（小红体重 + 小云体重）× 2 = 小新体重 （42 +40）× = 41 （千克） 答：小新体重41千克。
7
31
例4： 有一摞纸，共120张。第一次用了它的5 ，第二次用了它的6 ，两次一共用了多少张纸（所求数量对应的分率是两个分率的和。）
31
纸的总张数×（5 + 6 ）=两次共用的张数
31
120×（5 + 6 ）=92（张） 答：两次共用92张。
例5：国家一级保护动物野生丹顶鹤，2001年全世界约有2000只，我国占1
其中的4 ，其它国家约有多少只（所求数量对应的分率没有直接告诉。）
1
野生丹顶鹤的总只数×（1 — 4 ）= 其它国家的只数
1
2000×（1 — 4 ）= 1500（只）
答：其它国家约有1500只。
5
例6：小亮储蓄箱中有18元，小华储蓄的钱是小亮的6 ，小新储蓄的钱是2
小华的3 。小新储蓄多少钱（有两个单位“1”的量且都已知。）
52
小亮储蓄的钱× 6 ×3 = 小新储蓄的钱
52
18 × 6 ×3 = 10（元） 答：小新储蓄10元。
几
（2） 求比一个数多几分之几多多少：标准量× （分率）=多多
几
少（分率对应的比较量）。
例1：人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心
4
跳的次数比青少年多5 。婴儿每分钟心跳比青少年多多少次（所求数量和已知分率直接对应。）
4
青少年每分钟心跳次数×5 = 婴儿每分钟心跳比青少年多跳的次数
4
75 ×5 = 60（次）
答：婴儿每分钟心跳比青少年多跳60次。
几
（3） 求比一个数多几分之几是多少：标准量×（1 + ）（分率）
几
=是多少（分率对应的比较量）。
例1：人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。青少年每分钟约跳75次，婴
4
儿每分钟心跳的次数比青少年多5 。婴儿每分钟心跳多少次（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
8
4
青少年每分钟心跳次数 ×（1 + 5 ）=婴儿每分钟心跳的次数
9
4
75 × （1 + 5 ）=135（次）
答：婴儿每分钟心跳135次。
1
例2：学校有20个足球，篮球比足球多 4 ，篮球有多少个（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
1
足球的个数×（1+ 4 ）=篮球的个数
1
20×（1+ 4 ）=25（个）
答：篮球有25个。
几
（4） 求比一个数少几分之几少多少：标准量× （分率）=少少
几
（分率对应的比较量）。
1
例1：学校有20个足球，篮球比足球少 5 ，篮球比足球少多少个 （所求数量和已知分率直接对应。）
1
足球的个数×5 = 篮球比足球少的个数
1
20×5 = 4（个）
答：篮球比足球少4个。
几
（5）求比一个数少几分之几是多少：标准量×（1 - ）（分率）=是多少（分
几
率对应的比较量）。
1
例1：学校有20个足球，篮球比足球少 5 ，篮球有多少个（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
1
足球的个数×（1 — 5 ）=篮球的个数
1
20×（1 — 5 ）=16（个） 答：篮球有16个。
2
例2：一种服装原价105元，现在降价7 ，现在售价多少元（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
2
服装的原价×（1 —7 ）= 现在售价
2
105×（1 — 7 ）=75（元）
答：现在售价是75元。 2、求一个数是另一个数的几分之几。
（1）求一个数是另一个数的几分之几: 比较量÷标准量=分率（几分之几）。
例1：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。梨树的棵数是苹果树的几分之几（找准标准量。）
9
梨树的棵数÷苹果树的棵数 =梨树的棵数是苹果树的几分之几
10
3
15÷20 = 4
3
答：梨树的棵数是苹果树的4 。
例2：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数是梨树的几倍（找准标准量。）
苹果树的棵数÷梨树的棵数 =梨树的棵数是苹果树的几倍
1
20÷15= 13
1
答：苹果树的棵数是梨树的13 倍。
（2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量=分率（多几分之几）。
例1：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数比梨树多几分之几（相差量是比较量。）
苹果树比梨树多的棵数 ÷梨树树的棵数=多几分之几
1
（20—15）÷15 = 3
1
答：苹果树的棵数比梨树多3 。
（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量=分率（少几分之几）。
例1：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。梨树的棵数比苹果树少几分之几（相差量是比较量。）
梨树比苹果树少的棵数÷苹果树的棵数 =少几分之几
1
（20—15）÷20= 4
1
答：梨树的棵数比苹果树少4 。 3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 （1） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数: 是多少（分率
几
对应的比较量）÷ （分率）=标准量。
几
4
例1：一个儿童体内所含水分有28千克，占体重的5 。这个儿童 的体重有多少千克（反映整体与部分之间的关系）
4
体内水分的重量÷ 5 =体重
4
28 ÷ 5 = 35（千克）
答：这个儿童体重35千克。
2
例2：一条裤子的价格是75元，是一件上衣的3 。一件上衣多少元（反映甲乙两数之间的关系）
10
2
裤子的单价÷3 =上衣的单价
21
75÷3 =1122 （元）
11
1
答：一件上衣1122 元。
例3：水果店运一批水果。第一次运了50千克，第二次运了70
1
千克，两次正好运了这批水果的4 。这批水果有多少千克（两个已知数量的和对应分率。）
1
（第一次运的重量+第二次运的重量）÷4 = 这批水果的重量
1
（50+70）÷4 =480（千克）
答： 这批水果480千克。
1
例4：一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的4 ，第二
5
小时行了全程的18 ，两小时行了114千米。两地之间的公路长多少千米（已知数量对应的分率是两个分率的和。）
15
两小时行的路程÷（4 + 18 ）=两地之间的公路长度
15
114÷（4 + 18 ）=216（千米）
答：两地之间的公路长216千米。
3
例5：一桶水，用去它的4 ，正好是15千克。这桶水重多少千克 （已知数量和分率直接对应。）
3
用去的重量÷4 =这桶水的总重量
3
15÷4 =20（千克）
答：这桶水重20千克。
5
例6：小红家买来一袋大米，吃了8 ，还剩15千克。买来大米多少千克（已知数量和分率不直接对应。）
5
剩下的重量÷（1— 8 ）= 买来大米的重量
5
15÷（1— 8 ）= 40（千克）
答： 买来大米40千克。
4
例7：光明小学航模小组是生物小组的5 ，生物小组的人数是美术小组的1
3 。航模小组有8人，美术小组有多少人（有两个单位“1”的量且都未知。）
41
航模小组的人数÷5 ÷3 = 生物小组的人数
41
8÷5 ÷3 = 30（人）
11
答：生物小组有30人。
12
3
例8：商店运来一些水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的4 ，同时又3
是橘子的5 。运来橘子多少筐（有两个单位“1”的量，一个已知，一个未知。）
33
苹果筐数×4 ÷5 = 橘子的筐数
33
20×4 ÷5 = 25（筐）
答：橘子有25 筐。
（2）已知一个数比另一个数多几分之几多多少，求这个数：多多少（分率对
几
应的比较量）÷ （分率）=标准量。
几
1
例1：某工程队修筑一条公路。第一周修了这段公路的4 ，第二周修筑了这
2
段公路的7 ，第二周比第一周多修了2千米。这段公路全长多少千米（需要找相差数量对应的分率。）
21
第二周比第一周多修的千米数÷（ 7 — 4 ）=公路的全长
21
2÷（ 7 — 4 ）=56（千米）
答：这段公路全长56千米。
（3）已知一个数比另一个数多几分之几是多少，求这个数：是多少
几
（分率对应的比较量）÷（1 + ）（分率）=标准量。
几
1
例1：学校有20个足球，足球比篮球多 4 ，篮球有多少个（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
1
足球的个数÷（1+ 4 ）=篮球的个数
1
20÷（1+ 4 ）=16（个）
答：篮球有16个。
（4）已知一个数比另一个数少几分之几少多少，求这个数：少多少（分率对
几
应的比较量）÷ （分率）=标准量。
几
例1：某工程队修筑一条公路。第一天修了38米，第二天了42米。第一
1
天比第二天少修的是这条公路全长的28 。这条公路全长多少米（需要找相差分率对应的数量。）
1
第一天比第二天少修的米数÷28 =公路的全长
12
1
（42 — 38）÷28 =112（米）
答：这段公路全长112米。
（5）已知一个数比另一个数少几分之几是多少，求这个数：是多少（分率对
几
应的比较量）÷（1 – ）（分率）=标准量。
几
1
例1：学校有20个足球，足球比篮球少 5 ，篮球有多少个（需 将分率转化成所求数量对应的分率。）
1
足球的个数÷（1—5 ）=篮球的个数
1
20÷（1—5 ）=25（个）
答：篮球有25个。
4、较复杂的分数应用题。
例1：学校食堂九月份用煤气640立方分米，十月份计划用煤气是九月份91
的10 ，而十月份实际用煤气比原计划节约12 。十月份比原计划节约用煤气多少立方分米（明确题中的三个数量，把那两个数量看做单位“1”，所求数量对应的分率。）
91
九月份用煤气的体积×10 ×12 =十月份比原计划节约用煤气的体积
91
640×10 ×12 =144（立方分米）
答：十月份比原计划节约用煤气144立方分米。
例2：鞋厂生产皮鞋，十月份生产的双数与九月份生产的双数的比是5∶4。十月份生产2000双，九月份生产多少双（比和已知数量不对应，不是按比例分配的应用题，需把比转化成分率。）
5
解法一：十月份生产的双数是九月份生产的双数的4 。
5
十月份生产的双数÷4 = 九月份生产的双数
5
2000÷4 = 1600（双）
4
解法二：九月份生产的双数是十月份生产的双数的5 。
4
十月份生产的双数×5 = 九月份生产的双数
4
2000×5 = 1600（双）
答：九月份生产1600双。
例3：有一袋米，第一周吃了40%，第二周吃了12千克，还剩6千克。这袋大米原有多少千克（比较量是两个数量的和，且对应的分率没有直接告诉。）
（第二周吃的重量 + 还剩的重量）÷ （1 — 40%）=这袋大米原有的重量
13
（ 12 + 6 ）÷ （1 — 40%）= 30 （千克）
14
答：这袋大米原有30千克。
例4：张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总个数的比是1∶3。如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半。这批零件共有多少个（关键是要找出“再加工15个”对应的分率。需要把比转化成分率，找出隐含的分率。）
思考：有“第一天完成的个数与零件总个数的比是1∶3”可得出“第一天
1
完成的个数是零件总个数的3 ”；根据“如果再加工15个，就可以完成这批零
1
件的一半” 可得出“现在完成的个数是零件总个数的2 ”；所以“15个对应的
11
分率是（2 — 3 ）”。
11
再加的零件个数 ÷（2 — 3 ）= 这批零件共有的个数
11
15 ÷（2 — 3 ）= 90 （个）
答：这批零件共有90个。
1
例5：小红看一本故事书。第一天看了45页，第二天看了全书的4 ，第二天看的页数恰好比第一天多20%。这本书一共有多少页（关键是要找出“第一天看了45页”对应的分率。）
1
第一天看的页数×（1+20%）÷4 = 这本书一共的页数
1
45×（1+20%）÷4 =216（页） 答：这本书一共216页。
四、练习：
一、填空：
531、（1）平方米 ＝（ ）平方分米 立方米 ＝（ ）立方分米
8432 公顷 ＝（ ）平方米 升 ＝（ ）毫升
4533 时 ＝（ ）分 4 吨 ＝（ ）千克
5 （2）50平方分米 ＝（ ）平方米 36时 ＝（ ）日
450立方分米＝（ ）立方米 45毫升 ＝（ ）升 20分 ＝（ ）时 125平方米 ＝( )公顷
14
2、
11的倒数是（ ）；1的倒数是（ ）；的倒数是（ ）；( )没有倒数615
33、×8=11×=1＋=－1=1 5668834( )( )( ) 3925 ( )191
12 ÷（ ）＝（ ）×8 ＝÷（ ）＝2 ＋（ ） 二、直接写得数。
42111（1）6×0÷3＝ （2）7×8×（－）＝ （3）7×÷7×
537871＝ 7
353511（4）＋－＋＝ （5）1 ÷－÷1＝ （6）＋－－＝
71371322
三、选择合适的方法计算下列各题。
31119（1）（÷）×（3－）＋2 （2）×＋÷1＋（1－）
891310
（3）2005×
9 51325374 （4）51÷＋71÷＋91÷
334451002
（5）246×
3219632003 （6）2003÷2003
123369200415
四、填空
16
55715225的是（ ）；（ ）的是；（ ）的8 是16 ；（ ）是 10 的7 433411( )111131是的 ；的是( )；（ ）的是；（ ）的是； 53( )535343五、不计算,在 里填上“﹥”、“﹤”或“=”
31161143 × 3÷ 3 ÷ 252793451157157777 × × × ×1 ÷1 712757515555335555545 × ÷ ÷ 7137787838六、解方程 721824225x＝ x4＝ x＋x＝ X=30
68329155153
711118X－= 6x＋5×=40 X÷10 ＝
396
七、列式计算
1．宋秘书是一名公司打字员，最近准备打一份文件，如果每天打12页，3天
1后还剩下全部文件的没打完，请问：这份文件共有多少页
3
332．甲、乙两人在操场上跑步，甲跑了全程的，乙跑了全程的，已知乙比甲
85多跑了90米，求操场长多少米
16
3．小明读一本故事书，第一天读了全书的
32，第二天读了余下页数的，已知
57第二天比第一天多读了6页。这本故事书有多少页
4．某班有若干人，女生比全班总人数的人，求这个班共有多少人
24少9人，男生比全班人数的多1231517
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