黄冈中学2019届高三五月模拟考试

数学(理)试题

考试时间：2019年5月13日下午15∶00～17∶00 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知全集R，集合A{x|x10}，则集合CA等于( )

x2UA．{x|x1或x2} C．{x|x1或x2} 2．已知集合M{m|mi元素是( )

A．(1i)(1i) C．(1i)(1i)

n

，nN}，其中i2B．{x|x1或x2} D．{x|x1或x2} 1，则下面属于M的

B．(1i)(1i) D．1i

1i3．如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例

如3.273，0.60，1.62,那么“xy”是“xy1”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列{a}的前n项和为S，且满足S1525π，则tana8的值是( )

A．3 B．3 C．3 D．33 nn5．已知//,a,B，则在内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线

6．抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记

2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为( ) A．1 B．1 C．3 D．1

1827．某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元/辆，购买B型汽车需8万元/辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元/辆，B型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买( )

A．10辆A型出租车，40辆B型出租车 B．9辆A型出租车，41辆B型出租车

C．11辆A型出租车，39辆B型出租车 D．8辆A型出租车，42辆B型出租车

8．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对

任意x[a,b]，都有|f(x)g(x)|1成立，则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“亲密函数”，区间[a,b]称为“亲密区间”．若f(x)xx2与g(x)2x1在[a,b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( ) A．[0,2] B．[0,1] C．[1,2] D．[1,0]

9．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标1 2 3 号为1,2,,9的9个小正方形(如右图1)，

4 5 6 使得任意相邻(有公共边的)小正方形所

7 8 9 涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”

图1 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件

的所有涂法共有( ) A．108种 B．60种 C．48种 D．36种

210．已知定义在[1,8]上的函数

348|x|,1x22则下列结f(x)1xf(),2x822论中,错误的是( ) ．．

A．f(6)1

B．函数f(x)的值域为[0,4]

C．将函数f(x)的极值由大到小排列得到数列{an},nN*，则{an}为等比数列

D．对任意的x[1,8]，不等式xf(x)6恒成立

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.

把答案填在答题卡中相应的横线上．)

11．已知二项式(2x1)展开式中第9项为常数项,则

2nxn_______．

12．设a是实数．若函数f(x)|xa||x1|是定义在R上的奇函

数，但不是偶函数，则函数f(x)的递增区间为_________．

13．随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列．若E1，则Dξ的值是

3________．

14．如图2，长方体ABCDABCD中，其中

ABa,，ADb,AAc外接球球心为点O，外接球体积为32π，若1242的最小值

111113ab为9,则A,C两点的球面距离为________．

4

15．设M(x1,y1)，N(x2,y2)为不同的两点，直线l:axbyc0，axby1c1，以下 axbyc22(1)不论为何值，点N都不在直线l上；

(2)若1，则过M，N的直线与直线l平行； (3)若1，则直线l经过MN的中点；

(4)若1，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交．

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分12分)

已知向量a(sinx,1cos2x),b(sinxcosx,cos2x1)，定义函数

2f(x)a(ab)

(Ⅰ)求函数f(x)最小正周期；

(Ⅱ)在△ABC中,角A为锐角，且AB7π,f(A)1,BC2，

12求边AC的长．

17．(本小题满分12分)

如图3，已知正三棱柱ABCABC的底面正三角形的边长是2，D是CC的中点，直线AD与侧面BBCC所成的角是45．

(Ⅰ)求二面角ABDC的大小； (Ⅱ)求点C到平面ABD的距离．

111111

18．(本小题满分12分)

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢

(512x220)x管和其中一个座位的总费用为8k100元，假设座

位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，

且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元.

(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域； (Ⅱ)当k100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

19．(本题满分12分)

已知二次函数f(x)axbx的图像过点(4n,0)，且f'(0)2n，nN．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

11())，'(0)n且a4，(Ⅱ)若数列{a}满足11fff(求数列{a}的通

2''naann11aann1n项公式；

4Tn3(Ⅲ)记b2．

nanan1，T为数列b的前n项和．求证：

nn

20．(本小题满分13分)

给定椭圆C:xy1(ab0)，称圆心在坐标原点O，半径

22a2b2为ab的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴上的一个端点到F距离为3． (Ⅰ)求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

(Ⅱ)若过点P(0,m)(m0)的直线l与椭圆C只有一个公共

点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，求m的值；

(Ⅲ)过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l,l，使得l,l与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l,l的斜率之积是否为定值,并说明理由.

2222121212

21．(本题满分14分)

已知函数f(x)x(xa)(xb)，点A(s,f(s)),B(t,f(t))．

(Ⅰ)若a0,b3，函数f(x)在(t,t3)上既能取到极大值，又

能取到极小值，求t的取值范围；

1,(Ⅱ)当a0时，f(x)lnx10对任意的x恒成立，求2xb的取值范围；

(Ⅲ)若0ab，函数f(x)在xs和xt处取得极值，且

ab23，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直.

参

一、

1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C 二、

11．10 12．[1,1] 13．5 14．2π 15．(1)(2)(3)(4)

93三、

16．解：

(Ⅰ)f(x)a(ab)cosxsinxcos2x1

2121(sin2xcos2x1)sin(2x) 2242∴T2ππ …………6分

2(Ⅱ)由f(A)1得)∴sin(2Aπ422π3π2A442π1sin(2A)1， 242 且2Aπ(π,5π) ，

4πA444∴

又∵

AB7π12，

∴Bπ …………10分

3在△ABC中，由正弦定理得：∴ACBCsinBsinA6 …12

BCACsinAsinB，

分

17．解：解法一

(Ⅰ)设侧棱长为x，取BC中点E， 则AE面BBCC，∴ADE45

11∴tan45AEED31x42 解得x22 …………3分

过E作EFBD于F，连AF，

则AFBD，AFE为二面角ABDC的平面角 ∵EFBEsinEBF33，AE3， ∴tanAFEAE3

EF故二面角ABDC的大小为arctan3 ………… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知BD面AEF，∴面AEF面ABD 过E作EGAF于G，则EG面ABD

EF30∴EGAE ∴C到面ABD的距离为AF102EG30……… 125分

x2解法二：

(Ⅰ)求侧棱长2 ……………3分

取BC中点E,如图建立空间直角坐标系Exyz，

则A(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2,0)

nAB0设n(x,y,z)是平面ABD的一个法向量，则由 nAD0得n(3,6,1) 而EA(0,0,3)是面BCD的一个法向量

∴cosEAnEAnEAn1010．而所求二面角为锐角，

1010即二面角ABDC的大小为arccos分 (Ⅱ)∵

dCAnn …………6

ABDCA(1,0,3) ∴点分

C到面的距离为

30………… 12518．解：

(Ⅰ)设摩天轮上总共有n个座位，则xk即nk，

nxkk(512x220)x512x220220y12k8kk()，

xx100x100定

义域kkx|0x,Z； …4x2………5分

(Ⅱ)当k100时，0x25 令y100(2000512xx20)

2000200020001024x32f(x)512x，则f(x)21024x0

xxx21000∴，x3512∴x5 ………

4…10分

当x(0,5)时，f(x)0，即f(x)在x(0,5)上单调减，

4当x(5,25)时，

4ymin在

x时

45f(x)0，即f(x)在x(,25)上单调增，

480取到，此时座位个数为100个． …………12分 19．解：

(Ⅰ)f(x)2axb，有题意知b2n，16na4nb0

1∴，a,b2n22则分

12x2nx,nN* ……………32(Ⅱ)数列{an}满足1f(1)又f(x)x2n，

an1anf(x)∵

11112n，∴2n， an1anan1an2(n1)n2n11246an41114(n)2an(nN*) 21an2(n)2(2n1)2当n1时,a14也符合 ……………7分

4112() (Ⅲ)baa(2n1)(2n1)2n12n1nnn1Tnb1b2bna1a2a2a3anan1111112(1)()()3352n12n112(1) ……………10

2n1∵2n13，2(11)4，

2n13 

分

又

2(114)2∴Tn2 …………2n13…12分

20．解：

(Ⅰ)由题意得：a3，半焦距c则b1椭圆C方程为xy1

222 3伴随圆”方程为xy4 ……………3分 (Ⅱ)则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：

22“

ykxm，

ykxm则整理得13k2x26kmx(3m23)0 x22y13所

2以，解6km413k3m303k1m① ……………5分

又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，

2222则有

|m|222222k12化简得

m22k21

②……………7分

联立①②解得，k1,m4，

所以k1，m2(m0)，则P(0,2) ……………8分

(Ⅲ)当l,l都有斜率时，设点Q(x,y),其中xy4，

设经过点Q(x,y),与椭圆只有一个公共点的直线为yk(xx)y，

22120020200000ykx(y0kx0)由，消去y得到x22y13x23kx(y0kx0)30 ……9

2分

即(13k2)x26k(y0kx0)x3(y0kx0)230，

226k(y0kx0)4(13k2)3(y0kx0)30，

经过化简得到：

分 因为xy4，所以有(3x)k2xyk(x3)0，

设l,l的斜率分别为k,k，因为l,l与椭圆都只有一个公共点，

所以k,k满足方程(3x)k2xyk(x3)0， 因而kk1，即直线l,l的斜率之积是为定值

202020200222(3x0)k22x0y0k1y00， ……………11

201212112202002012121 ……………13

3分

2221．解：

(Ⅰ)当a0,b3时，f(x)x3x,f'(x)3x6x，

令f'(x)0得x0,2，根据导数的符号可以得出函数f(x)在x0处取得极大值，在x2处取得极小值．函数f(x)在(t,t3)上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要t0且t32即可，即只要1t0即可． 所以的取值范围是t(1,0)． ………… 4分

1,(Ⅱ)当a0时，f(x)lnx10对任意的x恒成立， 2x1bxlnx10对任意的x,恒成立，

21,也即bxlnx1在对任意的x恒成立． 2xxlnx1令，g(x)xxx1lnx1x2lnx． …………6分 g'(x)12x2xx212x212记m(x)xlnx，则m'(x)2x，

xx即x2则

则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x故也是最小值点，所以m(x)m(2212)ln0， 22222，

从而g'(x)0，所以函数g(x)在[1,)单调递增． 函数g(x)所

min515g2ln2．故只要b2ln2即可．

222的取值范围

5(,2ln2] ………… 9分

b2以是

(Ⅲ)假设OAOB，即OAOB0， 即(s,f(s))(t,f(t))stf(s)f(t)0， 故(sa)(sb)(ta)(tb)1，

即st(st)aast(st)bb1． 由于s,t是方程f'(x)0的两个根，

故st2(ab),stab,0ab．代入上式得

2233ab(ab)29．……12分

9(ab)2(ab)24ab4ab23612，

ab即ab23，与ab23矛盾， 所以直直． 线OA与直线…………14分 OB不可能垂