7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
学 习 目 标 1．了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念． 2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点) 3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点) 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养． 核 心 素 养
初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°X围内的角．但是现实生活中随处可见超出0°～360°X围的角．例如体操中有“前空翻转体540°〞，主动轮和被动轮的旋转方向不一致，如何定义角才能解决这些问题呢？
1．任意角的概念
(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 正角 负角 定义 按逆时针方向旋转所形成的角 按顺时针方向旋转所形成的角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 零角 思考1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ [提示] 不一定，假设角的终边未作旋转，那么这个角是零角．假设角的终边作了旋转，
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那么这个角就不是零角．
(3)两角的和、互为相反角、两角的差：
对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β．射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β)．
2．象限角与轴线角
(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
(2)轴线角：终边在坐标轴上的角． 3．终边相同的角
与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？
[提示] 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．
1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)180°是第二象限角．( ) (2)－30°是第四象限角．( )
(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( ) [提示] (1)180°是轴线角．
(3)如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角． [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．如图，角α＝，β＝．
240° －120° [α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°．]
3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为．
{β|β＝k·360°－215°，k∈Z} [由终边相同的角的表示可知与－215°角终边相同
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的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]
4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是．
－3×360°＋195° [设－885°＝k·360°＋α，k∈Z，易得－885°＝－3×360°＋195°．]
[例1] (1)以下结论： 角的概念辨析 ①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．
其中正确的结论是．(填序号)
(2)(一题两空)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为．
[思路点拨] (1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．
(2)由正、负角的概念可得角的大小．
(1)②④ (2)－25° 395° [(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．
(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°．]
1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．
2．任意角的概念的理解 三个要素：顶点、始边、终边．
(1)用旋转的观点来定义角，可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
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(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转〞二字．
3．判断结论正确与否时，假设结论正确，需要严格的推理论证，假设要说明结论错误，只需举出反例即可．
[跟进训练]
1．(一题两空)时钟走了3小时20分，那么时针所转过的角的度数为，分针转过的角的度数为．
－100° －1 200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺1010时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于小时，故时针转过的角度为－
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×30°＝－100°；分针转过的角度为－×360°＝－1 200°．]
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[例2] α＝－1 910°． 终边相同的角与象限角 (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；
(3)假设与α终边相同的最大负角、最小正角分别为θ1，θ2，求θ1＋θ2．
[思路点拨] (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．
(2)将θ写成θ＝β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k的不同取值即可．
[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°， ∴－1 910°角与250°角终边相同，
∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限角． 法二：设α＝β＋k·360°(k∈Z)， 那么β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．
1 91011
令－1 910°－k·360°≥0，解得k≤－＝－5．
36036
k的最大整数解为k＝－6，相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°
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的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°．故θ＝－110°或－470°．
(3)因为与α终边相同的角为β＝k·360°＋250° (k∈Z)．
所以取k＝－1,0得与α终边相同的最大负角为θ1＝－110°，最小正角为θ2＝250°，所以θ1＋θ2＝140°．
1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与角终边相同的角时，其方法是先求出与角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
3．终边相同的角常用的三个结论： (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．
[跟进训练]
2．在0°～360°X围内，找出与以下各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．
[解] (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°X围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°X围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°X围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
3．α与330°角的终边相同，判断是第几象限角．
3
[解] 由α＝k·360°＋330°(k∈Z)，可得＝k·120°＋110° (k∈Z)．
3假设k ＝3n(n∈Z)，那么＝n·360°＋110°(n∈Z)，与110°角的终边相同，是第二
3象限角；
ααα- 5 - / 10
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假设k＝3n＋1(n∈Z)，那么三象限角．
假设k＝3n＋2(n∈Z)，那么四象限角．
α3
＝n·360°＋230°(n∈Z)，与230°角的终边相同，是第
α3
＝n·360°＋350°(n∈Z)，与350°角的终边相同，是第
所以是第二或第三或第四象限角．
3
α [探究问题] 区域角的表示 1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？
[提示] 不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，
其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}． 2．终边落在x轴上的角如何表示？ [提示] {α|α＝k·180°，k∈Z}．
3．假设角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，那么角α，β的终边存在怎样的关系？
[提示] 角α，β的终边落在同一条直线上． [例3] 写出终边落在如下图阴影部分的角的集合．
[思路点拨] 法一：先写出与30°及105°终边相同的角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．
法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可． [解] 法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成： ①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}． ②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}， ∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
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{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜
k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．
法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}． 与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，
k∈Z}，
结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，
k∈Z}．
1．(变条件)假设将本例改为如下图的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？ [解] 在0°～360°X围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β [解] 在0°～360°X围内，阴影部分(包括边界)表示的X围可表示为：150°≤β≤225°，那么所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． 表示区间角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°X围内的角α和β，写出最简区间{x|α [跟进训练] 4． 如下图，阴影部分内的角的集合S＝． {α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z} [因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°， k∈Z．所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．] 1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及限的判定． 2．本节课要重点掌握以下规律方法 - 8 - / 10 α所在象nword (1)求终边相同的角及区域角的表示． (2)象限角及nα、所在象限的判断． 3．本节课的易错点有以下几点 (1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角． (2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法． (3)角的终边X围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的X围，最后都加上k·360°，得到所求． 1．(多项选择题)以下说法，其中正确的有( ) A．－75°是第四象限角 B．265°是第三象限角 αnC．475°是第二象限角D．－315°是第一象限角 ABCD [由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确．] 2．－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，那么α＝． －960° [∵角α与120°角的终边相同， ∴α＝k·360°＋120°，k∈Z． 又∵－990°<α<－630°，∴－990° －40° [∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°．] 4．角β的终边在直线3x－y＝0上． (1)写出角β的集合S； (2)写出S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素． - 9 - / 10 word [解] (1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°X围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}，S2＝{β|β＝k·360°＋240°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°＋60°， k∈Z}＝{β|β＝n·180°＋60°，n∈Z}． 7 (2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－≤n311 ＜，n∈Z， 3 所以n＝－2，－1,0,1,2,3． 所以S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为： －2×180°＋60°＝－300°； －1×180°＋60°＝－120°； 0×180°＋60°＝60°； 1×180°＋60°＝240°； 2×180°＋60°＝420°； 3×180°＋60°＝600°． - 10 - / 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容