贵州省贵阳一中2015-2016学年高二上学期第一次月考理科数学试题(教师版)

（理科数学）

一．选择题（每小题5分，12小题，共60分）

1．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ A ） A．A与C对立 B．任何两个均互斥 C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥

2．下列各数中，最小的数是（ A ）

A．111111(2) B．105(8) C．200(6) D．75

3．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a,b分别为14，18，则输出的a为（B ） A．0 B．2 C．4 D．14

4．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为（ B ）

A． B． C．

D．

5．甲乙两位同学在高二的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列正确的是（ C）

A．x甲x乙；乙比甲成绩稳定 B．x甲x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲x乙；甲比乙成绩稳定

6．在区域A．

甲 8 7 2 7 8 乙 6 8 8 8 2 9 1 0 内任意取一点P（x，y），则x2+y2＞1的概率是（ C ）

B．

C．

D．

7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系

统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，2； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 关于上述样本的下列结论中，不正确的是（D ）

A．①可能是分层抽样，也可能是系统抽样 B．②可能是分层抽样，不可能是系统抽样

C．③可能是分层抽样，也可能是系统抽样 D．④可能是分层抽样，也可能是系统抽样 8．已知各项不为0的等差数列an 满足a42a723a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则D）

A．1 B．2 C．4 D．8

9．若a2，blogπ3，clog2sin0.5b2b8b11等于（

A．abc

B．bac

2π，则（ A ） 5 C．cab

D．bca

10．设a(1,2),b(1,1),且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ A ）

5555A．(,0)(0,) B．(,) C．[,0)(0,) D．(,0)

3333

11．函数f(x)Asin(x)(其中A0,0,||2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平

yπ37π12移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ C ） 3A．f(x)sin2x B．f(x)sin2x

2C．f(x)sin(2x) D．f(x)sin(2x)

33xO-1第11题图

12．已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x0,1时，f(x)2x1，

则函数g(x)f(x)lgx的零点个数为（ D ） A．6 B． 7 C．8 D．9

二．填空题（每小题5分，4小题，共20分）

13．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号785，567，199，810

(下面摘取了随机数表第7行至第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79

14．程序框图如图，如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入 k≤10（或k＜11）

x10y15．若x,y满足约束条件xy0，则

xxy40的最大值为3

16．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为

三．计算题（共70分） 17．（本小题10分）

某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

19 3x y 2 4 5 60 6 50 8 70 30 40 （1）画出散点图； （2）求回归直线方程；

（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？ 解：（1）根据表中所列数据可得散点图如图

（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算.

因此

5x5252505,y50,xi214555i1, 5yi213500,xiyi1380i1i15

138055506.5145552bxiyi5xyi1xii152于是可得

5x2；

aybx506.55，因此所求回归直线方程是17.5y6.5x17.5

（3）据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时y6.51017.582.5（百万元） 即这种产品的销售收入大约为82.5百万元

18．（本小题12分）

已知定圆C:x2(y3)24,定直线m:x3y60,过A(1,0)的一条动直线l与直线相交于N,与圆C相交于P,Q两点，

（1）当l与m垂直时,求出N点的坐标，并证明：l过圆心C; （2）当PQ23时,求直线l的方程.

解：(Ⅰ)直线l的方程为y3(x1). 将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C (Ⅱ) 当直线l与x轴垂直时,易知x1符合题意; 当直线与x轴不垂直时,设直线l的方

程为yk(x1),由于

PQ23CM, 由

k3k211,解得

k

4

3.

故直线l的方程为x1或4x3y40 19．（本小题12分） 已知函数f(x)2sin(x（Ⅰ）求f(x)的值域；

（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f(A)c3，求cos(AB)的值．

3)cosx.

3，b2，2解：（Ⅰ）f(x)(sinx3cosx)cosxsinxcosx3cos2x

1333． sin2xcos2xsin(2x)22232所以函数f(x)的值域是[（Ⅱ）由f(A)sin(2A3232,]． 22

3)33，得sin(2A)0， 322又A为锐角，所以A3，又b2，c3，

所以a249223cos由

37，a7．

ab23，得sinB，又ba，从而BA，cosB． sinAsinB77所以，cos(AB)cosAcosBsinAsinB123357 272147

20．（本小题12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量

，

，x=0.100﹣0.004

﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5， 分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种， 分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3）， （a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1）， （a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．

其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为： （a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5）， （a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）． ∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率

21．（本小题12分）

如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD22.M是AD的中点,P是

．

BM的中点.

（Ⅰ）若点Q在线段AC上，且满足AQ3QC,求证：PQ//平面BCD； （Ⅱ）若BDC60,求二面角CBMD的大小.

（Ⅰ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，

A M

P B

Q

D

1所以PO//MD且POMD；

2取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC, 所以, PO//QH且POQH， 所以，四边形OPQH为平行四边形， 所以PQ//OH，且OHBCD, 所以PQ//面BDC. （Ⅱ）如图建系,

则C(0,0,0),B(0,6,0),M(2,0,1),D(2,0,0)

P O C

H z A M Q 设面CBM的法向量n(x,y,z)

y B C

D x CB(0,6,0),CM(2,0,1)

nCB06y0,即 2xz0nCM0令x1,则n(1,0,2)

设面BMD的法向量m(x,y,z)

BD(2,6,0)DM(0,0,1)

mBD02x6y0即 mDM0z0令y1, 则m(3,1,0)

cosn,m12

所以二面角CBMD的大小为60

22．（本小题12分）对任意函数f(x),xD，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列xn

（Ⅰ）若定义函数f(x)xsinx(0x2)，且要产生一个无穷的常数列xn，试求输入的初始数据x0的值及相应数列xn的通项公式xn；

（Ⅱ）若定义函数f(x)2x3，且输入x01，求数列xn的通项公式xn．

解答：（Ⅰ）若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解， 即x（sinx﹣1）=0在[0，2π]上有解，则x=0或sinx=1，所以x=0或即当

故当x0=0时，xn=0；当．

（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，…（10分） 若x0=﹣1，则x1=1，

则xn+1=f（xn）=2xn+3，所以xn+1+3=2（xn+3）， 所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以

即数列{xn}的通项公式

，所以

，

．