如何用坐标方法解决几何问题

２０１４年・１（）月・下期　学术・理论　现代衾耄　如何用坐标方法解决几何问题　陈良俊（新疆阿克苏地区温宿县第二中学８４３１００）　摘要：平面几何中有关证明、计算等问题，除能运用平面几何的知识解决以外，还能运用坐标方法来解决，将几何问题转化为代数问　题，渗透了数形结合和转化的数学思想。　关键词：坐标法运用　平面几何中有关证明、计算等问题，除能运用平面几何的知识去　解决以外，还可以根据数形结合的思想，通过建立直角坐标系，将平　面图形置于平面直角坐标系中，先用坐标和方程表示相应的几何元　素：点、线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解　Ｙ　‘　决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得到几何问题的结　论，这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：　第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中　的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题。　第二步：通过代数运算，解决代数问题。　第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。　下面试举几例加以说明　例１：已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一　边的距离等于这条边所对边长的一半。　分析：如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，　本题关键是求出圆心０　的坐标，过０　作ＡＣ的垂线，垂足为Ｍ，Ｍ是　ＡＣ的中点，垂足Ｍ的横坐标与０　的横坐标一致。同样的方法可以求　出０　的纵坐标。　证明：如图，以四边形ＡＢＣＤ互相垂直的对角线ＣＡ，ＤＢ所在直　线分别为ｘ轴、Ｙ轴，建立直角坐标系，设Ａ（ａ，０），Ｂ（０，ｂ），ｃ　（Ｃ，０），Ｄ（０，ｄ）．　ｙ　ｅ　，　Ｘ　。　过四边形ＡＢＣＤ外接圆的圆心０　分别作ＡＣ、ＢＤ、ＡＤ的垂线，　垂足分别为Ｍ、Ｎ、Ｅ，则Ｍ、Ｎ、Ｅ分别是线段ＡＣ、ＢＤ、ＡＤ的中　点。由线段的中点坐标公式，得：　ａ＋ｃ　ｂ＋ｄ　ａ　．ｄ　ｘ＾。０＿ｘＭ：—　，Ｙｏ　＝ＹＮ＝丁，　Ｅ＝　，ＹＥ＝丁　所以ｊ　ｏ　Ｅ　ｌ＝√（寺＋手一寺）　＋（　＋孚一手）　＝÷　又Ｉ　Ｂｃ　ｌ＝￣／ｂ　＋ｃ　所以，１　０　Ｅ　Ｉ＝÷Ｉ　Ｂｃ　Ｉ　因此，如果内接于圆的四边形的对角线互相垂直，那么圆心到一　边的距离等于这条边所对边长的一半。①　例２：证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。　证明：如图，以直角三角形ＡＢＣ的直角顶点ｃ为坐标原点，两　条直角边ＣＢ，ＣＡ所在的直线为Ｘ轴、Ｙ轴，建立直角坐标系，有Ｃ　（０，１），设Ｂ（ａ，０），Ａ（０，ｂ）　根据线段中点坐标公式可得Ｄ（÷，导）　　ＩＤｃＩ＝√（寺）　＋（号）　＝÷　现代企业教育　Ｏ　ｃ（ｏ，Ｏ）　Ｂ（ａ’０）　Ｉ　ＡＤｆ＝√（号一ｏ）　＋（号＿ｂ）　＝÷　Ｉ　ＤＢ　Ｉ＝√（号一ａ）。＋（号一０）。＝÷　所以有：ｌ　ＤＣ　Ｊ＝Ｉ　ＡＤ　Ｉ＝ｌ　ＤＢ　Ｊ　因此，直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。　例３：证明三角形两边中点所连线段平行于第三边且等于第三边　的一半　ｙ　ｂ　ｃ　０　Ａ（０，Ｏ）　ａ（ａ，ｏ）　：　证明：如图，以ＡＡＢＣ中顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ所在直线为Ｘ　轴，建立直角坐标系，设Ｂ（ａ，０），Ｃ（ｂ，Ｃ）　根据中点坐标公式可得Ｄ（—　ｂｃ），　，Ｅ（　，号），由于Ｄ、　Ｅ两点纵坐标相同，所以ＤＥ平行Ｘ轴。　ＤＥ　：　＝　　ＩＡＢ　ｌ＝ａ　１　所以Ｉ　ＤＥ　Ｉ：÷Ｉ　ＡＢ　ｌ，　二　因此，三角形两边中点所连线段平行于第三边且等于第三边的一　半。　综上，用坐标方法解决几何问题，其基本步骤概括为　第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量　第二步：进行有关代数运算　第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系　总之，平面几何中有关证明、计算等问题，除能运用平面几何的　知识解决以外，还能运用坐标方法来解决，将几何问题转化为代数问　题，渗透了数形结合和转化的数学思想。　参考文献：　［１］普通高中课程标准实验教科书人教Ａ版数学必修２第１３１页　例５．　Ｍ０ＤＥＲＮ　ＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥ　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　４８５