第4章 模拟4信号的数字化

思考题

4-1 什么是低通型信号的抽样定理？什么是带通型信号的抽样定理？

4-2 已抽样信号的频谱混叠是什么原因引起的？若要求从已抽样信号ms(t)中正确地恢复出

原信号m(t)，抽样速率fs应满足什么条件？ 4-3 试比较理想抽样、自然抽样和瞬时抽样的异同点？ 4-4 什么叫做量化？为什么要进行量化？ 4-5 什么是均匀量化？它的主要缺点是什么？ 4-6 在非均匀量化时，为什么要进行压缩和扩张？

4-7 什么是A律压缩？什么是μ律压缩？A律13折线与μ律15折线相比，各有什么特点？ 4-8 什么是脉冲编码调制？在脉冲调制中，选用折叠二进码为什么比选用自然二进码好？ 4-9 均匀量化脉冲编码调制系统的输出信号量噪比与哪些因素有关？

4-10 什么是差分脉冲编码调制？什么是增量调制？它们与脉冲编码调制有何异同？

4-11 增量调制系统输出的信号量噪比与哪些因素有关？DM系统的量化噪声有哪些类型？ 4-12 何谓时分复用？它与频分复用有何异同？

4-13 什么是语音和图像的压缩编码？为什么要进行压缩编码？

习题

4-1 已知一低通信号m(t)的频谱M(f)为

⎧1−f200,

M(f)=⎨

,0⎩

f<200Hz

other

（公式T4-1）

（1）假设以fs=300Hz的速率对m(t)进行理想抽样，试画出已抽样信号ms(t)的频谱草图； （2）若用fs=400Hz的速率抽样，重做上题。

4-2 已知一基带信号m(t)=cos2πt+2cos4πt，对其进行理想抽样：

（1）为了在接收端能不失真地从已抽样信号ms(t)中恢复m(t)，试问抽样间隔应如何选择？ （2）若抽样间隔取为0.2s，试画出已抽样信号的频谱图。

4-3 已知某信号m(t)的频谱M(ω)如图T4-3(b)所示。将它通过传输函数为H1(ω)的滤波器后再进行理想抽样。

（1）抽样速率应为多少？

（2）若设抽样速率fs=3f1，试画出已抽样信号ms(t)的频谱；

（3）接收端的接收网络应具有怎样的传输函数H2(ω)，才能由ms(t)不失真的恢复m(t)。

m(t) H1(ω) m'(t) ms(t)ms(t)H1(ω) m(t) δT(t)发送端 图T4-3 (a) 信号的发送与接收系统

接收端

M(f) H1(ω) 11 ω −ω1 −2ω1 00ω1 2ω1 ω

图T4-3(b) 信号的频谱与传输函数

4-4 已知信号m(t)的最高频率为fm，若用图T4-4所示的q(t)对m(t)进行自然抽样，试确定已抽样信号频谱的表达式，并画出其示意图。[注：m(t)的频谱M(ω)的形状可自行假设]

q(t)

1

t −ττ T=12fm

图T4-4 抽样信号q(t)

4-5 已知信号m(t)的最高频率为fm，若用图T4-4所示q(t)的单个脉冲对m(t)进行瞬时抽样，试确定已抽样信号及其频谱表达式。 4-6 已知信号m(t)的最高频率为fm，由矩形脉冲对m(t)进行瞬时抽样，矩形脉冲宽度为2τ、幅度为1，试确定已抽样信号及其频谱的表达式。

4-7 设输入抽样器的信号为门函数Gτ(t)，宽度τ=20ms，若忽略其频谱第10个零点以外的频率分量，试求最小抽样速率。

4-8 设信号m(t)=9+Acosωt，其中A≤10V。若m(t)被均匀量化为40个电平，试确定所需的二进制码组的位数N和量化间隔Δv。

4-9 已知模拟信号抽样值的概率密度f(x)如图T4-9所示。若按四电平进行均匀量化，试计算信号量化噪声功率比。

f(x) 1

x 011 图T4-9 模拟信号抽样值的概率密度

4-10 采用13折线A律编码，设最小量化间隔为1个单位，已知抽样脉冲值为+635单位： （1）试求此时编码器输出码组，并计算量化误差；

（2）写出对应于该7位码（不包括极性码）的均匀量化11位码。（采用自然二进制码） 4-11 采用13折线A律编码电路，设接收端收到的码组为“01010011”、最小量化间隔为1个量化单位，并已知段内码改用折叠二进码： （1）试问译码器输出为多少量化单位；

（2）写出对应于该7位码（不包括极性码）的均匀量化11位码。 4-12 采用13折线A律编码，设最小的量化间隔为1个量化单位，已知抽样脉冲值为−95量化单位：

（1）试求此时编码器输出码组，并计算量化误差；

（2）写出对应于该7位码（不包括极性码）的均匀量化11位码。

4-13 信号m(t)=Msin(2πf0t)进行简单增量调制，若台阶σ和抽样频率选择得既保证不过载，又保证不致因信号振幅太小而使增量调制器不能正常编码，试证明此时要求fs>πf0。 4-14 对10路带宽均为300~3400Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输。抽样速率为8000Hz，抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，码元波形是宽度为τ的矩形脉冲，且占空比为1。试求传输此时分复用PCM信号所需的带宽。

4-15 单路话音信号的最高频率为4000Hz，抽样速率为8000Hz，以PCM方式传输。设传输信号的波形为矩形脉冲，其宽度为τ，且占空比为1：

（1）抽样后信号按8级量化，求PCM基带信号第一零点频宽；

（2）若抽样后信号按128级量化，PCM二进制基带信号第一零点频宽又为多少？

4-16 若12路话音信号（每路信号的最高频率均为4000Hz）进行抽样和时分复用，将所得的脉冲用PCM系统传输，重做上题。

7-17 已知话音信号的最高频率fm=3400Hz，今用PCM系统传输，要求信号量化噪声比S0Nq不低于30dB。试求此PCM系统所需的理论最小基带频宽。

部分习题参考答案

4-1 解：

（1）m(t)的频谱M(f)如图J4-1(a)所示，ms(t)的频谱Ms(f)如图J4-1(b)所示。

M(f)

1

f−200 2000

图J4-1(a) m(t)的频谱M(f)

Ms(f)

300

−900 −600 −3000300600900

图J4-1 (b) ms(t)的频谱Ms(f)

（2）fs=400Hz时，ms(t)的频谱如图J4-1(c)所示。

Ms(f)

400

−800 −4000400800图J4-1 (c) fs=400Hz时，ms(t)的频谱Ms(f)

ff4-4 解：

q(t)的傅立叶变换为

⎡ωτ⎤2πQ(ω)=τ⎢Sa()⎥⋅

2⎦T⎣

其中ω=2πfs=4πfm，

2

2πτ(n)δω−ω=∑s

Tn=−∞

∞2⎛nωsτ⎞Sa⎜⎟δ(ω−nωs) ∑2⎝⎠n=−∞∞

1τM(ω)∗Q(ω)=已抽样信号的频谱为Ms(ω)=2πT

n=−∞

2

Sa∑(nωmτ)M(ω−2nωm)

∞

其频谱如图所示：

Ms(f) Sa2(πfτ) −1τ −4fm −2fm 01τ2fm4fm

图J4-4 ms(t)的频谱Ms(f)

4-5 解：

f

⎡∞⎤

已抽样信号的时域表达式为ms(t)=⎢∑m(t)δ(t+nT)⎥∗q(t)

⎣n=−∞⎦⎡ωτ⎤

q(t)的频谱为Q(ω)=τ⎢Sa()⎥

2⎦⎣

所以ms(t)的频谱为

2

1∞τ2⎛ωτ⎞∞

Ms(ω)=[∑M(ω+2nωm)]⋅Q(ω)=Sa⎜⎟∑M(ω+2nωm)

Tn=−∞T⎝2⎠n=−∞

4-9 解：

分层电平为x1=−1，x2=−0.5，x3=0，x4=0.5，x5=1 量化电平为y1=−0.75，y2=−0.25，y3=0.25，y4=0.75 信号功率为S=

∫

1

−1

xp(x)dx=2∫x2(1−x)dx=1/6

0

2

1

量化噪声功率为

Nq=∑∫

i=1

4

xi+1

xi

(x−yi)p(x)dx=2[∫(x−0.25)(1−x)dx+∫(x−0.75)2(1−x)dx]=1/48

0

0.5

2

0.5

2

1

信号与量化噪声功率比为SNRq=S/Nq=8

4-12 解：

（1）∵−95<0，∴C1=0

∵64<95<128，∴C2C3C4=011 ∵95<64+8×4=96，∴C5=0 ∵95>64+4×4=80，∴C6=1 ∵95>80+4×2=88，∴C7=1 ∵95>88+4×1=92，∴C8=1

输出码组为00110111。

量化误差（译码输出量化误差）为95−(92+4/2)=1量化单位 （2）7位码0110111的均匀量化11位码为00001011100。

4-14 解：

PCM时分复用信号的信息速率为Rb=8×log28×10kbit/s=240kbit/s 二进制基带系统的最大频带利用率为ηb=2(bit/s)/Hz。 所以传输此信号所需最小带宽为Bc=Rb/ηb=120kHz。