了解学生的数学现实──以《列方程解决实际问题》为例

摘 要：方程的教学是学生初步接触代数思维。如果教师的教学方式不当，未能有效地激发学生学习的内在需求，反而会使方程成为一种负担。我们在课前调查了解学生数学现实的基础上，尝试通过问题情境的调整、线段图的运用及等量关系分析等途径帮助学生逐步实现从算术思维到代数思维的转变。

关键词：数学现实 课前调查 代数思维

荷兰教育家弗赖登塔尔提出过一个重要的观点：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定的客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。[1]在教学实践中，我试图通过课前调研了解学生的数学现实，以实现“为学习设计教学”。

荷兰教育家弗赖登塔尔提出过一个重要的观点：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定的客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。[1]在教学实践中，我试图通过课前调研了解学生的数学现实，以实现“为学习设计教学”。

一、问题提出

在小学阶段，学生有时用方程来解决问题往往是因为题目中明确规定“用方程解答”。面临下面的问题：西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？五年级学生用方程解答的准确率要高于算术解法，可是在没有特殊规定的情况下，学生还是宁愿用算术解法而不是方程来解决问题。除了学生自认为的列方程解决问题的书写格式太麻烦这一原因外，是否存在其他影响学生接纳方程的其他因素呢？如何帮助学生建立方程这一数学模型，体验方程的思想方法及价值？带着以上的问题我开始了对学生的课前调查。

二、调查的结果与分析

我将任教的两个班级学生按学号随机分为A、B、C三个小组，每组各为35、36、34人，分别完成以下调查卷。

[A组]西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？ 你能找到大雁塔与小雁塔高度之间的等量关系吗？请写出来。 根据写出的等量关系式你会列方程并解答吗？

[B组]西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米。 你能找到大雁塔与小雁塔高度之间的等量关系吗？请写出来。 [C组]

你能找到大雁塔与小雁塔高度之间的等量关系吗？请写出来。 根据写出的等量关系式你会列方程并解答吗？

安排上述三组调查题的目的在于：通过A组与B组的对比，了解直接问题指向（即通常所说的题目中的问题）是否会影响学生对等量关系的关注；通过A组与C组的对比，了解线段图是否可以促进学生对等量关系的理解；通过三个小组中等量关系式类型的对比，了解学生在怎样的问题情境中，最容易激活对等量关系的理解。

调查结果如下：

1．在A组与B组中，能够正确找到等量关系式的人数情况如下表：

组别 正确人数 正确率 A 16 45.7% B 28 77.8% B组学生正确找到等量关系的比例明显高于A组。A组写错等量关系的19人中，有16人都试图描述“小雁塔高度=？”，占测试学生的45.7%，而在B组中这样的学生只有5人，占13.9%。

2．A组与C组中，能够正确根据等量关系列出相应方程的人数情况如下表：

组别 正确人数 正确率 A 16 45.7% C 18 50% 两组学生的正确率看上去差不多，但错误的情况却差异甚大。在A组中，16人正确；5人没有列出等量关系，但列对了方程；其余14人等量关系、方程都列错了。在C组中，18人正确；除3人没写（不会），其余15人都列对了方程。这15人中有7人所列方程与所写的等量关系式不符，有意思的是，这7个学生写的等量关系都是：（大雁塔的高度+22）÷2=小雁塔的高度；还有8人写错或没写等量关系式，方程却列对了。

3．学生所列等量关系式的类型（有的列出两种以上的等量关系式）如下表： 类型 ① ② ③ ④ ⑤ 人次及百分比 A组 11（31.4%） 0 B组 25（69.4%） 0 C组 11（32.4%） 1（2.9%） 11（32.4%） 9（26.5%） 5（14.3%） 7（19.4%） 9（26.5%） 3（8.6%） 2（5.6%） 20（57.11（30.1%） 6%） ①大雁塔高度=小雁塔高度×2-22 ②大雁塔高度+22=小雁塔高度×2 ③小雁塔高度×2-大雁塔高度=22 ④（大雁塔高度+22）÷2=小雁塔高度 ⑤写错或没有写出等量关系式

B组与C组学生出现错误或没有写出等量关系式的比率明显低于A组。在三组学生中，只有一个学生想到“小雁塔高度×2-大雁塔高度=22”，其余类型等量关系在各组中出现的比率有所差异：在C组，每种类型均衡出现；在B组，出现最多的是“大雁塔高度=小雁塔高度×2-22”；在A组，各类型等量关系尝试的人数其实差不多，但“大雁塔高度=小雁塔高度×2-22”的正确率最高，而“（大雁塔高度+22）÷2=小雁塔高度”尝试的学生最多，有16人，但只有3人成功。

上述调查结果引发了我的思考── 1．问题情境：消除解题压力的切入点。

A组与B组所提供的情境区别在于前者有完整的条件与问题，而后者只有表示两个量关系的条件。结果A组能够找到等量关系的学生少于B组。

学生在五年的小学数学学习中，长期运用 “综合法”与“分析法”的策略解决问题，或是从条件入手一步步逼近所求问题，或是从问题入手寻求与之相关联的条件，从未将未知量与已知量融合于等量关系中进行分析。看来学生“不喜欢”方程不仅是因为格式麻烦，其根本原因是学生的思维方式习惯了直接指向未知量的算术思维。A答卷中的出示的问题驱使学生直接指向所求的问题，忽略条件中存在的多种数量之间的关系。有16名学生试图找到“小雁塔高度=？”的等量关系，而其中13人都写错了。B组中只描述了数量之间的关系，没有直接给出要求的问题，学生没有解决问题的压力，只是在分析的过程中觉得“大雁塔高度=？”最容易描述，所以大部分学生都选择了这样类型的等量关系。

2．线段图：促进学生构建问题表征。

许多研究表明，问题解决者的表征在解决问题中起关键作用[。那么如何促进学生建构属于自己的问题表征呢？C组所提供的线段图中，表示小雁塔的那一段是问题中所有关系的重点。学生可以根据画出的线段图构建一个图示方程。用一份的线段代表未知量，建立了与较为抽象的字母表示未知量之间的图示联结。结果表明，有了这样的图示联结，学生更容易找到情境中的等量关系。尽管在A组与C组中，能够根据等量关系式列出相应方程的人数比率差不多，但实际上，在C组中，其余学生除3人外，都能正确地解答，只是等量关系式（也是正确的）与方程不相符，或是没有写出等量关系式而已。这也说明学生在面临问题情境时，没有先寻找等量关系的习惯。而A组的其余学生则是完全解错了题。

线段图并不能特别地指向学生代数思维的发展，在C组中，依然有很多学生不能将未知数参与运算，试图找到“小雁塔高度=？”，但线段图能够帮助学生更好地分析数量之间的关系，数量关系分析清楚了，等量关系也就容易找到了，所以三组学生中，C组学生描述“小雁塔高度=？”的成功率最高。

3．等量关系：解方程的重要依托。

2]

后来，我又对未能正确解方程的学生进行了访谈，学生表示这个方程（ax±b=c）有两步，不知道该怎么办。之所以有困难，是因为学生依然把等号看作是一种程序而不是关系，他们把等号两侧的表达式看作是一步一步的运算过程而不是整体，也就是尚未打破算术思维的束缚，很难理解可以把未知数和已知数放在一起运算。在以往的教学中我们常常直接告诉学生：把2x看作一个整体。可为什么把2x看作一个整体？实际上可以充分运用线段图模型，让学生体会2个小雁塔的高度可以看作一个整体，这个整体减去22就是大雁塔的高度，或者相当于大雁塔的高度加上22等等，将原先复杂的数量关系转化为简单的相差关系。也就是说，学生是在表征数量之间的相等关系时，而不是等到解方程时，就把2个小雁塔的高度看作一个整体，为方程的转化提供依据。

三、基于学生调查的教学设计

1.在缺乏“问题”的情境中关注数量关系。

在教学中，我们试图引导学生忽略题目中所求的问题，关注问题情境中等量关系、合理运用“关系”来解决问题，帮助学生实现从算术思维到代数思维的转换。

出示问题情境：西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米。

你是如何理解“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”的，请在图上比画出来。

设计意图：没有出示完整的例题，而是出示表示大小雁塔高度关系的条件，是为了消除学生的问题指向，着重关注数量之间的关系。引导学生先比画出2个小雁塔的高度，再在此基础上“变矮”22米，让学生在实物操作和表象操作中，初步形成两塔高度关系的理解。

2.在线段图的运用中深化等量关系的理解。

由于直接达到抽象化的符号表征的教学（如A组调查卷）不符合学生的认知特点，在教学中可以引导学生用线段图来表达题意，就是帮助学生建立了直观表征与符号表征之间的桥梁，从而促进学生揭示数学关系，从不同角度揭示问题的表征。

你能根据题意，继续完成线段图吗？

并追问：这一段是什么？（指2个小雁塔的高度）大雁塔的高度并没有达到2个小雁塔的高度，可在你的图上为什么还会画出2个小雁塔的高度呢？

设计意图：让学生从直观图中抽象出线段图示，这一层次的表征是问题解决中最为重要的一种表征。先给出小雁塔的线段，是要确定小雁塔的“中心地位”，让学生在此基础上寻找其与大雁塔高度之间的关系。之后的追问旨在引导学生在观念上把2个小雁塔的高度看作一个整体。

根据线段图，你能写出大雁塔和小雁塔高度之间的等量关系式吗？ 板书学生的关系式：

2个小雁塔的高度-22=大雁塔的高度 大雁塔的高度+22=2个小雁塔的高度 2个小雁塔的高度-大雁塔的高度=22 （大雁塔的高度+22）÷2=小雁塔的高度

观察前面的三个关系式，2个小雁塔的高度与大雁塔的高度存在怎样的关系？

设计意图：写出抽象的等量关系，开始体现代数思维的特点。教师之所以板书为“2个小雁塔的高度”而不是“小雁塔的高度×2”，是帮助学生将原本较复杂的数量关系转化为简单的相差关系，也就是帮助学生抓住最上位的数量关系。请注意，教师的提问是“2个小雁塔的高度与大雁塔的高度存在怎样的关系”，而不是“大雁塔与小雁塔高度存在怎样的关系”。学生在思考这个问题时已经将小雁塔的高度融入到关系运算中，从而深刻把握住等价关系。如果学生还在思考1个小雁塔与大雁塔高度的关系，那么又将回到算术思维中。

3.在“等量关系”的理解中自觉选择方程。

无论是列方程还是解方程，都需要学生首先经历多元的表征活动，并把表征、抽象等量关系与解决问题分离开来，淡化已知数与未知数的区别，把学生的思维聚焦到等量关系的分析上来。

出示例题中的问题：小雁塔高多少米？

根据上面找到的等量关系，你觉得用什么方法解答最合适？请你试试看。

设计意图：当学生已经将未知量融入到等量关系式中，方程也就自然呼之欲出，而不再是题目的规定了。

这样的方程该如何解答？如果遇到了困难，可以再看看你所画的线段图和所列出的等量关系式。

设计意图：把2x看作一个整体要建立在等量关系的基础上。因此，当学生在解方程遇到困难时，需要再次引导学生回到对数量关系的关注，同时促进对等量关系的深刻理解。

参考文献：

[1]冯育花.弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究[D].云南师范大学硕士学位论文，2006.

[2]蔡金法.中美学生数学学习的系列实证研究[M].北京：教育科学出版社，2007.

摘 要：方程的教学是学生初步接触代数思维。如果教师的教学方式不当，未能有效地激发学生学习的内在需求，反而会使方程成为一种负担。我们在课前调查了解学生数学现实的基础上，尝试通过问题情境的调整、线段图的运用及等量关系分析等途径帮助学生逐步实现从算术思维到代数思维的转变。

关键词：数学现实 课前调查 代数思维

荷兰教育家弗赖登塔尔提出过一个重要的观点：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定的客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。[1]在教学实践中，我试图通过课前调研了解学生的数学现实，以实现“为学习设计教学”。

荷兰教育家弗赖登塔尔提出过一个重要的观点：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定的客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。[1]在教学实践中，我试图通过课前调研了解学生的数学现实，以实现“为学习设计教学”。

一、问题提出

在小学阶段，学生有时用方程来解决问题往往是因为题目中明确规定“用方程解答”。面临下面的问题：西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？五年级学生用方程解答的准确率要高于算术解法，可是在没有特殊规定的情况下，学生还是宁愿用算术解法而不是方程来解决问题。除了学生自认为的列方程解决问题的书写格式太麻烦这一原因外，是否存在其他影响学生接纳方程的其他因素呢？如何帮助学生建立方程这一数学模型，体验方程的思想方法及价值？带着以上的问题我开始了对学生的课前调查。

二、调查的结果与分析

我将任教的两个班级学生按学号随机分为A、B、C三个小组，每组各为35、36、34人，分别完成以下调查卷。

[A组]西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？ 你能找到大雁塔与小雁塔高度之间的等量关系吗？请写出来。 根据写出的等量关系式你会列方程并解答吗？

[B组]西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米。 你能找到大雁塔与小雁塔高度之间的等量关系吗？请写出来。 [C组]

你能找到大雁塔与小雁塔高度之间的等量关系吗？请写出来。

根据写出的等量关系式你会列方程并解答吗？

安排上述三组调查题的目的在于：通过A组与B组的对比，了解直接问题指向（即通常所说的题目中的问题）是否会影响学生对等量关系的关注；通过A组与C组的对比，了解线段图是否可以促进学生对等量关系的理解；通过三个小组中等量关系式类型的对比，了解学生在怎样的问题情境中，最容易激活对等量关系的理解。

调查结果如下：

1．在A组与B组中，能够正确找到等量关系式的人数情况如下表：

组别 正确人数 正确率 A 16 45.7% B 28 77.8% B组学生正确找到等量关系的比例明显高于A组。A组写错等量关系的19人中，有16人都试图描述“小雁塔高度=？”，占测试学生的45.7%，而在B组中这样的学生只有5人，占13.9%。

2．A组与C组中，能够正确根据等量关系列出相应方程的人数情况如下表：

组别 正确人数 正确率 A 16 45.7% C 18 50% 两组学生的正确率看上去差不多，但错误的情况却差异甚大。在A组中，16人正确；5人没有列出等量关系，但列对了方程；其余14人等量关系、方程都列错了。在C组中，18人正确；除3人没写（不会），其余15人都列对了方程。这15人中有7人所列方程与所写的等量关系式不符，有意思的是，这7个学生写的等量关系都是：（大雁塔的高度+22）÷2=小雁塔的高度；还有8人写错或没写等量关系式，方程却列对了。

3．学生所列等量关系式的类型（有的列出两种以上的等量关系式）如下表： 类型 ① ② ③ ④ ⑤ 人次及百分比 A组 11（31.4%） 0 B组 25（69.4%） 0 C组 11（32.4%） 1（2.9%） 11（32.4%） 9（26.5%） 5（14.3%） 7（19.4%） 9（26.5%） 3（8.6%） 2（5.6%） 20（57.1%） 11（30.6%） ①大雁塔高度=小雁塔高度×2-22 ②大雁塔高度+22=小雁塔高度×2 ③小雁塔高度×2-大雁塔高度=22 ④（大雁塔高度+22）÷2=小雁塔高度 ⑤写错或没有写出等量关系式

B组与C组学生出现错误或没有写出等量关系式的比率明显低于A组。在三组学生中，只有一个学生想到“小雁塔高度×2-大雁塔高度=22”，其余类型等量关系在各组中出现的比率有所差异：在C组，每种类型均衡出现；在B组，出现最多的是“大雁塔高度=小雁塔高度×2-22”；在A组，各类型等量关系尝试的人数其实差不多，但“大雁塔高度=小雁塔高度×2-22”的正确率最高，而“（大雁塔高度+22）÷2=小雁塔高度”尝试的学生最多，有16人，但只有3人成功。

上述调查结果引发了我的思考── 1．问题情境：消除解题压力的切入点。

A组与B组所提供的情境区别在于前者有完整的条件与问题，而后者只有表示两个量关系的条件。结果A组能够找到等量关系的学生少于B组。

学生在五年的小学数学学习中，长期运用 “综合法”与“分析法”的策略解决问题，或是从条件入手一步步逼近所求问题，或是从问题入手寻求与之相关联的条件，从未将未知量与已知量融合于等量关系中进行分析。看来学生“不喜欢”方程不仅是因为格式麻烦，其根本原因是学生的思维方式习惯了直接指向未知量的算术思维。A答卷中的出示的问题驱使学生直接指向所求的问题，忽略条件中存在的多种数量之间的关系。有16名学生试图找到“小雁塔高度=？”的等量关系，而其中13人都写错了。B组中只描述了数量之间的关系，没有直接给出要求的问题，学生没有解决问题的压力，只是在分析的过程中觉得“大雁塔高度=？”最容易描述，所以大部分学生都选择了这样类型的等量关系。

2．线段图：促进学生构建问题表征。

许多研究表明，问题解决者的表征在解决问题中起关键作用[2]。那么如何促进学生建构属于自己的问题表征呢？C组所提供的线段图中，表示小雁塔的那一段是问题中所有关系的重点。学生可以根据画出的线段图构建一个图示方程。用一份的线段代表未知量，建立了与较为抽象的字母表示未知量之间的图示联结。结果表明，有了这样的图示联结，学生更容易找到情境中的等量关系。尽管在A组与C组中，能够根据等量关系式列出相应方程的人数比率差不多，但实际上，在C组中，其余学生除3人外，都能正确地解答，只是等量关系式（也是正确的）与方程不相符，或是没有写出等量关系式而已。这也说明学生在面临问题情境时，没有先寻找等量关系的习惯。而A组的其余学生则是完全解错了题。

线段图并不能特别地指向学生代数思维的发展，在C组中，依然有很多学生不能将未知数参与运算，试图找到“小雁塔高度=？”，但线段图能够帮助学生更好地分析数量之间的关系，数量关系分析清楚了，等量关系也就容易找到了，所以三组学生中，C组学生描述“小雁塔高度=？”的成功率最高。

3．等量关系：解方程的重要依托。

后来，我又对未能正确解方程的学生进行了访谈，学生表示这个方程（ax±b=c）有两步，不知道该怎么办。之所以有困难，是因为学生依然把等号看作是一种程序而不是关系，他们把等号两侧的表达式看作是一步一步的运算过程而不是整体，也就是尚未打破算术思维的束缚，很难理解可以把未知数和已知数放在一起运算。在以往的教学中我们常常直接告诉学生：把2x看作一个整体。可为什么把2x看作一个整体？实际上可以充分运用线段图模型，让学生体会2个小雁塔的高度可以看作一个整体，这个整体减去22就是大雁塔的

高度，或者相当于大雁塔的高度加上22等等，将原先复杂的数量关系转化为简单的相差关系。也就是说，学生是在表征数量之间的相等关系时，而不是等到解方程时，就把2个小雁塔的高度看作一个整体，为方程的转化提供依据。

三、基于学生调查的教学设计

1.在缺乏“问题”的情境中关注数量关系。

在教学中，我们试图引导学生忽略题目中所求的问题，关注问题情境中等量关系、合理运用“关系”来解决问题，帮助学生实现从算术思维到代数思维的转换。

出示问题情境：西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米。

你是如何理解“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”的，请在图上比画出来。

设计意图：没有出示完整的例题，而是出示表示大小雁塔高度关系的条件，是为了消除学生的问题指向，着重关注数量之间的关系。引导学生先比画出2个小雁塔的高度，再在此基础上“变矮”22米，让学生在实物操作和表象操作中，初步形成两塔高度关系的理解。

2.在线段图的运用中深化等量关系的理解。

由于直接达到抽象化的符号表征的教学（如A组调查卷）不符合学生的认知特点，在教学中可以引导学生用线段图来表达题意，就是帮助学生建立了直观表征与符号表征之间的桥梁，从而促进学生揭示数学关系，从不同角度揭示问题的表征。

你能根据题意，继续完成线段图吗？

并追问：这一段是什么？（指2个小雁塔的高度）大雁塔的高度并没有达到2个小雁塔的高度，可在你的图上为什么还会画出2个小雁塔的高度呢？

设计意图：让学生从直观图中抽象出线段图示，这一层次的表征是问题解决中最为重要的一种表征。先给出小雁塔的线段，是要确定小雁塔的“中心地位”，让学生在此基础上寻找其与大雁塔高度之间的关系。之后的追问旨在引导学生在观念上把2个小雁塔的高度看作一个整体。

根据线段图，你能写出大雁塔和小雁塔高度之间的等量关系式吗？ 板书学生的关系式：

2个小雁塔的高度-22=大雁塔的高度 大雁塔的高度+22=2个小雁塔的高度 2个小雁塔的高度-大雁塔的高度=22 （大雁塔的高度+22）÷2=小雁塔的高度

观察前面的三个关系式，2个小雁塔的高度与大雁塔的高度存在怎样的关系？ 设计意图：写出抽象的等量关系，开始体现代数思维的特点。教师之所以板书为“2个小雁塔的高度”而不是“小雁塔的高度×2”，是帮助学生将原本较复杂的数量关系转化为简单的相差关系，也就是帮助学生抓住最上位的数量关系。请注意，教师的提问是“2个小雁塔的高度与大雁塔的高度存在怎样的关系”，而不是“大雁塔与小雁塔高度存在怎样的关系”。学生在思考这个问题时已经将小雁塔的高度融入到关系运算中，从而深刻把握住等价关系。如果学生还在思考1个小雁塔与大雁塔高度的关系，那么又将回到算术思

维中。

3.在“等量关系”的理解中自觉选择方程。

无论是列方程还是解方程，都需要学生首先经历多元的表征活动，并把表征、抽象等量关系与解决问题分离开来，淡化已知数与未知数的区别，把学生的思维聚焦到等量关系的分析上来。

出示例题中的问题：小雁塔高多少米？

根据上面找到的等量关系，你觉得用什么方法解答最合适？请你试试看。

设计意图：当学生已经将未知量融入到等量关系式中，方程也就自然呼之欲出，而不再是题目的规定了。

这样的方程该如何解答？如果遇到了困难，可以再看看你所画的线段图和所列出的等量关系式。

设计意图：把2x看作一个整体要建立在等量关系的基础上。因此，当学生在解方程遇到困难时，需要再次引导学生回到对数量关系的关注，同时促进对等量关系的深刻理解。

参考文献：

[1]冯育花.弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究[D].云南师范大学硕士学位论文，2006.

[2]蔡金法.中美学生数学学习的系列实证研究[M].北京：教育科学出版社，2007.