数值分析习题第四章

第四章 习题

1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1）fxdxA1fhA0f0A1fh；

hh（2）11h2h2hfxdxA1fhA0f0A1fh；

（3)fxdxf12fx13fx2/3; （4)fxdxhf0fh/2ah2f'0f'h

0解：(1)求积公式中含有三个待定参数，即A1，A0，A1，将fx1，x，x2分别代入求积公式，并令其左右相等,得

A1A0A12h14解得AAh，Ah. hAA011011332h2A1A1h33所求公式至少具有2次代数精度.又由于

hh33hhh33

hhh444xdxhhh33hx3dx故fxdxA1fhA0f0A1fh具有三次代数精度.

hh(2）求积公式中含有三个待定系数：A1，A0，A1，故令公式对fx1，x，x2准确成立，得

A1A0A14h81，解得AAh，A4h2A4hhh hAA011011133316h2A1A1h33故因2h2h2hfxdx84hfhfhhf0 332hfxdx0

833而hhh0 326h516h58又xdxhh4h4

2h5332h4所以求积公式只具有三次代数精度。

（3)求积公式中韩两个待定常数x1、x2，当令公式对fx1准确成立时,得到

数值分析习题第四章

11dx21123 3此等式不含有待定量x1、x2，无用,故需令公式对fxx，x2准确成立，即

1112x13x2xdx013 121x2dx12x23x2123312x13x21得2 22x13x21解上述方程组得

x20.12660x20.52660或 x0.690x0.29011故有fxdx111f12f0.6903f0.12660 3或fxdx111f12f0.2903f0.52660 3将fxx3代入上已确定的求积公式中，

13312x3x12 13故求积公式具有2次代数精度。

1x3dx(4）求积公式中只含有一个待定系数a，当fx1，x时，有

440401dxh110 2xdxh0hah211 2故令fxx2时，求积公式精确成立，即

h0h2ah2202h 021解得a

12x4dx故有h0hh2fxdxf0fhf'0f'h

212将fxx3代入上述已确定的求积公式中，有

h0h4hh2h432xdx0h03h

421243再另fxx4代入求积公式时有

数值分析习题第四章

h0h4hh24xdx0h04h3

42123故求积公式具有3次代数精度.

2．分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分exdx,并估计各种方法的误差（要求小数点后至

01少要保留5位）。

解：运用梯形公式,exdx0110ee11.8591409 2其误差

Rf113e10e0.2265235，0,112121实际误差为exdx1.85914090.140859101x

110运用Simpson公式，edxe4e2e11.7188612

06其误差为Rf11ee0.00094385 288028801x1131014247e32e12e32e7e运用Cotes公式，edx1.718282688 0702112e0.000001404 其误差为Rfe9454945463．推到下列三种矩形求积公式；

6bababaf'ba22f' ba2fxdxbafb2abf''ba2fxdxbaf242fxdxbafa解:将fx在xa出Taylor展开,得

fxfaf'xa,a，x，两边在a,b上积分，得

bafxdxfadxf'xadxaabbbafaf'xadxabbafaf'xadxab

bafa12f'ba，a，b2将fx在xb处Taylor展开，得

数值分析习题第四章

fxfbf'xb,两边在a,b上积分，得

bafxdxfadxf'xbdxaabbbafbf'xbdxabbafaf'xbdxab

bafa将fx在12f'bb，a，b2ab处Taylor展开，得 2ab1abababfxff'xf''x，a，b

22222两边在a，b上积分,得

baab1babababbfxdxbaff'axdxaf''xdx22222 ab13baff''ba，a，b224324．用下列方法计算积分1dy，并比较结果。 y（1）Romberg方法；

（2)三点及五点Gauss公式；

(3）将积分区间分为四等分,用复化两点Gauss公式。 解：（1)用Romberg算法

0baT02fafb，l1bal1l1ba2TTfa2i1，l1，2， 00ll22i12k4mTk1Tkm1m1，k0，1，，lm；m1，2，，lTmm14计算,计算结果如表4。1 表4。1 k 0 1 2 3 故 3T0k 1。333333 1.166667 1.116666 1.10 T1k 1.111111 1。099999 1.098725 T2k 1.099258 1.0980 T3k 1。098630 11dy1.098630 y（2）用三点及五点Gauss—Legendre求积公式，需先对求积区间［1，3]作如下变换,令

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y3时，t1，1，且dydt， 则当y1，1ab1batt2 22三点Gauss公式

31111dydt

1t2y31111dydt1yt2111 0.55555560.8888820.774596720.77459672.001.098039283五点Gauss公式

3111dydt1yt2111110.23692690.47862（3）用复化

20.906197820.906179820.538469320.538469310.5688821.0986092的两点Gauss求积公式计算，需将［1,3]四等分，则 311.51212.51311ydy1ydt1.5ydt2ydt2.5ydt11dt11dt11dt11dt212.50.5t213.50.5t214.50.5t215.50.5t1111111 Idy的[1y22.50.531/22.50.531/23.50.531/23.50.531/21111]1/21/21/21/24.50.534.50.534.50.534.50.531.098537573真值为I1.0986122

5．用三点公式和五点公式求fx4.2给出。

11x2在x=1.0，1.1和1.2处的导数值，并估计误差。fx的值由表

表4.2 x 1。0 0。2500 1.1 0。2268 1.2 0。2066 1。3 0.10 1。4 0。1736 fx 解：三点求导公式为

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1h23fx04fx1fx2f'''0f'x02h31h2 fx0fx2f'''1f'x12h61fx04fx13fx21h2f'''2f'x22h3上表中取x01，x11.1，x21.2，分别将有关数值代入上三式,即可得导数的近似值，由于

f'''imaxf'''xmax1.0x1.24!1.0x1.21x54!0.75 52故可得误差及导数值如表4。3 表4.3 x 1。0 三点公式 -0。24792 1.1 —0。21694 -0。21596 0.00125 0。00098 1。2 -0。18596 -0.18783 0.00250 0.00187 f'x 理论误差值 实际误差值

—0.25000 0.00250 0。00208