两点间的距离公式教案

江苏省苏州丝绸中等专业学校 唐佳倩

一、教材分析

本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。本课是第八章第一节课，利用初中学习的数轴距离公式和勾股定理知识，在平面直角坐标系中推导出任意两点间的距离公式，能产生数形结合的思想。

二、学情分析

学生是一年级纺织中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力薄弱，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。

三、教学目标

1．知识与技能目标：

（1）了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程； （2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点； （3）能应用这个公式解决相关问题。

2.过程与方法：

（1）通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；

（2） 通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法。

3.情感态度与价值观：

让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。

四、教学重难点

重点：两点间的距离公式。 难点：两点间的距离的应用。

五、教法学法

针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象

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的东西，以激发学生的学习兴趣.在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。同时在教学中经常用探究发现法，逐步培养学生的协作能力和思考的能力。

六、教学过程

1. 提出问题 引发思考

提问：（1）在初中的时候我们学习了数轴上计算两点之间的距离，大家还记得是怎么表示的吗？ |𝐴𝐵|=|𝑥2−𝑥1| 连接2点的线段长即两点间的距离。

（2）大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢？

根据题目意思引导学生建立平面直角坐标系，以灯塔所在位置为原点O,正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则A岛坐标为（60，80），B岛坐标为（-10，55）。

2.构建新知 得出结论

已知𝑃1(𝑥1,𝑦1)和𝑃2(𝑥2,𝑦2),试求两点间距离(让学生思考，再引导学生求出特殊位置的两点的距离)

1.𝑦1=𝑦2 2. 𝑥1=𝑥2

提问：(1)这𝑃1，𝑃2之间的距离怎么去表示呢？

(2)大家仔细观察，这两点的距离有什么特点？（学生先思考，再分组讨论，然后代表回答）

这两点的距离实际上，一个是等于横坐标之差的绝对值，一个是等于纵坐标之差的绝对值。

(3)那如果是任意的平面上两点，又如何去求两点间的距离公式？ 引导学生相互讨论把两点间的距离公式向一般化转化。

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3.𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2

观察图形和条件，小组可以讨论，试一试写出任意两点间的距离。

由勾股定理可得：|𝑃1𝑃2|2=|𝑃1𝑄|2+|𝑃2𝑄|2

即|𝑃1𝑃2|=√(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2

注意点：和学生强调平面解析几何中距离的表示“| |”。

先从位置特殊的点出发，然后再引出一般位置的点,让学生体会从特殊到一般的认知规律。

1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则 结论：已知平面内两点P|P(x2x1)2(y2y1)21P2| 语言叙述该公式(加深学生对公式的记忆)

3．例题讲解 习题巩固

例1已知两点M(8, 10) N(12, 22)，求线段MN的长度. 解: 根据平面内两点间的距离公式，得

|MN|(x2x1)2(y2y1)2(128)2(2210)2160410

即线段MN的长度为410.

要求学生能对平面内两点间距离公式进行识记，讲解时不能省略，尤其数据代入，虽然简单，但是能加深学生印象。

例2已知三角形的顶点分别为A(−3，0)，B(0，4)，C(4，1)，求ABC三条边的长度,并判断这个三角形是不是我们熟悉的特殊三角形？

学生与老师一起计算AB,AC,BC这3条边的边长，然后观察数据再回答问题，教师在黑板上并画出图形。

练习 1.已知A(0,0),B(6,-8),求|AB|. 2.已知C(3,-4),B(-1,7),求|CD|. 3.已知P(

1,2),Q(-3,4),求|PQ|. 23 / 5

学生分组并上黑板演示，教师点评。

4.问题解决 联系实际

大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢？（精确到0.01海里）

注意：这是一题应用题，所以要答。

5．举一反三 深入研究

例3 在直角坐标系中，已知A(1,-1),B(b,3) 且︱AB︱=5, 求b. 解：|𝐴𝐵|=√(1−𝑏)2+(−1−3)2=5 b=4或者−2.

通过探讨总结，深刻理解公式的特点，体会方程中“知二求一”的数学思想和方法。 练习 已知A(a,-5),B(0,10)间的距离为17，求a的值.

6．归纳小结 强化思想

1．本节课我们学习了什么内容？

|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2 2．我们是怎么得到这个公式的，利用了什么知识点？

建立平面直角坐标系，构造直角三角形，利用勾股定理等知识点。

7．课后作业 巩固练习

A：课本p65 练习1和2

B：学习与职业能力培养p55 任务1

8．拓展延伸 课后思考

已知A(1,1),B(3,−1),C(5,y)且△ABC为等腰三角形，求y值.

分情况讨论，并画出图象思考，情况是否都成立，增加难度，让学生自主思考。

9.板书设计

8.1.1平面内两点间的距离公式 1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 复习引入 已知平面内两点P则|P(x2x1)2(y2y1)21P2| 投影区 学生练习 例2 例3 10.教学反思

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本节课作为平面解析几何的入门课，我的一个主导思想是，要通过本节课让学生了解平面解析几何的基本思想——坐标的思想。通过平面直角坐标系的建立，把“数”和“形”联系起来，把“几何问题”和“代数方程”联系起来，从而实现代数的方法研究几何问题的目的。为了达到这个目的，我力求让学生通过生活中的实例和课堂联系去初步体会这种“坐标法”的思想。

我们知道，在平面解析几何里建立坐标系是有技巧的。同样的问题，如果坐标系建立得恰当，解决起来就比较容易，相反则会比较麻烦。因此，在本课的课堂练习中，我通过如何求两个小岛之间的距离，找到灯塔和小岛之间的联系，从而建立直角坐标系，让学生明白在解决实际问题时要打开思路，根据具体问题选择最佳方法建立平面直角坐标系，以便于问题的解决。当然，建立平面直角坐标系的技巧还要在后面的教学中不断引导，逐渐渗透，这不是通过一节课所能够解决的问题，这里不过是给学生“下点儿毛毛雨”罢了。

另外，本节课的教学内容——“平面上两点间距离公式”，又是学生学习平面解析几何的一个基本工具，学生必须熟练掌握。本课围绕两点间的距离公式展开，重在引导学生在知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观方面获得综合发展。教学中，通过学生讨论，教师点拨的方式进行学习，通过学生的自评，互评以及教师的评价，引导学生分享和总结学习成果。课后练习和思考题也起到了拓展的作用。如果时间再充裕一些的话，还可以把平面上两点间距离公式的运用和学生刚刚学过的三角函数知识结合起来，例如，求平面直角坐标系内某定点与单位圆上一个动点之间距离的最值等，其效果会更佳。

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