理论力学期末前复习题-1.计算题

理论力学期末前复习题-1.计算题

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（六）计算题

【1101】一圆轮以匀速v0沿直线作纯滚动，如图所示，设初始时刻P点与坐标原点O重合，轮半径为r，求轮缘上一点P的运动学方程以及P点的速度、加速度大小。

2y P θ C V0 O A x kx,k为常数，且【1201】质点沿x轴运动，加速度xt0时,xb,x0,，求 质点的运动学方程。

【1202】质点作平面运动时，其速率v为常数C，位矢旋转的角速度为常数

，设t0时，r0和＝0求质点的运动学方程和轨道方程。

【1301】某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的鱼竿不慎掉入河中。两分钟后，此人才发觉，立即返棹追赶。追到鱼竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？

【1302】一人手持5cm成和两端开口的管子在雨中站立，管顶向北倾斜4ccm，雨点直线穿过此管；如此人向南以s的速度行走，则管顶向北倾斜3cm就可以使雨点穿过，求雨点速度。

mk2【1501】一质点受力F3，此力指向坐标原点O，试求质点沿x轴从距

x原点为l处由静止开始运动，达到原点所需要的时间。

【1502】有孔小珠穿在光滑的抛物线形钢丝上且能自由滑动，抛物线的正交弦为4a，其轴沿铅直方向而顶点位于下方，小珠从顶点开始运动时具有某一速率，这个速率使它恰能达到过焦点的水平面，试求小珠在顶点上方高为y（2

【1503】船在水中航行，停机时的速度为v0，水的阻力为fkmv2，问经过多少时间后航速减至

v0。 2【1504】质量为m的小球，在重力的作用下，在空气中竖直下落，其运动规律为sAtB(1e3t)，求空气阻力（以v的函数表示之） 【1901】求质量为m的质点在反立方引力场中的运动轨道。

【1902】质点在有心力的作用下作双纽线r2a2cos2运动，试求有心力。 【2101】求半径为R的均质半球体的质心。

【2701】总长度为a的均质链条的一段b (0【2702】雨滴下落时其质量增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。

【2703】长为l的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌上下垂。开始时，整个链条是静止的，试以变质量方法来求此链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v。

【2704】长为l的均匀细链条盘成一团放在水平光滑桌面上，链条的一半从桌上下垂。开始时，整个链条是静止的，试求此链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v。

【3501】质量为m1和m2的两质点相距为l，求其中心主转动惯量。

y m3

h c b

m

x1 x2 m

x

y （题【3501】图） （题【3502】图）

【3502】由轻杆连成的刚性等腰三角形，高为h，底边长为a，在三角形三个顶点上分布有三个质点，上顶点质点的质量为m2，底边上两质点质量均为m1，求系统的中心主转动惯量I1,I2及I3。

【3503】半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用下式表示

r20(12),式中0 及是常数。试求圆柱绕直径转动时的回转半径。

R（已知球壳绕直径的转动惯量为 I22mr） 3【3601】通风机的转动部分以某一初角速度0绕其轴转动，空气阻力矩与角速度成正比，比例常数为k，如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后其转动的角速度为初角速度的一半。

【3602】质量为M，半径为R的圆环放在光滑水平面上，可以绕过环边上一点O的铅直轴转动，若环开始时处于静止状态，有一质量为m的小虫自O点出发，沿圆环以相对匀速度v0爬行，当小虫爬了半圈时，环的转动角速度是多少？

O V

F

4

（题【3602】图） （题【3603】图）

【3603】质量为m的平板放在两个圆柱体上，圆柱体质量都是m，半径均为R，若在板上加一水平力F，求平板的加速度。设平板与圆柱，圆柱与地面之间均是纯滚动。

【3701】长为2a的均质棒，以铰链悬挂于A点上，在起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体，试证在以后运动中，棒以质心轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几圈？

【3702】一端固结于天花板上的细绳缠绕在一个半径为r，重为w的圆盘上。求圆盘中心向下运动的加速度a，圆盘的角加速度β和绳的张力T。（已知圆盘1对过中心且垂直于盘面的轴的转动惯量为mr2）

2

T O r A w

【3703】一矩形板ABCD在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值，在某一瞬时已知A点的速度为v0，方向沿对角线AC，试求此瞬时B点的速度量值vB，其中矩形边长ABa,BCb为已知。

【3704】如图所示，一圆轮沿水平轨道向右作纯滚动，AB杆在A端铰链在轮缘上，B端可沿斜面滑动，已知圆轮中心O的速度为v0当AB杆在水平位置时，

（1）标出圆轮及AB杆的转动瞬心的位置； （2）求A、B两点的速率。

5

A O E ω2 θ C ω1 D B

B A 60º 45º V （题【3704】图） （题【3801】图）

【3801】转轮AB，绕OC轴转动的角速度为1，而OC绕竖直直线OE转动的角速度则为 2。如ADDBa,ODb,COE，试求转轮最低点B的速度。

【4101】一直线以匀角速度在一固定平面内绕其一端转动，当其直线位于ox的位置时，有一质点P开始从O点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度v的量值为常数，问此点应按何种规律沿此直线运动？

【4102】一等腰直角三角形OBA在其自身所在的平面内以等角速度绕顶点O转动，某点M以不变的相对速度沿AB边运动，当三角形转一周时，M点正好y 走过AB，已知AB=b，求M点在A点时的绝对速度和绝对加速度的量值。

【5201】质量为m，长为2l的均质棒，A端抵在光滑墙上，而棒身斜靠在与墙相距为d （dlcos）的光滑棱角上，棒的B端固定一质量为m的质点，试用虚功原理求平衡时棒与水平面所成的角。

A θ 6

C

B

A θ B x O ω z

(题【5201】图) (题【5202】图)

【5202】两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起，且ABC形成一直角，如图，将棒的A点用绳系于固定点上，棒AB长为a，BC长为b，线密度均为

，用虚功原理求平衡时AB和竖直方向所成角。

【5203】半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，令一端在碗外，在碗内的长度为c，试求证棒的全长为

4c22r2 c【5301】利用拉格朗日方程推导平面极坐标系下质点运动方程。

θ r m O

ωt j i P （题【5301】图） （题【5302】图）

【5302】一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速度转动，管中有一质量为m的质点，开始时细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对管的运动微分方程。

【5303】质量为m1的质点，沿倾角为α的光滑直角劈滑下，劈的质量为m2，可y 在光滑水平面上自由滑动，用拉格朗日方程求质点在水平方向的加速度和劈的 x o 加速度。

θ

7

m

（题【5303】图） （题【5501】图）

O

【5304】匀质棒AB，质量为m ,长为2a，其A端可在光滑水平导槽上运动。而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动。除受重力外，B端还受有一水平力F的作用。试用拉格朗日方程求其运动微分方程。

【5501】试用哈密顿正则方程导出单摆作微振动时的运动微分方程，设单摆的摆长为l。

【5601】试求由质点组动量P及动量矩J的直角坐标分量Jx与px，Jx与py所组

成的泊松括号。

【5602】试求质点组动量矩J的笛卡儿分量Jx与Jx，Jx与Jy所组成的泊松括

号。

【5701】试通过哈密顿原理求复摆作微振动时的周期。设复摆对定点O的转动惯量为I0，质量为m，质心到点O的距离为l。

【5702】半径为a的光滑圆形金属丝圈，以匀角速ω绕竖直直线转动，圈上套着质量为m的小环，起始时小环自圆圈最高点无初速地沿着圆圈滑下当环和圈y 中心的连线与铅直直径成θ角时，用哈密顿原理求出小环的运动微分方程。

O

θ ω

m

θ a （题【5701】图） （题【5702】图）

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【5zh1】考虑水平面上不受外力作用的自由质点（取该水平面势能为零），设广义坐标取为直角坐标x、y，试写出系统的哈密顿函数、正则方程、及其首次积分。

【5zh2】一质点m在固定光滑平面上运动，其势能为V12kr（k为负数），2若以r,为广义坐标，写出其哈密顿函数和正则方程，并指出其循环坐标及循环积分。

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