高中数学新课排列组合和二项式定理教案(8).

教学目的：

1理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2. 能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程： 一、复习引入：

1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法

中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类

办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不

同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn 种不同的方法 3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个．．．．．元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排

m列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示 m5．排列数公式：Ann(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）

6 阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1．

m7．排列数的另一个计算公式：An=

n! (nm)!8.提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合． ．．

二、讲解新课：

1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．3．组合数公式的推导：

m3（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？ 3启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4．．．．．．．．．

33可以求得，故我们可以考察一下C4和A4的关系，如下：

组 合 排列

abcabc,bac,cab, abdabd,bad,dab,acdacd,cad,dac,bcdbcd,cbd,dbc,acb,adb,adc,bdc,bca,bda,cda,cdb,cbadba dcadcb由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素

3中取出3个元素的排列数A4，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取3出3个元素的组合，共有C4个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，

各有A33种方法．由分步计数原理得：

A34＝

CA3433，所以，

3A4C3．

A334m（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分m如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一mmmm个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝Cn． Am（3）组合数的公式：

n!Anmn(n1)(n2)(nm1)mC或(n,mN,且mn) Cmnm!(nm)!Amm!mn三、讲解范例：

74例1．计算：（1）C7； （2）C10；

7654＝35；

4!109876547（2）解法1：C10＝120．

7!10!10987 解法2：C10＝120． 7!3!3!（1）解： C74例2．求证：Cn证明：∵Cnmmm1m1Cn． nmn!

m!(nm)!m1n! nm(m1)!(nm1)!m1n! (m1)!(nm)(nm1)!n!

m!(nm)!m1Cnmm1n＝

＝

∴Cnmm1m1Cn nmx12x3例3．设xN, 求C2Cx3x1的值 2x3x1 解：由题意可得： ，解得2x4， x12x3∵xN， ∴x2或x3或x4，

当x2时原式值为7；当x3时原式值为7；当x4时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 例4．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

222解：C6C4C290．

（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？ 解：问题可以分成2类：

第一类 2名男生和2名女生参加，有C5C460中选法；

31第二类 3名男生和1名女生参加，有C5C440中选法 22依据分类计数原理，共有100种选法 211错解：C5C4C6240种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多 例5．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

3解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C4，

2112，C4， C4C6C632112所以，一共有C4+C4+C4＝100种方法． C6C633解法二：（间接法）C10C6100 四、课堂练习：

1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？

2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） A．42 B．21 C．7 D．6 3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）

A．15对 B．25对 C．30对 D．20对 4．设全集Ua,b,c,d，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且ABa，求集合A、B，则本题的解的个数为 （ ）

A．42 B．21 C．7 D．3

5．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：

（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；

（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形 8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n五边形有 条对角线 9．计算：（1）C15；（2）C6C8．

10．A,B,C,D,E5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？ 11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面

334体？

12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从a,b,c,d,e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合 答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15

7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2）n(n3)/2 9. ⑴455； ⑵2 10. ⑴10； ⑵20 73411. ⑴C10120； ⑵C10210 123412. C4C4C4C424115 13. a,b,c,d； a,b,c,e； a,b,d,e； a,c,d,e； b,c,d,e 五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：