高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式阶段测试同步训练试题1460

步训练试题2019.09

1,在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，（Ⅰ）求角C的值;

（Ⅱ）若a4，求△ABC面积

2,为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩． 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；

（Ⅱ）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．

3,已知函数（Ⅰ）若

acosA55，tanB3．

fxlnx2x,g(x)ax2x．

12，求F(x)f(x)g(x)的单调区间；

（Ⅱ）若fxgx恒成立，求a的取值范围．

4,已知等差数列an的首项为a，公差为b，等比数列bn的首项为b，公比为a(其中a,b均为正整数)．

(Ⅰ) 若a1b1,a2b2，求数列an、bn的通项公式； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若

a1,a3,an1,an2，，ank，(3n1n2nk)成等比

数列，求数列nk的通项公式；

(Ⅲ) 若a1b1a2b2a3，且至少存在三个不同的b值使得等式

amtbntN成立，试求a、b的值．

5,某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜

2制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为3．

（Ⅰ）求比赛三局甲获胜的概率； （Ⅱ）求甲获胜的概率；

（Ⅲ）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望

12xt-22t1yt-t6,已知某圆锥曲线C的参数方程为（t为参数）．

（Ⅰ）试将圆锥曲线C的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）以圆锥曲线C的焦点为极点，以它的对称轴为极轴建立极坐标系，试求它的极坐标方程．

3a(sinx,),b(cosx,1)27,已知向量

2a与b共线时,求2cosxsin2x的值； （I）当

（II）求

f(x)(ab)b在[2,0]上的值域。

12{an}中,a11,当n2时,其前n项Sn满足Snan(Sn).2 8,在数列

（I）求an； （II）设

bnSn,求数列{bn}的前n项和Tn2n1；

（III）是否存在自然数m，使得对任意

存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由 9,若

cosnN*,都有Tn1(m8)4成立？若

34,sin,则角2525的终边所在直线方程为

10,设O是△ABC内部一点，且OAOC2OB.则△AOB与△AOC面积之比

是 。

11,已知定义在R上的偶函数f(x)满足条件:f(x1)f(x)，且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x1对称；③f(x)在[0，1]上是增函数；④f(x)在[1，2]上

是减函数；⑤f(2)f(0).其中正确的命题序号是 。（注：把你认为正确的命题序号都填上） 12,下列等式：①lg32ab； ②lg5ac； ③lg833a3c； ④lg94a2b；

⑤lg153abc1；

其中有且只有一个是不成立的，则不成立的等式的序号为

2xR,xx0”的否定是 13,命题“

14,(1i)(12i)=

15,函数f(x)sin2x3cos2x的最小正周期是

xy2，xy2，0y3，x，y16,已知实数满足则z2xy的最小值是

222y2pxxy2的左准线重合，则抛物17,已知抛物线的准线与双曲线

线的焦点坐标为

18,将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 19,若直线axby1过点Ab,a，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是

x2Ax|1x5,Bx|03x，在集合A任取一个元素x，20,已知集合

则事件“xAB”的概率是

试题答案

525sinA5得5，tanA2， 1, 解：（Ⅰ）由

tanAtanBtanCtan(AB)11tanAtanB，

cosA又0C，∴

C4。

acsinCca10sinAsinCsinA（Ⅱ）由可得，，

3sinB10, 由tanB3得，

1acsinB62所以，△ABC面积是

2, 解：（Ⅰ）

y1002S数学=x10012171788121007；

69844161007；

994250222=142S物理=SS物理，所以物理成绩更稳定。 77，从而数学，

（Ⅱ）由于x与y之间具有线性相关关系，

497ˆ1000.5100500.5,a994，

线性回归方程为y0.5x50。当y115时，x130。 ˆb

11F(x)lnx2xx2x22，其定义域是(0,) 3, 解：（Ⅰ）

11(2x1)(x2)2xx22x

1x2（舍去）令F'(x)0，得x2，。

当0x2时，F'(x)0，函数单调递增； F'(x)当x2时，F'(x)0，函数单调递减； 即函数F(x)的单调区间为(0,2)，(2,)。

(2x1)(ax1)2x（Ⅱ）设F(x)f(x)g(x)，则，

当a0时，F'(x)0，F(x)单调递增，F(x)0不可能恒成立，

F'(x)当a0时，令F'(x)0，得当当

0xxx11x2（舍去）a，。

1a时，F'(x)0，函数单调递增；

1a时，F'(x)0，函数单调递减；

11F()F()0故F(x)在(0,)上的最大值是a，依题意a恒成立，

即又

ln1110aa，

111aa单调递减，且g(1)0，

g(a)lnln1110aa故成立的充要条件是a1， 所以a的取值范围是[1,)。

aba1b1,a2b24, 解：（Ⅰ）由得：abab，

解得：ab0或ab2，

na,bN， ab2，从而an2n,bn2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得a12,a36，比的等比数列，即：又

ank2nka1,a3,an1,an2，，ank，构成以2为首项，3为公

ank23k1

，故

2nk23k1，

nk3k1(Ⅲ) 由a1b1a2b2a3得：abababa2b， 由abab得：ab1b；由aba2b得：ab12b，

*a,bN,ab，ba1，而即：从而得：

111b2b2a24b1b1b1b1，

a2,3，当a3时，b2不合题意，故舍去，所以满足条件的a2.

又

am2b(m1)n1，

bnb2n1，故

2bm1tb2n1，

2即：

n1①若2m10，则t2N，不合题意；

n1②若2m10，则

m1b2tb2k2n1m1，由于2n1m1可取到一切整数值，

且b3，故要至少存在三个b使得amtbntN成立，必须整数2t至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t的最小值为10，此时b3或4或12。 5, 解：记甲n局获胜的概率为Pn，n3,4,5，

8323P3C3()327； （Ⅰ）比赛三局甲获胜的概率是：

218P4C32()3()3327； （Ⅱ）比赛四局甲获胜的概率是：

1622312P5C4()()3381； 比赛五局甲获胜的概率是：64P3P4P581。 甲获胜的概率是：

（Ⅲ）记乙n局获胜的概率为Pn'，n3,4,5。

1122831321322P'3C3()P4'C32()3()P5'C4()()327，3327；3381；

故甲比赛次数的分布列为：

3 X

P(X)

4 5

P5P5'P4P4'

所以甲比赛次数的数学期望是：

P3P3'

E(X)3(1882168107)4()5()27272727818127。

12xt-2　　（1）t2yt-1　　　　（）22yt6, 解：（1）由方程的（2）式平方减去（1）式得：x

1p

2，离心率为e1， （2）曲线C的焦点到准线的距离为

121cos 所以曲线C的极坐标方程为

7, 解：（I）a与b共线

3cosxsinx02

3tanx2

2cos2x2sinxcosx22tanx2022cosxsin2x22213 sinxcosx1tanx故

1ab(sinxcosx,)2 （II）

1f(x)(ab)b(sinxcosx,)(cosx,1)211sinxcosxcos2x(sin2xcos2x)222sin(2x)10分24x0232x.444421f(x)的值域为[,]22



1sin(2x)22

12Snan(Sn)(n2)28, 解：（I）

12Sn(SnSn1)(Sn)22SnSn1Sn1Sn2112分SnSn111S1又a11,数列{1}为首项为1,公差为2的等差数列.3分Sn11(n1)22n1Sn1.2n11,(n1)an2(2n1)(2n3),(n2).5分

Sn1111bn()2n1(2n1)(2n1)22n12n1 （II）SnTnb1b2bn11111111[(1)()()()]23352n32n12n12n111n(1)8分22n12n1

xT(x),则T(x)在1,2x1 （III）令上是增函数

n1(nN*)取得最小值.T110分2n131由题意可知,要使得对任意nN*,都有Tn(m8)成立,41只要T1(m8)即可.411(m8)34

28m3又mn当n1时Tnm9.12分 9, 24x7y0

10, 1：2 11, ①②⑤ 12, ⑤

2xR,xx0 13,

14, 3i 15, π 16, 1 17, 1,0

318, 3 19, π

120, 6