大学数学 不定积分必做习题

高等数学学习指导书第四章不定积分第四章不定积分17世纪最伟大的成就之一就是微积分的创立。数学和科学中的巨大发展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一两个人来走那最高和最后的一步。这一两个人要能够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划。就微积分的创立而言，这一两个人就是Newton(牛顿1642-1727)和Leibniz（莱布尼兹1646-1716）Newton和Leibniz平分的对微积分的极端重要的贡献之一是把面积、体积与其他以前作为和来处理的问题归并到反微分，即我们现在所说的积分。因此，在17世纪促使微积分产生的四个主要科学问题—速率、切线、最值、求值—全部归结为微分和反微分（积分）。Newton利用导数与它的逆解决了微积分的诸多问题。Leibniz第一次表达出求和与微分之间的关系：作为求和的过程的积分是微分的逆。在他的手稿中第一次采用了积分号“∫”。记号“∫”是“sum”（和）的第一个字母s的拉长。不定积分是求导的逆，是讨论给定一个函数，如何寻求一些可导函数，使它们的导数等于所给定函数。这是积分学的基本问题之一。一、内容提要1、原函数如果在某区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对每一个x∈I，都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)为函数f(x)在该区间I上的一个原函数。2、原函数存在的条件（1）连续函数一定有原函数。（2）初等函数在其定义区间内都有原函数。（3）若f(x)在I上有原函数，则必有无数个原函数。（4）任意两个原函数间只相差一个常数。63高等数学学习指导书第四章不定积分（5）若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在区间I上的全体原函数记为F(x)+C（C为任意常数）3、不定积分：在区间I上，f(x)的所有原函数称为函数f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。4、不定积分与微分的关系：先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数。即（1）[f(x)dx]′=f(x)或df∫(x)=f′(x)dx；（2）F′(x)dx=F(x)+C或dF(x)dx=F(x)+C5、不定积分的性质（1）两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差），即∫∫∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx（2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面，即∫kf(x)dx=k∫f(x)dx6、基本积分公式（1）0dx=C（3）xdx=（k为常数，k≠0）∫∫（2）kdx=kx+C（k为常数）∫µ1xµ+1+Cµ+1(µ≠−1)（4）1∫xdx=lnx+Cax（5）adx=+C∫lnax（6）exdx=ex+C∫（7）cosxdx=sinx+C（9）∫（8）sinxdx=−cosx+C（10）∫12∫cos2xdx=∫secxdx=tanx+C12∫sin2xdx=∫cscxdx=−cotx+C（11）secxtanxdx=secx+C∫（12）cscx⋅cotxdx=−cscx+C∫（13）1∫x2+1dx=arctanx+C（14）∫11−x2dx=arcsinx+C7、求不定积分的基本方法（1）直接法：直接利用不定积分的性质，基本积分公式求积分，或者对被积函数作恒等变64高等数学学习指导书第四章不定积分形后再利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法。（2）第一类换元法（凑微分法）设法将被积函数f(x)凑成f(x)=g[ϕ(x)]ϕ′(x)，且g[ϕ(x)]的原函数容易求出，则∫f(x)dx=∫g[ϕ(x)]ϕ′(x)dx=∫g[ϕ(x)]d[ϕ(x)]=G[ϕ(x)]+C，其中：G′[ϕ(x)]=g[ϕ(x)]。常用的凑微分公式有：∫f(ax+b)dx=1a∫f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)∫f(axn+b)⋅xn−1dx=1na⋅n∫f(ax+b)d(axn+b)(a≠0)∫f(1x)⋅111x2dx=−∫f(x)d(x)∫f(x)⋅1xd(x)=2∫f(x)d(x)∫f(lnx)⋅1xdx=∫f(lnx)d(lnx)∫f(eax)⋅eaxdx=1a∫f(eax)d(eax)(a≠0)∫f(sinx)⋅cosxdx=∫f(sinx)d(sinx)∫f(cosx)⋅sinxdx=−∫f(cosx)d(cosx)∫f(tanx)⋅1cos2xdx=∫f(tanx)d(tanx)∫f(cotx)⋅1sin2xdx=−∫f(cotx)d(cotx)∫f(arcsinx)⋅11−x2dx=∫f(arcsinx)d(arcsinx)∫f(arccosx)⋅11−x2dx=−∫f(arccosx)d(arccosx)∫f(arctanx)⋅11+x2dx=∫f(arctanx)d(arctanx)∫f′(x)f(x)dx=∫1f(x)d(f(x))=lnf(x)+C65n≠0）（高等数学学习指导书第四章不定积分（3）第二类换元法先对积分变量进行换元，简化被积函数的形式，再求积分。∫f(x)dx====∫f[ϕ(t)]dϕ(t)=∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=F(t)+Ct=ϕ−1(x)x=ϕ(t)====F[ϕ−1(x)]+C其中x=ϕ(t)及ϕ′(t)都连续且ϕ′(t)≠0。常用的几种变量代换有：ⅰ）被积函数含有根式nax+b，令t=nax+b(−ⅱ）被积函数含有根式a2−x2，令x=asint或x=acostⅲ）被积函数含有根式a2+x2，令x=atantⅳ）被积函数含有根式ππ0)，求f(x)2分析：导函数是对x求导，所以可以先换元，也可以直接对x积分。2df′(x2)解：法一f′(x)==lnx，则df(x2)=lnxd(x2)2d(x)2两边对x2积分，有22222df(x)=f(x)=lnxd(x)=xlnx−x∫∫∫dlnx11dx=x2lnx−x2+Cx21则f(x)=xlnx−x+C2=x2lnx−∫x2法二先换元，再积分1f′(x2)=lnx，则f′(x)=lnx=lnx2两边对x积分，有11111lnxdx=xlnx−x⋅dx=xlnx−x+C∫∫x22∫2211即f(x)=xlnx−x+C22f′(x)dx=例34曲线过点(e2,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。分析：由导数的几何意义可知，f′(x)=1，则f(x)为f′(x)的一个原函数。利用不定积分x求出f′(x)的全体原函数，再由曲线过点(e2,3)确定积分常数C，即可求出曲线方程。解：设所求曲线方程为：y=f(x)，则f′(x)=而1。x∫1f′(x)dx=f(x)=∫dx=lnx+Cx81高等数学学习指导书第四章不定积分又曲线过点(e2,3)，代入3=lne2+C⇒C=1。故所求的曲线方程为：y=lnx+1例35设物体的运动速度为v=cost(m/s)。当t=求物体的运动规律。π时，物体所经过的路程为s=10m，2分析：由导数的物理意义可知v(t)=s′(t)=cost，则s(t)是s′(t)的一个原函数。利用不定积分求出s′(t)的全体原函数，再由st=π2=10确定积分常数C。解：设物体的运动规律为：s=s(t)，则s′(t)=v(t)=costs(t)=∫costdt=sint+C又当t=ππ时，s=10。代入10=sin+C，则C=9。22故所求物体运动规律为：s(t)=sint+9。四、自测题（A）（一）填空题：1、若f(x)的一个原函数是arctanx+x，则f(x)=_____________；2、设∫f(x)dx=x2+C,则∫x⋅f(1−x2)dx=____________；82高等数学学习指导书第四章不定积分3、d3x+1dx=_____________；∫dx4、ex⋅cos(ex)dx=____________；5、设f(x)=e−x,则（二）选择题1、∫∫f′(lnx)dx=_____________。x∫f(x)dx=314x−x2+C，则f(x)=(2B）2x−2x+C3)；3A）2x−2xxC）x−xC）x4−2x2、设e是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=(A）ex(1+x)+C3、若A）B）ex(1−x)+C∫)D）−ex(1+x)+CC）ex(x−1)+C∫f′(ex)dx=e2x+C，则f(x)=(B）e2x+CC）)23x+C3)D）1xe+C244x+C34、若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫e−xf(e−x)dx=(xA）F(e)+C5、设B）−F(e)+C−xC）F(e)+C−xF(e−x)D）+Cx)D）f(x)具有连续的导数，则∫[x⋅f′(x)+f(x)]dx=(B）xf′(x)+CC）x+f′(x)+CA）xf(x)+C（三）计算题1、ex+f(x)+C∫∫3x2+lnxdx12、∫dx4cosxx+arctanx3、∫dx21+x4、x∫x(x+3x)dx35、1(4−x)322xdx6、∫(x2−1)e−xdx7、∫xln(x−1)dx8、∫e−xcosdx2x2+x−89、∫arctanxdx10、∫dxx(x2−1)（四）应用题1、一曲线通过(e3,4)点且在其上任一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍之倒数，求该曲线的方程。83高等数学学习指导书第四章不定积分2、一物体由静止开始运动，在t秒末的速度是3t2m1）在3秒后离开出发点的距离是多少？2）需要多少时间走完360米？s，问自测题（B）（一）填空题1．若2．若3．4．5．f(x)的一个原函数是x2，则∫f′(x)dx=______________；∫f(x)dx=F(x)+C，则∫cosx⋅f(sinx)dx=___________；d[∫f(2x)dx]=_________；dx∫∫sin(1−2x)dx=____________；x⋅f(x2)⋅f′(x2)dx=_____________。（二）选择题1．设f(x)=e2x，则（A）2ex+C2．若∫xf()dx=(2)；（C）2e2x+C（D）e2x+C（B）ex+C∫f(x)dx=xe−x+C，则f(x)=(（B）(x−1)e−x)；（D）−xe−x（A）(1−x)e−x（C）xe−x3．f′(lnx)=1+x，则f(x)=()；（C）x+e+Cx1x2（A）ln(2+lnx)（B）x++C222e2x（D）e+2x4．经过点(1,0)且切线斜率为3x的曲线方程为（（A）y=x36．不定积分（A）−（B）y=x3+1（C）y=x3−1）；（D）y=x3+C∫(1+1)d(sinx)=(sin2x（B）)1+sinx+Csinx1+sinx+Csinx（C）−cotx+sinx+C（三）计算题（D）cotx−sinx+C。84高等数学学习指导书第四章不定积分1．∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫x+3x+2dx5x1sin(lnx)dxx1−1exdx2xarcsinx2．3．4．x(1−x)x1+x3dx5．dx6．1(1+x)sinxdx(lnx2)dxx23dx7．8．9．e2xcos3xdx1dx2x+x10．（四）已知曲线值，求函数y=f(x)上任意点的切线斜率为3x2−3x−6且x=−1时，y=11为极大2f(x)及其极小值。自测题（A）答案（一）填空题2+x214231、2、−x+x+C3、x+121+x2（二）选择题4、sin(ex)+C5、1+CxA,C,C,B,A（三）计算题1、13x2e+c62、tanx+1tan3x+C33、11ln(1+x2)+(arctanx)2+C2285高等数学学习指导书第四章不定积分4、lnx−6ln6x+1+C5、1x+C244−x6、e−x(−x2−2x−1)+C12111xln(x−1)−x2−x−lnx−1+C24221xx8、e−x(2sin−4cos)+C5227、9、xarctanx−x+arctanx+C10、8lnx−3lnx−1−4lnx+1+C（四）1、y=15lnx+2232、1）s(3)=3=27(m);2）t=2345(s)自测题（B）答案（一）填空题1、2x+c；5、2、F(sinx)+C；3、11f(2x)；4、cos(1−2x)+C；221[f(x2)]2+C。42、（A）；3、（C）；4、（C）；5、（A）。（二）选择题1、（B）；（三）计算题17410131551、x10+x15+x5+C；131721x2、−cos(lnx)+C；（凑微分1dx=d(lnx)）x3、e−+C；（凑微分11dx=−d()）x2x11；dx=2d(x),dx=d(arcsinx)）x1−x4、(arcsin（凑微分x)2+C；51116765、x6−x6+3x2−6x6+6arxtanx6+C；（第一类换元法，令t=6x）756、x1+x2+C；（第二类换元法，令x=tanx）7、−2xcosx+2sinx+C；（第一类换元法，令t=x，再用分部积分法）86高等数学学习指导书第四章不定积分122（二次分部积分）(lnx)2−lnx−+C；xxx232x9、e2xcos3x+（分部积分，移项）esin3x+C；13138、−10、lnx−ln(1+x)+C。（将有理分式拆成部分分式：（四）极小值：111=−）2x+xx1+xf(2)=−8。87

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