直流电机PI控制器参数设计

自动控制理论经过数十年的完善和发展，并伴随着现代应用数学新成果的推出和 电子计算机的应用，如今已经形成了比较成熟完备的理论体系， 并且在许多行业 与领域有着广泛的应用。本次课程设计所运用的 直流电机的PI控制就是其一方 面的应用，设计过程中结合设计要求分析 PI控制系统对单位阶跃和单位斜坡输 入的响应，计算其动态性能和跟踪性能。完成上述分析与计算需要借助功能强大 的数学计算软件MATLAE,精确模拟系统的响应。可见，要完成本次课程设 计不仅要掌握自动控制原理的基本知识，还要有熟练运用 MATLAB^件的能力， 因此在做设计之前要做好充分的准备，查找充分的资料，才能全面的、准确的完 成课程设计。 关键词：PI控制MATLAB

直流电机PI控制器参数设计

1. 系统结构分析

W

R Y

图1-1直流电机PI控制结构图

系统组成为比例环节、比例积分环节、惯性环节和单位负反馈，在比例环节和 惯性环节之间加入了扰动信号比较点。其中，比例环节与惯性环节是该系统的可 变部分。扰动信号输入时要经过一个比例环节。

2. 设计原理

对于系统的结构图，R和W都是施加于系统的外作用。R是输入信号，W是扰 动信号，丫是系统的输出信号。为了研究输入信号R对系统的输出信号丫的影响， 需要求有输入作用下的闭环传递函数 丫/R。在W=0的条件下，求得输入信号下闭 环传递函数丫/R。

3. 数学模型

3.1PI模型建立

t

由设计要求：PI表达式为：va = (kpe - k| edt)，其中e=r-y

0

sK 亠K

故做拉氏变换可得D的表达式：D = Kp+0二」一-

s s

3.2以R为输入的直流电机控制系统微分方程

图3-1 W=0时的系统结构图

当W=C时，以R为输入的控制系统如上图3-1所示，有开环传递函数：

严 „

_ 600(KP + KJ

右⑷叫・)=—TTeo—*

同时，当W=0时，以R为输入的控制系统闭环传递函数：

600K * s + SOOKj

R g s2 +(60 + 600Kp)s + 600Kt

忌『

、 丫 ⑴

闭环函数可化为：

[s2 -(60 4- 600K)s + 600KJY/s：l = (600Kp * s + 600KP R ,s

由上面所求等式、传递函数与微分方程的相同性，用 系统的微分方程：

d/dt替换s，可以得到

d2y (t) f 、dy(t) ——-——+(60+ 600K +600K. *y(t) dt k x dt

dr (t)

=600Kr -------------- + 600K. * r (t)

卩dt

3.3W到Y的传递函数

控制系统除了承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动下。本系统的扰动信

号为W扰动信号 W的拉氏变换为 叫,当R=0时，可计算得出扰动的输出即 W

其中：

1

Gw(s)

2

sKp K| s2 60(1 10Kp)s 600K| 1 . 1

s 60 s

600

s 60

s

将；-带入，则W到丫的传递函数为:

到丫的输出:

1500Gw(s) 1 Gw(s)

w

(s)J(£s 600Ki 3.4参数计算

由闭环传递函数得系统特征方程为：

2

D(s)二 s 60(1 10Kp)s 600KI

根据设计需要， 因单位反馈闭环传递函数特征根包括 根，可推断

- 60 一 60j，则根据特征

D(s) =(s 60 60j)(s 60-60j) =0

化简得

2

s 120s 7200 =0

用待定系数法得

600 Kp 60 =120

600KI =7200

Kp =0.1 心=1

从而闭环系统的传递函数为

(s)

60(s 120) s2 120s 7200

4. 分析系统的跟踪性能

4.1比例积分控制系统的动态和跟踪性能

PI控制开环传递函数:

(Ts 1)

G(sK(1

\"

P

芒k\" s(s 2 )

’n

2 -'n

(

T

i

KpK Ti

G(s)二

s(

r-

1)

Ti

，可得闭环传递函数为

2 ■'n

(s)=

z

◎ 2「「

n

n

2)

其中

K

2z

有上述计算可知，PI控制系统不改变系统频率，但是可以改变系统阻尼比。因

K P

为E与“均和〒-有关，所以适当选择开环增益和积分时间常数对减小稳态误差 和良好的动态性能非常重要。

4.2单位阶跃参考输入

根据上述所求闭环系统的传递函数，当输入是阶跃函数时，系统输出为:

Y(s)二

60( s 120) s(s2 120s 7200)

1 _ 60 s (s 60)2

602

d

n

=0.707 E1

因

2z

,进行拉氏反变换，得单位阶跃响应

y(t)二1 —e^tsin60t

由上式可以看出，系统为稳态分量

yss(t1

^和瞬态分量y(t)=-e(0tsjn60t组

1。对t求导，有峰值时间

成。系统阶跃时间响应为振荡衰减函数，稳态值趋于

tp

1 60

arcta n(-1) = 0.039s

o

把峰值时间带入

y(t)

得

y(tp) =1.067

根据超调量定义，可得

-% p

y (t ) — y(oo )

100% =6.7%

y®)

令厶表示实际响应与稳态输出之间的误差，由 式

y

tt(t) = -e»°t sin60t可以得不等

.■: =|e》0tsin60t Fe』0t

若取人=0.05，由上式可解出

ln20

ts 二 一 0.05s

60

4.3单位斜坡参考输入

当输入为单位斜坡函数时，系统输出为:

、…、 60(s + 120) Y(s)二二 2

1

2

1 1 丄 1 s + 60

2

2

1 60

2

2

s2(s2+120s+7200) s2 120 s 120 (s+60)2+602 120 (s +60)2+602

因系统阻尼比为.=°.7

应分析。

07

，属于欠阻尼系统。以下为欠阻尼系统的单位斜坡响

对上式进行反拉氏变换，得斜坡输入的时间响应

y(t) =t

…

1

— e_60t cos60t

120 120 120

— e_60t sin 60t

亍

曰

曰 yss(t)十丄

由上式可知系统单位斜坡响应由稳态分量

120

和瞬态分量

y

tt

⑴吩/①换吩/品60

组成。

系统误差响应为

e(t)

=(t)-

ry

(t)。当时间t趋于无穷时，误差响应

e(t

)的稳态值 为稳态误

差，以QsO标志。对于此处单位斜坡响应时，其稳态误差为

e

误差响应为

— — i

ssCJ =t-y(：：) = 120

e(t) - — e ■ cos601 - e120 120 120

将上式对t求导，的误差响应的峰值时间

60t_60t

sin 60t -

120 120

2

e

_60t

cos(60t+ )

4

tp =—arccos0

60

兀

120

=0.0262 s

将t p带入误差响应函数可得最大误差

1 120

■'2 _60tp ：'；(

矿

pcos(60t+

p

?“

0101

5. Matlab仿真验证

5.1单位阶跃输入时的动态性能 在MATLAB^令框中输入程序：

num=[60,7200];

de n=[1,120,7200]; step( nu m,de n); sys=tf( nu m,de n); ltiview;

敲击回车键后在弹出的LTIViewer框中导入sys函数，然后对绘制的曲线进 行设置后可以得到阶跃响应的各项指标点，如上升时间 人、峰值时间如和调节时 间ts,如下图所示：

Step Response

o o D

图5-1阶跃响应曲线 在文本框中可读出数据，列出如下：

ts = 0.019s tp = 0.03s

上升时间: 峰值时间: 峰值： 超调量：

Mp =1.07

二％ = 6.7%

条件时间：

ts 二 0.0497s p 二 0.05)

-=0, 1,各项

结果分析：由上面的单位阶跃输入的响应曲线可以看出，当负载转矩 输入为-=1/s，该控制系统的阶跃响应为衰减震荡过程，最后稳定在 指标与设计计算值无明显偏差。可见 MATLA分析和自己所求结果一致。

5.2单位斜坡输入时的动态性能

首先在命令框中输入程序如下：

num=[60,7200]; de n=[1,120,7200]; t=0:0.01:2; subplot(2,1,1); u=t; plot(t,u); hold on

lsim( nu m,de n,u,t);

输入程序并运行后，会自动弹出绘制的跟踪曲线，如下所示：

Linear SimLla^ioTi Rcsuhs TJ- 5 Time 图5-2单位斜坡输入时的跟踪曲线

在输入信号后，输出与输入的误差由零逐渐增大， 然后趋于一个稳定的值。为 精确确定误差，下面对误差响应做分析。 已知系统单位斜坡误差响应为：

ess

120 s s 120s 7200 s 120s 7200 s(s 120s 7200)

反拉氏变换后得:

s 60 丄(-

、 2 -2

60

、 s 60 60

) = 2

e(t)=

e cos(60t + —)

120 120 4

E(s)

s - 60

■ 120 s ■ 7200 的阶跃响应

1 \\ 2

60t ■■:

由ess形式可知，欲求e(t)，可求

利用LTIViewer求取误差函数的峰值、稳态值等。在命令框中输入程序:

num=[1,60];

den=[1,120,7200]; step( nu m,de n); sys=tf( nu m,de n); ltiview

键入回车后在弹出的LTIViewer中导入sys函数，即得到误差响应的时域曲线:

图5-3误差响应的时域曲线

可以看出，当单位斜坡输入后，误差先由零迅速增大至峰值，然后下降，并趋 于一个稳态值。设置LTIViewer的响应属性后，可以读出误差响应的峰值、 峰值

时间和稳态值:

峰值时间: 峰值： 稳态值：

tp = 0.0262 M p =0.0101

83

氐=°.°°3

结果分析：由上面单位斜坡输入的系统响应曲线可以看出，当负载转矩'4-.；=0， 输入为-

=1^，该控制系统的输出很好的跟踪输入，误差趋近于零。各项指 标与设计计算值无明显偏

差。可见 MATLA分析和自己所求结果一致。

6. 心得体会

在本次课程设计中，需要我们掌握许多的知识和技能才能顺利的完成整个的课 程设计任务。首先，要根据所学的自动控制原理的相关知识来对设计要求进行理 论分析，计算系统参数、动态性能、响应速度、稳定性等多项指标，必要时还要 对系统进行校正，改善系统的响应。然后，利用计算机软件

MATLA进行设计的

仿真，验证系统的各项指标是否正确。这就要求我们要多查阅一些课外的自动控 制原理的参考资料，补充自身的理论知识，同时要掌握 言及一些基本功能的运用。

在此过程中遇到了许多难题，如系统传递参数的计算，单位斜坡输入时系统的 误差响应，

MATLA的—些用程序语

MATLAB的建模方法等。但是经过我们的努力，通过查找一些参考资 料或者在网上找一些常

见的建模程序等方法都找到了节解决的方案。

通过本次课程设计，让我在完成课程设计的同时也对自动控制原理的一些理论 有了更加深入细致的了解，并且在实际中加以运用。并且通过对知识的综合运用， 提高了自己分析问题，思考问题，解决问题的能力。同时在使用

MATLA仿真验

证时，让我更加了解了这款软件的强大之处， 对其一些基础的功能能够熟练的运 用，增强了我的动手能力，又使我多了一项技能。

总之，这次课程设计让我有许多收获，为以后的将要进行的科学研究工作奠定 了良好的基础。

参考文献

胡寿松•《自动控制原理》•北京：科学出版社，2001

张冬研，孙丽萍•《自动控制理论学习指导》•哈尔滨：东北林业大学出版社, 陈淮琛.

2003 2000

《MATLA及其在理工课程中的应用指南》西安电子科技大学出版社, 朱衡君.

《MATLA语言及实践教程》.北京：清华大学出版社，2005 王永利.《MATIABg序设计》.北京：电子工业出版社，2004