数值分析第4章答案

1

第四章 数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

(1)f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);hh(2)2h2h1f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);

(3)f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3;1h(4)f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)];0解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

令f(x)1，则

2hA1A0A1

令f(x)x，则

0A1hA1h

令f(x)x，则

223hh2A1h2A1 3从而解得

4A03h1Ah 131A13h令f(x)x，则

3hhf(x)dxx3dx0

hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0

故

hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

4令f(x)x，则

数值分析第四章

2

hhf(x)dxx4dxhh25h525h3

A1f(h)A0f(0)A1f(h)故此时，

hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

hh故

f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

2h具有3次代数精度。 （2）若

2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

令f(x)1，则

4hA1A0A1

令f(x)x，则

0A1hA1h

令f(x)x，则

2163hh2A1h2A1 3从而解得

4Ah038Ah 138A13h令f(x)x，则

32h2hf(x)dx2h2hx3dx0

A1f(h)A0f(0)A1f(h)0

故

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

4令f(x)x，则

数值分析第四章

3

2h2hf(x)dx2h2hx4dx645h 5165h 3A1f(h)A0f(0)A1f(h)故此时，

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

因此，

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

1具有3次代数精度。 （3）若

1f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)1，则

11f(x)dx2[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)x，则

012x13x2

令f(x)x，则

2212x123x2

2从而解得

x10.2899x10.6899或 x0.1266x0.526622令f(x)x，则

311f(x)dxx3dx0

11[f(1)2f(x1)3f(x2)]/30

故

11f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3不成立。

h因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若

0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]

令f(x)1，则

h0f(x)dxh,

数值分析第四章

4

h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h

令f(x)x，则

hh1f(x)dxxdxh20201h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h22令f(x)x，则

2

h01f(x)dxx2dxh303h1h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h32ah22故有

1313hh2ah232

1a12令f(x)x，则

h143f(x)dxxdxh004

12141414h[f(0)f(h)]/2h[f(0)f(h)]hhh12244h3令f(x)x，则

4154f(x)dxxdxh005

12151515h[f(0)f(h)]/2h[f(0)f(h)]hhh12236hh故此时，

h0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2因此，

h012h[f(0)f(h)], 121f(x)dxh[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]

12具有3次代数精度。

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

数值分析第四章

5

(1)xdx,n8;04x21(2)(3)(1e)dx,n10;0 x191x21xdx,n4;(4)64sin2d,n6;0解：

1x (1)n8,a0,b1,h,f(x)284x复化梯形公式为

7hT8[f(a)2f(xk)f(b)]0.11140

2k1复化辛普森公式为

77hS8[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]0.11157

k6k0k12(2)n10,a0,b1,h复化梯形公式为

1(1e),f(x) 10x1x29hT10[f(a)2f(xk)f(b)]1.39148

2k1复化辛普森公式为

99hS10[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.45471

k6k0k12(3)n4,a1,b9,h2,f(x)x,

复化梯形公式为

3hT4[f(a)2f(xk)f(b)]17.22774

2k1复化辛普森公式为

33hS4[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]17.32222k6k0k12(4)n6,a0,b复化梯形公式为

6,h36

,f(x)4sin2数值分析第四章

5hT6[f(a)2f(xk)f(b)]1.03562

2k16

复化辛普森公式为

55hS6[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.03577

k6k0k123。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。

证明：

柯特斯公式为

baf(x)dxba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)] 90令f(x)1，则

baf(x)dxba90ba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)]ba90令f(x)x，则

b122f(x)dxxdx(ba)aa2

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b2a2)902b令f(x)x，则

b1332f(x)dxxdx(ba)aa3

ba133[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](ba)903b2令f(x)x，则

b1434f(x)dxxdx(ba)aa4

ba14[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](ba4)904b3令f(x)x，则

4数值分析第四章

b1545f(x)dxxdx(ba)aa5

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b5a5)905b7

令f(x)x，则

b1656f(x)dxxdx(ba)aa6

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b6a6)906b5令f(x)x，则

6h0f(x)dxba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)] 90因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分解：

辛普森公式为

10exdx并估计误差。

Sbaab[f(a)4f()f(b)] 62此时，

a0,b1,f(x)ex,

从而有

11S(14e2e1)0.63233

6误差为

R(f)baba4(4)()f()1802114e00.00035,(0,1)1802

5。推导下列三种矩形求积公式：

bababaf()(ba)2;2f()f(x)dx(ba)f(b)(ba)2;

2abf()f(x)dx(ba)f()(ba)3;224f(x)dx(ba)f(a)数值分析第四章

8

证明：

(1)f(x)f(a)f()(xa),(a,b)

两边同时在[a,b]上积分，得

baf(x)dx(ba)f(a)f()(xa)dx

ab即

baf(x)dx(ba)f(a)(2)f()(ba)2 2f(x)f(b)f()(bx),(a,b)两边同时在[a,b]上积分，得

baf(x)dx(ba)f(a)f()(bx)dx

ab即

baf(x)dx(ba)f(b)(3)f()(ba)22

abababf()ab2f(x)f()f()(x)(x),(a,b)22222两连边同时在[a,b]上积分，得

baf(x)dx(ba)f(ababbabf()bab2)f()(x)dx(x)dx aa22222abf())(ba)3; 22410即

baf(x)dx(ba)f(x6。若用复化梯形公式计算积分Iedx，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超

过

1105若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 2解：

采用复化梯形公式时，余项为

Rn(f)又

10ba2hf(),(a,b) 12Iexdx

xx故f(x)e,f(x)e,a0,b1.

Rn(f)12ehf()h2 1212数值分析第四章

9

若Rn(f)1105，则 26h2105

e当对区间[0,1]进行等分时，

1h,

n故有

ne105212.85 6因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为

Rn(f)又

bah4(4)()f(),(a,b) 1802f(x)ex,

f(4)(x)ex,Rn(f)若Rn(f) 1eh4|f(4)()|h4288028801105，则 2h41440105 e当对区间[0,1]进行等分时

n1 h故有

1144054n(10)3.71

e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。

7。如果f(x)0，证明用梯形公式计算积分If(x)dx所得结果比准确值I大，并说

ab明其几何意义。

解：采用梯形公式计算积分时，余项为

RT又

f()(ba)3,[a,b] 12f(x)0且ba

RT0

数值分析第四章

10

又

RT1T

IT

即计算值比准确值大。

其几何意义为，f(x)0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10.

5(1)2e01xdx(2)xsinxdx

02(3)x1x2dx.03解：

(1)I210exdx

T0(k) 0.7717433 0.7280699 0.7169828 0.7142002 k 0 1 2 3 2T1(k) 0.7135121 0.7132870 0.7132726 T2(k) 0.7132720 0.7132717 T3(k) 0.7132717 因此I0.713727

(2)Ixsinxdx

0k 0 1 因此I0

T0(k) 3.45131310 8.62828310 76T1(k) -4.4469231021 (3)Ix1x2dx

03k 0 1 2 3 4 5 T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k) 14.2302495 11.1713699 10.1517434 10.4437969 10.2012725 10.2045744 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.2076691 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.2075936 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922 数值分析第四章

11

因此I10.2075922

9。用n2,3的高斯-勒让德公式计算积分

31exsinxdx.

3解：

Iexsinxdx.

1x[1,3],令tx2，则t[1,1]

用n2的高斯—勒让德公式计算积分

I0.5555556[f(0.7745967)f(0.7745967)]0.8888889f(0)

10.9484用n3的高斯—勒让德公式计算积分

I0.3478548[f(0.8611363)f(0.8611363)]0.6521452[f(0.3399810)f(0.3399810)] 10.9501410 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

cSa21()2sin2d,

0a这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，

H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则

a(2RHh)/2,c(Hh)/2.

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。 解：

R6371,h439,H2384

从而有。

a(2RHh)/27782.5 c(Hh)/2972.5cS4a21()2sin2d0ak 0 1 2 T0(k) 1.564640 1.564646 1.564646 T1(k) 1.564648 1.564646 T2(k) 1.564646 数值分析第四章

12

I1.564646

S48708(km)即人造卫星轨道的周长为48708km 11。证明等式 nsinn33!n255!n4

试依据nsin()(n3,6,12)的值，用外推算法求的近似值。

n解

n1315又sinxxxx3!5!此函数的泰勒展式为

若f(n)nsin,

f(n)nsinn]

11n[()3()5n3!n5!n33!n255!n4Tn(k)

当n3时, nsin当n6时, nsinn2.598076 3

3.105829

n当n12时, nsin由外推法可得 n 3 6 9 故3.14158

nT0(n) 2.598076 3.000000 3.105829 T1(n) 3.133975 3.141105 T2(n) 3.141580 12。用下列方法计算积分

31dy，并比较结果。 y(1)龙贝格方法；

(2)三点及五点高斯公式；

数值分析第四章

13

(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解

I31dy y(1)采用龙贝格方法可得 k 0 1 2 3 4 T0(k) 1.333333 1.166667 1.116667 1.103211 1.099768 T1(k) 1.099259 1.100000 1.098726 1.098620 T2(k) 1.099259 1.098641 1.098613 T3(k) 1.098613 1.098613 T4(k) 1.098613

故有I1.098613 (2)采用高斯公式时

I31dy y此时y[1,3],

令xyz,则x[1,1],

I1dx,1x2 1f(x),x21利用三点高斯公式，则

I0.5555556[f(0.7745967)f(0.7745967)]0.8888889f(0)

1.098039利用五点高斯公式，则

I0.2369239[f(0.9061798)f(0.9061798)]0.4786287[f(0.5384693)f(0.5384693)]0.5688889f(0) 1.098609(3)采用复化两点高斯公式 将区间[1,3]四等分，得

II1I2I3I41.512dy2.5dy3dy dy1.5y22.5yyy数值分析第四章

14

作变换yx5，则 41dx,1x51 f(x),x5I1f(0.5773503)f(0.5773503)0.4054054I11作变换yx7，则 41dx,1x71 f(x),x7I2f(0.5773503)f(0.5773503)0.2876712I21作变换yx9，则 41dx,1x91 f(x),x9I3f(0.5773503)f(0.5773503)0.2231405I31作变换yx11，则 41dx,1x111 f(x),x11I4f(0.5773503)f(0.5773503)0.1823204I41因此，有

I1.098538

13.用三点公式和积分公式求f(x)1在x1.0,1.1，和1.2处的导数值，并估计误差。2(1x)f(x)的值由下表给出：

x F(x) 解：

1.0 1.1 1.2 0.2500 0.2268 0.2066 f(x)1 2(1x)数值分析第四章

15

由带余项的三点求导公式可知

1h2f(x0)[3f(x0)4f(x1)f(x2)]f()2h31h2 f(x1)[f(x0)f(x2)]f()2h61h2f(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]f()2h3又

f(x0)0.2500,f(x1)0.2268,f(x2)0.2066,

f(x0)f(x1)1[3f(x0)4f(x1)f(x2)]0.2472h1[f(x0)f(x2)]0.217 2h1f(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]0.1872h又

f(x)1

(1x)2f(x)又

24 5(1x)x[1.0,1.2]

f()0.75

故误差分别为

h2R(x0)f()2.51033h2R(x1)f()1.25103

6h2R(x2)f()2.51033利用数值积分求导， 设(x)f(x)

f(xk1)f(xk)由梯形求积公式得

xk1xk(x)dx

xk1xk(x)dx[(xk)(xk1)]

h2数值分析第四章

16

从而有

hf(xk1)f(xk)[(xk)(xk1)]

2故

2h

2(x1)(x2)[f(x2)f(x1)]h(x0)(x1)[f(x1)f(x0)]又且

f(xk1)f(xk1)xk1xk1(x)dx

xk1xk1(x)dxh[(xk1)(xk1)]

从而有

f(xk1)f(xk1)h[(xk1)(xk1)]

故(x0)(x2)即

1[f(x2)f(x0)] h(x0)(x1)0.464(x1)(x2)0.404 (x)(x)0.43420解方程组可得

(x0)0.247(x1)0.217 (x)0.1872