2022年河北省邯郸市大名县中考数学三模试题及答案解析

2022年河北省邯郸市大名县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 2021年12月，北京师范大学中国教育与社会发展研究院采用在线问卷的方式调查了各界

对“双减”成效的看法，回收有效样本总量168.9万．用科学记数法表示168.9万是( )

A. 0.1689×107 B. 1.689×106 C. 16.89×105 D. 168.9×104

2. 早在1700多年前，数学家刘辉就提出了正数和负数的概念，他用红色、黑色算筹(小棍形

状的记数工具)分别表示正数和负数．如图1表示的算式是(+1)+(−2)，根据这种表示方法，可推算出图2所表示的算式是( )

A. (−3)+(−4) B. (−3)+(+4) C. (+3)+(−4) D. (+3)+(+4)

3. 已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6𝑐𝑚，则这个扇形的弧长是( ) A. 8𝜋𝑐𝑚

B. 6𝜋𝑐𝑚

C. 4𝜋𝑐𝑚

D. 2𝜋𝑐𝑚

4. 如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝑎//𝑏，若∠1=32°，则∠2的度数是( ) A. 64° B. 58° C. 32° D. 28°

5. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐸，若𝐵𝐸=𝐶𝐷=8，则⊙𝑂的半径的长是

( )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

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6. 如图，数轴上点𝐴、𝐵所表示的数分别为𝑎，𝑏，则下列各数中，最大的是( ) A. 𝑎

𝑏

B. 𝑏𝑎

𝑘

C. 𝑏−𝑎 D. 𝑏+𝑎

7. 已知反比例函数𝑦=𝑥的图象在第一、第三象限内，设函数图象上有两点𝐴(𝑥1,𝑦1)、

𝐵(𝑥2,𝑦2)，若𝑥1<𝑥2，则𝑦1与𝑦2的大小关系是( )

A. 𝑦1>𝑦2

B. 𝑦1<𝑦2 C. 𝑦1=𝑦2 D. 不能确定

8. 快走已成为人们锻炼的一种方式，用手机软件便可轻松的记录每天的快走步数．陈老师

用手机记录了某周7天每天快走锻炼的步数(单位：万步)，并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数、众数分别是( )

A. 1.2万步、1.2万步 C. 1万步、1.2万步

B. 1.1万步、0.8万步 D. 1万步、1万步

9. 如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹分别为边𝐴𝐷、𝐵𝐶的中点，点𝐺、𝐻在𝐴𝐶上，且𝐴𝐻=𝐶𝐺，若

添加一个条件使四边形𝐸𝐺𝐹𝐻是菱形，则下列可以添加的条件是( )

A. 𝐴𝐵=𝐴𝐷 B. 𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 C. 𝐴𝐵=𝐴𝐶 D. 𝐴𝐵⊥𝐴𝐶

10. 若关于𝑥的不等式𝑥+1<𝑚的正整数解有且只有2个，则𝑚可能的值是( ) A. 3.5

B. 3

C. 2.5

D. 2

11. 已知𝑎，𝑏是两个实数，满足𝑎+𝑏=0，下列是关于𝑎，𝑏的五个结论：

①𝑎2+𝑏2=0； ②𝑎2−𝑏2=0；

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③𝑎3+𝑏3=0； ④𝑎3−𝑏3=0；

⑤|𝑎|=|𝑏|五个结论中，所有正确结论的序号是( )

A. ②④⑤ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ①③⑤

12. 可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图1方式

放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是( )

A. (𝑎−𝑏)𝑐𝑚 B.

𝑎+𝑏

𝑐𝑚 2

C. (2+𝑏)𝑐𝑚

𝑎

D. (𝑎+2) 𝑚

𝐴𝑃

𝐴𝑄

𝑏

13. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝑃，𝑄分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶边上的点，且满足𝐴𝐶=𝐴𝐵根据上述信息，嘉嘉

和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接𝑃𝑄，则𝑃𝑄//𝐵𝐶． 淇淇说：△𝐴𝑄𝑃∽△𝐴𝐵𝐶．

对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是( )

A. 两人都正确 C. 嘉嘉正确，淇淇错误

B. 两人都错误

D. 嘉嘉错误，淇淇正确

14. 下列关于二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥+1(𝑚为常数)的结论，正确的是( ) A. 该函数的图象的顶点在函数𝑦=𝑥2+1的图象上 B. 当𝑥>𝑚时，𝑦随𝑥的增大而增大 C. 该函数的图象一定经过点(2,1)

D. 该函数的图象可以由函数𝑦=𝑥2的图象平移得到

𝐹两点，𝐵𝐸=𝐷𝐹=正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是10，在正方形外有𝐸、满足𝐴𝐸=𝐶𝐹=6，15. 如图，8，则𝐸𝐹的长是( )

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A. 14√3 B. 14√2 C. 14 D. 10√2

16. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3.将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐴𝐶折叠，点𝐵的对

称点为𝐵′，连接𝐷𝐵′，则𝐷𝐵′的长是( )

A. 1.5 B. √2 C. 1.4 D. 1

二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）

17. 已知𝑎𝑚=2，𝑎𝑛=3，则𝑎2𝑚+𝑛的值为______．

18. 甲、乙两组数据如下．

甲组：1，2，3，4，5；

乙组：2020，2021，2022，2023，2024．

22

甲、乙两组数据的平均数、方差的关系分别是：𝑥甲______𝑥乙，𝑆甲______𝑆乙(填“>”“<”

−

−

或“=”)

19. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=1，𝐶𝐵=2，将△𝐴𝐶𝐵绕点𝐶按逆时针方向旋转

得到△𝐷𝐶𝐸.连接𝐷𝐴、𝐵𝐸，直线𝐷𝐴、𝐵𝐸交于点𝐹，连接𝐶𝐹． (1)𝐷𝐴与𝐸𝐵的等量关系是：______；

(2)在旋转过程中，线段𝐶𝐹的最大值是______．

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三、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. (本小题8.0分)

嘉琪记录了她连续两天陪妈妈去水果店买水果的账目：第一天买了2斤香蕉和1斤苹果，共花了11元，第二天买了1斤香蕉和3斤苹果，共花了43元．已知两天中，香蕉和苹果的单价相同．她的记录是否正确？若正确，请算出香蕉和苹果的单价，若错误，请说明理由．

21. (本小题8.0分)

某果农将苹果树种在正方形的果园里，为了保护苹果树不被风吹，果农在苹果树的周围种植了防风的针叶树．如图，果农所种植苹果树的列数(𝑛)和苹果树的数量及针叶树的数量的规律如下(表示苹果树，×表示针叶树)：

根据上面的信息，回答下列问题． (1)填表(只填横线上的值)：

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𝑛 1 2 3 4 …… 苹果树的数目 1 4 9 ______ …… 针叶树的数目 8 16 ______ ______ …… (2)按上述规律，求当𝑛=______时，苹果树数量与针叶树的数量相等．

(3)如果该果农想要种更多列的苹果树，做一个更大的果园，当果农将果园扩大时，哪一种树会增加的更快？请解释你的想法．

22. (本小题9.0分)

一个不透明的盒子中装有1个红球和𝑚(𝑚是大于1为正整数)个白球，这些球质地均匀，且除颜色外其它都相同，摇匀后从中任意摸出2个球． (1)若𝑚=3，求摸出红球的概率；

(2)摸出红球的概率是______(用含𝑚的代数式表示)．

23. (本小题9.0分)

如图15，在数轴上，点𝑃、𝐴、𝐵表示的数分别是−6、−3、2.点𝑃以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点𝐵以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点𝑃、𝐵运动的时间为𝑡秒时，点𝑃、𝐵分别位于数轴上𝑃′、𝐵′处． (1)当𝑡=______时，𝐴𝐵=8． (2)当𝑃′𝐴=3𝑃′𝐵时，求𝑡的值．

24. (本小题10.0分)

数学活动课上，陈老师布置了这样一道题目．

𝑏及点𝑃，𝐵分别在直线𝑎、如图1，已知两条平行的直线𝑎、用直尺和圆规作△𝑃𝐴𝐵，使得点𝐴，𝑏上，且满足𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝐵=90°． (1)如图2，嘉淇的方法如下：

①过点𝑃作𝐶𝐷⊥𝑎，𝐶𝐷与直线𝑎、𝑏分别交于点𝐶、𝐷； ②在直线𝑎上截取点𝐴，使𝐶𝐴=𝑃𝐷；

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③在直线𝑏上截取点𝐵，使𝐷𝐵=𝑃𝐶； ④连接𝑃𝐴、𝑃𝐵、𝐴𝐵，得到△𝑃𝐴𝐵．

请你证明嘉淇作出的△𝑃𝐴𝐵满足𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝐵=90°．

(2)如图3，若将题目中“两条平行的直线𝑎、𝑏”改为“两条不平行的直线𝑎、𝑏”，其余条件𝐵分别在直线𝑎、𝑏上，不变，请你在图2中用直尺和圆规作出△𝑃𝐴𝐵，使得点𝐴、且满足𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝐵=90°.(保留作图痕迹，不必写出做法)

25. (本小题11.0分)

某汽车生产厂经过检测发现：该厂的某种型号汽车在高速公路上行驶，遇到紧急情况刹车时，汽车的反应距离(司机做出反应后到踏下制动器这段时间内汽车运行的距离)与汽车的速度成正比，汽车的制动距离(司机踏下制动器后，汽车继续行驶的一段距离)与汽车的速度的平方成正比，汽车急刹车的停车距离等于汽车的反应距离与汽车的制动距离之和．设汽车的速度为𝑣(𝑚/𝑠)，该型号汽车急刹车的停车距离为𝑠(𝑚).如表是𝑣取某一数值时，𝑠对应的值．

𝑣(𝑚/𝑠) 20 30 根据上述信息，解答下列问题： (1)求𝑠与𝑣的函数表达式；

(2)一辆该型号汽车以22𝑚/𝑠的速度在高速公路上行驶，突然发现正前方60𝑚处有一障碍物，司机紧急刹车，汽车与障碍物会相撞吗？说明理由．

(3)高速公路上，驾驶着一辆该型号汽车的司机突然发现正前方75𝑚处有一辆抛锚的汽车，司机紧急刹车，要使该汽车能在距离抛锚的汽车2.5𝑚以上处停住，则该汽车行驶的速度不超过______𝑚/𝑠．

𝑠(𝑚) 50 99 26. (本小题12.0分)

【问题提出】

将一张矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷(如图1)对折，使𝐴𝐵、𝐷𝐶重合，得到折痕𝐸𝐹(如图2)，把纸片展平，则

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点𝐹平分边𝐵𝐶

如何折叠，能使边𝐵𝐶被三等分呢？ 【问题解决】

(1)通过以下步骤，可以将边𝐵𝐶三等分，

第一步：在图2的基础上，折出𝐴𝐶、𝐵𝐸，将𝐴𝐶与𝐵𝐸的交点记为𝐺(如图3)．

第二步：过点𝐺折叠纸片，使点𝐴、𝐵分别落在𝐴𝐷、𝐵𝐶边上的点𝑃、𝑄处，折痕为𝑀𝑁(如图4)． 把纸片展平，则点𝑁、𝑄三等分边𝐵𝐶．

根据上述折叠的步骤，填写框图中划横线处，分析此种折叠方法的研究思路．

𝐴𝐸𝐵𝐶=

12→______=

12→

𝐴𝑀𝐶𝑁=→

12𝐵𝑁𝐵𝐶=______

【探索思考】

(2)如图1，借助(1)中获得的经验进行折叠，使边𝐵𝐶被五等分．(简述折叠方法并画出示意图) (3)如图1，用一种不同于(1)的方法进行折叠，使边𝐵𝐶被三等分．(简述折叠方法并画出示意图)

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答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】解：168.9万=1689000=1.689×106． 故选：𝐵．

把一个大于10的数表示成𝑎×10𝑛的形式(其中𝑎大于或等于1且小于10，𝑛是正整数)使用的是科学记数法．用科学记数法表示一个𝑛位数，则10的指数是𝑛−1.一些较大的数可以用科学记数法表示，一些小于1的正数也可以用科学记数法表示成𝑎×10−𝑛的形式．

本题考查科学记数法表示较大的数，其中确定𝑎和𝑛的值是关键，注意1≤𝑎<10，𝑛=位数−1．

2.【答案】𝐶

【解析】解：由题意得，图2所表示的算式是(+3)+(−4)． 故选：𝐶．

根据题意解决此题．

本题主要考查正数和负数，熟练掌握正数和负数是解决本题的关键．

3.【答案】𝐶

【解析】解：根据弧长的公式𝑙=180， 得到：𝑙=

120𝜋×6

180

𝑛𝜋𝑟

=4𝜋(𝑐𝑚)，

故选：𝐶．

根据弧长的公式𝑙=180进行计算即可．

本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．

𝑛𝜋𝑟

4.【答案】𝐷

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=60°． ∵∠1=32°， ∴∠3=88°．

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∵𝑎//𝑏，

∴∠4=∠3=88°． ∵∠4=∠𝐶+∠2， ∴∠2=∠4−∠𝐶=28°． 故选：𝐷．

利用三角形的内角和定理先求出∠3，再利用平行线的性质求出∠4，最后利用三角形的外角与内角的关系求出∠2．

本题主要考查了等边三角形、平行线的性质等知识点，掌握“等边三角形的每个内角都是60°”、“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．

5.【答案】𝐴

【解析】解：连接𝑂𝐶，

设⊙𝑂的半径为𝑅，则𝑂𝐸=8−𝑅， ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵过圆心𝑂，𝐶𝐷=8， ∴∠𝑂𝐸𝐶=90°，𝐶𝐸=𝐷𝐸=4， 由勾股定理得：𝑂𝐶2=𝐶𝐸2+𝑂𝐸2， 𝑅2=42+(8−𝑅)2， 解得：𝑅=5， 即⊙𝑂的半径长是5， 故选：𝐴．

连接𝑂𝐶，设⊙𝑂的半径为𝑅，则𝑂𝐸=8−𝑅，根据垂径定理得出𝐶𝐸=𝐷𝐸=4，根据勾股定理得出𝑂𝐶2=𝐶𝐸2+𝑂𝐸2，代入后求出𝑅即可．

本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．

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6.【答案】𝐶

【解析】解：由数轴可以看出，𝑎<0，𝑏>0， ∴𝑎<0，𝑎𝑏<0． 又∵|𝑎|>|𝑏|．

∴𝑏−𝑎>0，𝑏+𝑎<0． ∴𝑏−𝑎最大． 故选：𝐶．

由数轴可以看出，𝑎<0，𝑏>0，|𝑎|>|𝑏|.根据有理数的乘除法，加减法进行计算，然后比较大小．

本题考查了实数与数轴及实数大小比较，掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大是解题的关键．

𝑏

7.【答案】𝐷

【解析】解：∵反比例函数𝑦=的图象在第一、第三象限内， ∴函数𝑦随𝑥的增大而减小，且当𝑥>0时，𝑦>0；当𝑥<0时，𝑦<0， 当0<𝑥1<𝑥2时，𝑦1>𝑦2， 当𝑥1<0<𝑥2时，𝑦2>0>𝑦1， 当𝑥1<𝑥2<0时，𝑦1>𝑦2，

综上所述，𝑦1与𝑦2之间的大小关系不能确定， 故选：𝐷．

由反比例函数的增减性判断即可．

本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．

𝑘𝑥8.【答案】𝐴

【解析】解：每天所走步数的中位数是1.2万步， 众数是1.2万步； 故选：𝐴．

根据中位数和众数的定义分别进行解答即可；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排

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列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．

本题考查了条形统计图、中位数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

9.【答案】𝐷

【解析】解：可以添加的条件是𝐴𝐵⊥𝐴𝐶， 理由：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∵𝐸、𝐹分别为边𝐴𝐷、𝐵𝐶的中点， ∴𝐴𝐸=2𝐴𝐷，𝐵𝐹=𝐶𝐹=2𝐵𝐶， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐹=𝐶𝐹，

∴四边形𝐴𝐵𝐹𝐸是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐸𝐹， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐺=∠𝐹𝐶𝐻， ∵𝐴𝐻=𝐶𝐺，

∴𝐴𝐻−𝐻𝐺=𝐶𝐺−𝐻𝐺， 即𝐴𝐺=𝐶𝐻，

∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐶𝐹𝐻(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐸𝐺=𝐹𝐻，∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐶𝐻𝐹， ∴∠𝐸𝐺𝐻=𝐹𝐻𝐺， ∴𝐸𝐺//𝐹𝐻，

∴四边形𝐸𝐺𝐹𝐻是平行四边形， 连接𝐸𝐹交𝐴𝐶于𝑂， ∵𝐴𝐵//𝐸𝐹，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶， ∴𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，

∴四边形𝐸𝐺𝐹𝐻是菱形， 故选：𝐷．

1

1

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𝐴𝐷//𝐵𝐶，根据平行四边形的性质得到𝐴𝐷=𝐵𝐶，推出四边形𝐴𝐵𝐹𝐸是平行四边形，得到𝐴𝐵//𝐸𝐹，根据全等三角形的性质得到𝐸𝐺=𝐹𝐻，∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐶𝐻𝐹，推出四边形𝐸𝐺𝐹𝐻是平行四边形，连接𝐸𝐹交𝐴𝐶于𝑂，根据菱形的判定定理即可得到结论．

本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌平行四边形的性质是解题的关键．

10.【答案】𝐴

【解析】解：解不等式𝑥+1<𝑚得：𝑥<𝑚−1， 根据题意得：2<𝑚−1≤3， 解得：3<𝑚≤4． 故选A．

首先解关于𝑥的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有2个正整数解，即可得到一个关于𝑚的不等式组求得𝑚的范围．

本题考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是注意题目中的条件正整数解有且只有2个，要理解此条件表达的意思．

11.【答案】𝐶

【解析】解：∵𝑎+𝑏=0， ∴𝑎=−𝑏， ∴𝑎2=𝑏2， ∴𝑎2+𝑏2≥0， ∴①的结论不正确； ∵𝑎+𝑏=0， ∴𝑎=−𝑏， ∴𝑎2=𝑏2， ∴𝑎2−𝑏2=0， ∴②的结论正确； ∵𝑎+𝑏=0， ∴𝑎=−𝑏， ∴𝑎3=−𝑏3，

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∴𝑎3+𝑏3=0， ∴③的结论正确； ∵𝑎+𝑏=0， ∴𝑎=−𝑏， ∴𝑎3=−𝑏3， ∴𝑎3−𝑏3=2𝑎3， ∴④的结论不正确； ∵𝑎+𝑏=0， ∴𝑎=−𝑏，

∴|𝑎|=|−𝑏|=|𝑏|， ∴⑤的结论正确，

∴所有正确结论的序号是：②③⑤， 故选：𝐶．

利用实数的运算性质和相反数的意义对每个结论进行判断即可得出结论．

本题主要考查了实数的运算，相反数的意义，实数的乘方和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质进行解答是解题的关键．

12.【答案】𝐵

【解析】解：设图中长方体木块的长边减短边的长为𝑥 𝑐𝑚，桌子的高度是ℎ 𝑐𝑚， 𝑥+ℎ=𝑎

依题意得：{，

ℎ−𝑥=𝑏解得：ℎ=答：

𝑎+𝑏

， 2

𝑎+𝑏

𝑐𝑚． 2故选：𝐵．

设图中长方体木块的长边减短边的长为𝑥 𝑐𝑚，根据两图形给定的数据，得出关于𝑥、ℎ的二元一次方程组，解之即可．

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

13.【答案】𝐷

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【解析】解：连接𝑃𝑄， ∵𝐴𝐶=𝐴𝐵，∠𝐴=∠𝐴， ∴△𝐴𝑄𝑃∽△𝐴𝐵𝐶， 故嘉嘉错误，淇淇正确， 故选：𝐷．

根据相似三角形的判定定理即可得到结论．

本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．

𝐴𝑃

𝐴𝑄

14.【答案】𝐴

【解析】解：𝐴.∵𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥+1=−(𝑥−𝑚)2+1+𝑚2， ∴顶点为(𝑚,𝑚2+1)，

∴该函数的图象的顶点在函数𝑦=𝑥2+1的图象上，故结论正确； B.∵𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥+1=−(𝑥−𝑚)2+1+𝑚2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥=𝑚， ∴当𝑥>𝑚时，𝑦随𝑥的增大而减小，故结论错误；

C.当𝑥=2时，𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥+1=−4+4𝑚+1=−3+4𝑚， ∴该函数的图象一定经过点(2,−3+4𝑚)，故结论C错误； D.函数的图象可以由函数𝑦=−𝑥2的图象平移得到，故结论错误； 故选：𝐴．

利用二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平移的规律判断即可．

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．

15.【答案】𝐵

【解析】解：延长𝐸𝐴交𝐹𝐷的延长线于点𝑀， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，

∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐷𝐶=𝐴𝐷=10，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∵𝐴𝐸=6，𝐵𝐸=8， ∴𝐴𝐸2+𝐵𝐸2=𝐴𝐵2=100，

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∴△𝐴𝐸𝐵是直角三角形， 同理可证△𝐶𝐷𝐹是直角三角形， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中， 𝐴𝐸=𝐶𝐹{𝐵𝐸=𝐷𝐹， 𝐴𝐵=𝐶𝐷

∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝑆𝑆𝑆)，

∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐷𝐶𝐹，∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐶𝐷𝐹，∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐸𝐵𝐴=90°，∠𝐶𝐷𝐹+∠𝐹𝐷𝐶=90°， ∴∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐶𝐷𝐹=90°

又∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝑀𝐴𝐷=90°，∠𝑀𝐷𝐴+∠𝐶𝐷𝐹=90°， ∴∠𝑀𝐴𝐷+∠𝑀𝐷𝐴=90°， ∴∠𝑀=90°

∴△𝐸𝑀𝐹是直角三角形， ∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝑀𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝑀𝐷𝐴， 在△𝐴𝐸𝐵和△𝐷𝑀𝐴中， ∠𝐴𝐸𝐵=∠𝑀=90°{∠𝐸𝐴𝐵=∠𝑀𝐷𝐴， 𝐴𝐵=𝐴𝐷

∴△𝐴𝐸𝐵≌△𝐷𝑀𝐴(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝑀=𝐵𝐸=8，𝑀𝐷=𝐴𝐸=6， ∴𝐸𝑀=𝑀𝐹=14，

∴𝐸𝐹=√𝑀𝐸2+𝑀𝐹2=14√2， 故选：𝐵．

延长𝐸𝐴交𝐹𝐷的延长线于点𝑀，可证明△𝐸𝑀𝐹是等腰直角三角形，而𝐸𝑀=𝑀𝐹=𝐴𝐸+𝐷𝐹=14，所以利用勾股定理即可求出𝐸𝐹的长．

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，证明出三角形△𝐸𝑀𝐹是等腰直角三角形是解题的关键．

16.【答案】𝐶

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【解析】解：设𝐴𝐵′与𝐶𝐷交于𝐹， ∵𝐷𝐶//𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐶．

由翻折的性质可知：∠𝐵′𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶． ∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵′𝐴𝐶． ∴𝐴𝐹=𝐹𝐶．

由翻折的性质可知：∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐵=90°，𝐸𝐶=𝐶𝐵． ∴𝐴𝐷=𝐸𝐶，∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐷𝐴=90°． 在△𝐷𝐴𝐹和△𝐸𝐶𝐹中， ∠𝐷𝐹𝐴=∠𝐵′𝐹𝐶{∠𝐹𝐵′𝐶=∠𝐹𝐷𝐴， 𝐴𝐷=𝐶𝐵′

∴△𝐷𝐴𝐹≌△𝐵′𝐶𝐹(𝐴𝐴𝑆)． ∴𝐷𝐹=𝐵′𝐹，

在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，∠𝐵=90°， ∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=5． 设𝐷𝐹=𝐷𝐹=𝑥，则𝐹𝐶=4−𝑥．

在𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐶中，依据勾股定理得：32+𝑥2=(4−𝑥)2，解得：𝑥=． ∴𝐹𝐶=

25． 8

78

∵𝐴𝐹=𝐶𝐹，𝐷𝐹=𝐵′𝐹，∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐷𝐹𝐵′， ∴𝐶𝐹=𝐵′𝐹=1， ∴△𝐹𝐴𝐶∽△𝐹𝐵′𝐷， ∴

𝐴𝐶𝐷𝐵′𝐴𝐹

𝐷𝐹

==

𝐹𝐶， 𝐷𝐹

258

7， 8

5即𝐷𝐵′

解得：𝐷𝐵′=．

5故选：𝐶． 设𝐴𝐵′与𝐶𝐷交于𝐹，

根据平行线的性质得到∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐶.求得𝐴𝐹=𝐹𝐶.根据折叠的性质得到∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐵=90°，𝐸𝐶=𝐶𝐵.根据全等三角形的性质得到𝐷𝐹=𝐵′𝐹，根据勾股定理得到𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=5.设

7

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𝐷𝐹=𝐷𝐹=𝑥，则𝐹𝐶=4−𝑥.根据相似三角形的性质即可得到结论．

本题考查了矩形的性质，翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

17.【答案】20

【解析】解：当𝑎𝑚=2，𝑎𝑛=3时， 𝑎2𝑚+𝑛 =𝑎2𝑚×𝑎𝑛 =(𝑎𝑚)2×𝑎𝑛 =22×3 =4×3 =12， 故答案为：12．

利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行整理，再代入相应的值运算即可． 本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

18.【答案】< =

【解析】解：𝑥甲=𝑥乙=

−

−

1+2+3+4+5

5=3， =2022，

2020+2021+2022+2023+2024

511

2𝑆甲=5×[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2，

2𝑆乙=5×[(2020−2022)2+(2021−2022)2+(2022−2022)2+(2023−2022)2+(2024−

2022)2]=2，

22

故𝑥甲<𝑥乙，𝑆甲=𝑆乙． −

−

故答案为：<；=．

分别根据平均数和方差的定义解答即可．

本题考查方差以及算术平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，

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各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

19.【答案】𝐸𝐵=2𝐷𝐴 √5

【解析】解：(1)𝐸𝐵=2𝐷𝐴，理由如下： 由旋转可知：△𝐷𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐵，

∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐶=𝐴𝐶，𝐶𝐸=𝐶𝐵， ∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵𝐶𝐸，

𝐷𝐶𝐶𝐸

=𝐶𝐵，

𝐴𝐶

∴△𝐷𝐶𝐴∽△𝐸𝐶𝐵， ∴𝐸𝐵=𝐶𝐵=2， ∴𝐸𝐵=2𝐷𝐴；

故答案为：𝐸𝐵=2𝐷𝐴；

(2)取𝐴𝐵的中点𝐻，连接𝐶𝐻，𝐹𝐻，设𝐸𝐶，𝐷𝐹交于点𝐺，如图：

𝐷𝐴

𝐴𝐶

1

由(1)知△𝐷𝐶𝐴∽△𝐸𝐶𝐵， ∴∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐺𝐸𝐹， ∵∠𝐶𝐺𝐷=∠𝐸𝐺𝐹，

∴∠𝐺𝐶𝐷=∠𝐺𝐹𝐸=90°=∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐶𝐵， ∵𝐻是𝐴𝐵的中点，

∴𝐹𝐻=2𝐴𝐵=2√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=2√12+22=2√5=𝐶𝐻， ∵𝐶𝐻+𝐹𝐻≥𝐶𝐹，

∴当𝐶，𝐻，𝐹共线时，𝐶𝐹最大为𝐹𝐻+𝐶𝐻=√5， 故答案为：√5．

(1)由旋转可知：△𝐷𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐵，可证△𝐷𝐶𝐴∽△𝐸𝐶𝐵，即得

𝐷𝐴𝐸𝐵1

1

1

1

=𝐶𝐵=2，𝐸𝐵=2𝐷𝐴；

𝐴𝐶1

(2)取𝐴𝐵的中点𝐻，𝐹𝐻，𝐷𝐹交于点𝐺，连接𝐶𝐻，设𝐸𝐶，由(1)知△𝐷𝐶𝐴∽△𝐸𝐶𝐵，得∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐺𝐸𝐹，

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可得∠𝐺𝐶𝐷=∠𝐺𝐹𝐸=90°=∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，由𝐻是𝐴𝐵的中点，有𝐹𝐻=𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=

22

1

√5211

=𝐶𝐻，故当𝐶，𝐻，𝐹共线时，𝐶𝐹最大为𝐹𝐻+𝐶𝐻=√5．

本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

20.【答案】解：嘉琪的记录是错误的，理由如下：

设香蕉的单价为𝑥元/斤，苹果的单价为𝑦元/斤， 2𝑥+𝑦=11依题意得：{，

𝑥+3𝑦=43𝑥=−2

解得：{．

𝑦=15

∵香蕉的单价不能为负值， ∴嘉琪的记录是错误的．

【解析】嘉琪的记录是错误的，设香蕉的单价为𝑥元/斤，苹果的单价为𝑦元/斤，根据“第一天买了2斤香蕉和1斤苹果，共花了11元，第二天买了1斤香蕉和3斤苹果，共花了43元”，即可得出关于𝑥，𝑦的二元一次方程组，解之即可得出𝑥，𝑦的值，结合香蕉的单价不能为负值，即可得出嘉琪的记录是错误的．

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

21.【答案】24 16 32 8

【解析】解：(1)∵苹果树的数目为：1=12，4=22，9=32，…， ∴当有𝑛列时，苹果树的数目为：𝑛2， ∴当𝑛=4时，42=16；

∵针叶树的数目为：8=8×1，16=8×2，…， ∴当有𝑛列时，针叶树的数目为：8𝑛， ∴当𝑛=3时，8×3=24， 当𝑛=4时，8×4=32， 故答案为：24，16，32；

(2)∵苹果树数量与针叶树的数量相等， ∴𝑛2=8𝑛，

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解得：𝑛=8或𝑛=0(舍去)， 故答案为：8；

(3)随着列数𝑛的增加，苹果树的总棵数会增加得比较快，理由如下： 列数每增加1列，(由𝑛增加到𝑛+1)，

苹果树的数量会增加：(𝑛+1)2−𝑛2=(2𝑛+1)棵； 针叶树的数量会增加：8(𝑛+1)−8𝑛=8棵， 针叶树的数量总是固定增加8棵． 当2𝑛+1<8，

即𝑛<4时，针叶树的数量会增加的快些； 当2𝑛+1>8，

即𝑛>4时，苹果树的数量会增加得比较快．

(1)不难看出苹果树的数目为：𝑛2，针叶树的数目为8𝑛，据此求解即可； (2)根据(1)得出方程，解方程即可； (3)结合(1)(2)进行分析即可．

本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．

22.【答案】𝑚+1

【解析】解：(1)当𝑚=3时， 画树状图为：

2

共有12种等可能的结果，其中摸出2个球有红球的结果数为6， 所以摸出红球的概率=

612=；

12(2)共有𝑚(𝑚+1)种等可能的结果，其中摸出2个球有红球的结果数为2𝑚， 所以摸出红球的概率=𝑚(𝑚+1)=𝑚+1． 故答案为：

2

． 𝑚+12𝑚

2

(1)画树状图展示所有12种等可能的结果，找出摸出2个球有红球的结果数，然后利用概率公式求

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解；

(2)利用(1)中方法得到共有𝑚(𝑚+1)种等可能的结果，其中摸出2个球有红球的结果数为𝑚+𝑚=2𝑚，然后根据概率公式计算．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出𝑛，再从中选出符合事件𝐴或𝐵的结果数目𝑚，然后利用概率公式求出事件𝐴或𝐵的概率．

23.【答案】3

【解析】解：(1)点𝐵运动𝑡秒对应的数为2+𝑡， ∵𝐴𝐵=8，

∴2+𝑡−(−3)=8， 解得𝑡=3． 故答案为：3；

(2)由题意可得，数轴上𝑃′对应的数为−6+2𝑡． ∵𝑃′𝐴=3𝑃′𝐵，

∴|−6+2𝑡−(−3)|=3|−6+2𝑡−2|， 即2𝑡−3=3(2𝑡−8)，或2𝑡−3=−3(2𝑡−8)， 解得𝑡=，或𝑡=．

48故所求𝑡的值为或．

(1)首先表示出点𝐵运动𝑡秒对应的数，再根据𝐴𝐵=8列出方程，求解即可； (2)首先表示出数轴上𝑃′对应的数，再根据𝑃′𝐴=3𝑃′𝐵列出方程，求解即可．

本题结合动点问题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，表示出点𝑃、𝐵在数轴上运动𝑡秒后对应的数是解题的关键．

21

427821

27

24.【答案】(1)证明：由作法可知：𝐶𝐷⊥𝑎，𝐶𝐴=𝑃𝐷，𝐶𝑃=𝐷𝐵，

∴∠𝐴𝐶𝑃=90°， ∴∠𝐴𝑃𝐶+∠𝑃𝐴𝐶=90°， ∵𝑎//𝑏， ∴𝐶𝐷⊥𝑏，

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∴∠𝑃𝐷𝐵=90°=∠𝐴𝐶𝑃， 在△𝐴𝑃𝐶和△𝑃𝐵𝐷中， 𝐶𝐴=𝐷𝑃

{∠𝐴𝐶𝑃=∠𝑃𝐷𝐵=90°， 𝐶𝑃=𝐷𝐵

∴△𝐴𝑃𝐶≌△𝑃𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵𝑃𝐷， ∴∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝐷=90°，

∴∠𝐴𝑃𝐵=180°−(∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝐷)=90°； (2)解：如图，△𝑃𝐴𝐵即为所求．

作法：①过点𝑃作直线𝑏的垂线，垂足为𝐷； ②在点𝐷的右侧截取𝐷𝑀=𝐷𝑃；

③过点𝑀作直线𝑏的垂线，交直线𝑎于点𝐴； ④过点𝐴作直线𝑀𝐴的垂线𝐴𝐶，交𝑃𝐷于点𝐶；

⑤在点𝐷的右侧截取𝐷𝐵=𝐶𝑃，顺次连接点𝑃𝐴、𝐴𝐵、𝐵𝑃，则△𝑃𝐴𝐵即为所求． 由作法可知：∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐷𝑀𝐴=∠𝑀𝐴𝐶=90°，𝐷𝑀=𝐷𝑃，𝐷𝐵=𝐶𝑃， ∴四边形𝐴𝐶𝐷𝑀是矩形，

∴∠𝐴𝐶𝑃=90°=∠𝑃𝐷𝐵，𝐴𝐶=𝐷𝑀， ∴𝐴𝐶=𝐷𝑀=𝐷𝑃， 在△𝐴𝑃𝐶和△𝑃𝐵𝐷中， 𝐶𝐴=𝐷𝑃

{∠𝐴𝐶𝑃=∠𝑃𝐷𝐵=90°， 𝐶𝑃=𝐷𝐵

∴△𝐴𝑃𝐶≌△𝑃𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，

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∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵𝑃𝐷，

∴∠𝐴𝑃𝐶+∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝐷=90°， ∴∠𝐴𝑃𝐵=180°−(∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝐷)=90°．

【解析】(1)证明△𝐴𝑃𝐶≌△𝑃𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，可得𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵𝑃𝐷，再根据直角三角形两个锐角互余即可证明∠𝐴𝑃𝐵=90°；

(2)题目中“两条平行的直线𝑎、𝑏”改为“两条不平行的直线𝑎、𝑏”，其余条件不变，①过点𝑃作直线𝑏的垂线，垂足为𝐷；②在点𝐷的右侧截取𝐷𝑀=𝐷𝑃；③过点𝑀作直线𝑏的垂线，交直线𝑎于点𝐴；交𝑃𝐷于点𝐶；顺次连接点𝑃𝐴、④过点𝐴作直线𝑀𝐴的垂线𝐴𝐶，⑤在点𝐷的右侧截取𝐷𝐵=𝐶𝑃，𝐴𝐵、𝐵𝑃，则△𝑃𝐴𝐵即为所求．结合(1)的证明方法即可得𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝐵=90°．

本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是得到△𝐴𝑃𝐶≌△𝑃𝐵𝐷．

25.【答案】25

【解析】解：(1)∵反应距离与汽车速度成正比， ∴设𝑠1=𝑎𝑣(𝑎≠0)，

∵制动距离与汽车速度的平方成正比， ∴设𝑠2=𝑏𝑣2(𝑏≠0)， ∴𝑠=𝑠1+𝑠2=𝑎𝑣+𝑏𝑣2，

∵𝑣=20𝑚/𝑠时，𝑠=50𝑚；𝑣=30𝑚/𝑠时，𝑠=99𝑚， ∴{

20𝑎+400𝑏=50

，

30𝑎+900𝑏=99

𝑎=0.9解得{，

𝑏=0.08

∴𝑠关于𝑣的函数表达式为𝑠=0.08𝑣2+0.9𝑣(𝑣>0)； (2)汽车与障碍物不会相撞，理由如下：

理由：当𝑣=22时，𝑠=0.08×222+0.9×22=58.52， ∵58.52<60，

∴汽车与障碍物不会相撞；

(3)当𝑠=0.08𝑣2+0.9𝑣=75−2.5时， 解得𝑣1=25，𝑣2=−(不合题意舍去)， 4答：该汽车行驶的速度不超过25𝑚/𝑠，

145

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故答案为：25．

(1)设𝑠1=𝑎𝑣(𝑎≠0)，𝑠=50𝑚；𝑠2=𝑏𝑣2(𝑏≠0)，得到𝑠=𝑠1+𝑠2=𝑎𝑥+𝑏𝑥2，把𝑣=20𝑚/𝑠时，𝑣=30𝑚/𝑠时，𝑠=99𝑚代入得到方程组，解方程组即可得到结论；

(2)当𝑣=225时，得到𝑠=0.08×222+0.9×22=58.52解方程即可得到结论； (3)根据要使汽车距离运输车不小于1.5𝑚处停住得到方程，解方程即可得到结论． 本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

26.【答案】𝐶𝐺 3

【解析】解：(1)∵

𝐴𝐸

𝐵𝐶𝐴𝐺1

=2，𝐴𝐷//𝐵𝐶，

1

∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐵𝐺𝐶， ∴△𝐴𝐸𝐺∽△𝐶𝐵𝐺， ∴

𝐴𝐺𝐶𝐺=

𝐴𝐸𝐵𝐶=，

12同理得△𝐴𝑀𝐺∽△𝐶𝑁𝐺，

𝐴𝑀𝐶𝑁=

𝐴𝐺𝐶𝐺=，

12过点𝐺折叠纸片使𝐴、𝐵分别落在𝐴𝐷、𝐵𝐶边上， ∴四边形𝐴𝐵𝑁𝑀为矩形， ∴𝐴𝑀=𝐵𝑁，

∴𝐵𝐶=𝐵𝑁+𝐶𝑁=𝐵𝑁+2𝐵𝑁=3𝐵𝑁， ∴𝐵𝐶=3， 故答案为：，；

(2)第一步：在图1的基础上，折出矩形四等分，将𝐴𝐶与𝐵𝐸的交点记为𝐺；

第二步：过点𝐺折叠纸片使点𝐴，𝐵分别落在𝐴𝐷，𝐵𝐶边上的点𝑃，𝑄处，折痕为𝑀𝑁， 依次折叠，𝐵𝐶就被五等分；

𝐴𝐺𝐶𝐺13𝐵𝑁

1

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∵

𝐴𝐸𝐵𝐶

=，𝐴𝐷//𝐵𝐶，

14

∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐵𝐺𝐶， ∴△𝐴𝐸𝐺∽△𝐶𝐵𝐺， ∴

𝐴𝐺𝐶𝐺

=

𝐴𝐸𝐵𝐶

=，

14

同理得△𝐴𝑀𝐺∽△𝐶𝑁𝐺， ∴𝐶𝑁=𝐶𝐺=4， 由(1)知，𝐴𝑀=𝐵𝑁，

∴𝐵𝐶=𝐵𝑁+𝐶𝑁=𝐵𝑁+4𝐵𝑁=5𝐵𝑁， ∴𝐵𝐶=5；

(3)如下图：把矩形横向四等分，折痕分别为𝐺𝐻，𝐼𝐽，𝐸𝐹，连接𝐸𝐷，交𝐺𝐻于点𝑀，交𝐼𝐽于点𝑁， 沿着𝑀折叠纸片就会三等分矩形．

𝐵𝑁

1𝐴𝑀

𝐴𝐺

1

∵

𝐷𝐻𝐺𝐸=，𝐴𝐷//𝐵𝐶，

12∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷， ∵∠𝐷𝑀𝐻=∠𝐸𝑀𝐺， ∴△𝐷𝑀𝐻∽△𝐸𝑀𝐺，

𝐻𝑀𝐺𝑀=2，

1

1

∴𝐻𝐺=3．

∴沿着𝑀折叠纸片就会三等分矩形．

𝐻𝑀

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(1)根据折叠过程即可解决问题；

(2)借助(1)中获得的经验进行折叠，即可使边𝐵𝐶被五等分； (3)借助(1)中获得的经验进行折叠，即可使边𝐵𝐶被三等分．

本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

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