第五节 指数与指数函数

【知识点精华】

一、指数的运算性质 当a0,b0时，有

（1）aaamnmnammn，m,nR （2）na，m,nR

ammmmmn （3）aa，m,nR （4）abab，m,nR

n（5）apm1p，m,nR （6）annam，m,nR a二、指数函数

（1）一般地，形如yaxa0且a1的函数叫指数函数；

（2）指数函数yaxa0且a1的图像和性质如2-6所示.

表2-6 yax 图像 a1 0a1 性质 （3）过定点(0,1) （3）过定点(0,1) （1）定义域：R （2）值域：(0,) （1）定义域：R （2）值域：(0,) （4）在R上是增函数 （5）0y1x0 （4）在R上是减函数 （5）0y1x0 y1x0 y1x0 y1x0 【题型归纳及思路提示】

y1x0 题型23 指数运算及指数方程、指数不等式

思路提示

利用指数的运算性质解题， （1）对于形如afxb,afxb,afxb的形式通常用化“同底”转化，再利用函数的

单调性解决；或采用“取对数”的方法求解. （2）形如a2xBaxC=0或a2xBaxC0的形式可借助换元法，转化成二次方程

（不等式）进行求解 一、指数运算 【例2.48】化简并求值

（1）若a2,b4求（2）若xx1212a3a2bb3ab213a3b1的值 3b3,求

12xx3的值

x2x221n323220142014（3）设a2

nN,求1aa的值.

2n

【变式1】设2a5bm，且

1a1b2，则m

A．10 B.10 C.20 D.100

二、指数方程

【例2.49】解下列方程 （1）94330；

xx2（2）3x9 827x

【变式1】方程96370的解集是______.

xx

323a【变式2】关于x的方程有负数根，则a的取值范围是_______.

5a2x

三、指数不等式

【例2.50】若对于x[1,2]，不等式2xm2恒成立，求实数m的取值范围是______.

2x2mxm4【变式1】已知对任意xR，不等式

12xx212恒成立，求m的取值范围.

【变式2】函数fx2x2axax的定义域为集合A，关于x的不等式22aR的x1解集为B，求使ABA的实数a的取值范围.

题型24 指数函数的图像与性质

思路提示

解决指数函数的有关问题，思路是从他们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图形的性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 【例2.51】函数fxa（ ）

xb的图像如图2-14所示，其中a,b为常数，则下列结论正确的是

A．a1,b0 B.a1.b0

C．0a1,0b1 C.0a1,b0

【变式1】若函数yaxb1a0且a1的图像经过第二，第三，第四象限，这一定有（ ）

A.0a1且b0 B.a1且b>0 C. 0a1且b0 D. a1且b0

【变式2】（12四川）函数yax1aa0且a1的图像可能是（） A. B.

C. D.

11【变式3】已知实数a,b满足，下列5个关系式

23① ：0ba，②：ab0 ③0ab ④ba0 ⑤ab0 其中不可能成立的有（ ）

A.一个 B.两个 C.三个 D.四个

ab

【例2.52】函数fxax1a0且a1的图像过定点___________.

【变式1】函数fxax1a0且a1的图像过定点________.

【变式2】函数fxax2的图像过定点__________

x

【变式3】函数ya上，则

1x在直线mxny10m,n0a0且a1的图像恒过定点A，

11的最小值为____________. mn

【例2.53】函数yax2]上的最大值比最小值大，则a的值是______. a0且aq在[1，2a

【变式1】函数fxaxa0且a1在区间[a,a2]上的最大值是最小值的

3倍则

a=________.

【变式2】定义区间[x1,x2]的长度为x2x1，已知函数y2的定义域为[a,b]，值域为

|x|[1,2]，则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为_______.

【变式3】若y3|x|x[a,b]的值域为1,9，则a2b22a的取值范围是________.

4x【例2.】函数y4a28x150a1的单调区间是___________.

【变式1】函数fx124xx2的单调区间是________.

11【变式2】函数fx1x[3,2]的单调性及值域.

42xx

12【变式3】已知0x2，求函数y4xaxa21的最大值最小值.

2x

【变式4】设函数yfx在,内有定义，对于给定的证数k，定义函数

1fx,fxkfkx，取函数fx2|x|，当k时，函数fkx的单调区间为

2k,fx0（）

A．(,0] B.[0,) C.(1] D.[1,)

1【变式5】若函数y2|1x|则m的取值范围是____________. m的图像与x轴有公共点，

x【变式6】已知函数fx|21|,xR，若方程fxa，有两个不同的实根，则a的

取值范围是___________.

题型25 指数函数中的恒成立问题

思路提示

（1）利用数形结合思想，结合指数函数的图像求解.

（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解. 【例2.55】设fx12a4xxaR，当x(,1]时，fx的图像在x轴上方，

求实数a的取值范围.

【变式1】已知函数fxaaxaxa0且a1 2a1(1)判断函数fx的奇偶性;

(2)讨论函数fx的单调性

(3)当x[1,1]时，fxb恒成立，求实数b的取值范围.

2xb【变式2】定义域为R的函数fxx1是奇函数

2a(1)求a,b的值

22(2)若对任意的tR，不等式ft2tf2tk0恒成立，求k的取值范围.



【变式3】已知函数fx2x1，若2xf2tmft0对于t[1,2]恒成立，求实x2数m的取值范围.